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人教版八年级数学上册数学教案

发布时间:2013-10-01 12:29:00  

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

一、学习目标 11.1 全等三角形

1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。

2、知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等。

3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

二、重点难点

教学重点:全等三角形的性质。

教学难点:找全等三角形的对应边、对应角。

三、合作探究

1.观察p2图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形

2.学生自己动手(同桌两名同学配合)

取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板 、 完全一样.

3.获取概念(由学生回答,教师引导、指正)

形状与大小都完全相同的两个图形就是 .(要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.)

即:全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.

推得出全等三角形的概念:

对应顶点: 、对应角: 、 对应边: ”符号: 读作“全等于”

导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.

ADA

D

BCEBC

甲EF乙DB丙C

议一议:各图中的两个三角形全等吗?

得出: ≌△DEF,△ABC≌ ,△ABC≌ .

(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)

启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但 、 都没有改数学教研组YW 1

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

变,所以平移、翻折、旋转前后的图形 ,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 观察与思考:

寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形的性质: , 。 四、精讲精练

例1、如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,?说出这两个三角形中相等的边和角.

例2、如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADC=∠AEB,

∠B=∠C,?指出其他的对应边和对应角.

两个对应角所夹的边也是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的 角是对应角.

例3、已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.

精练(由学生合作完成、教师点拨)

(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角

A

D

B

C

B

D

B

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;

C

A

E

B

D

C

D

D

D

B

A

C

D

C

D

数学教研组YW

(2)如图,?ABE??ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,

A

2

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

已知:?DAE?43?,?B?30?,求?ADC的大小。

五、课堂小结:全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等、对应角相等。

六、作业 :p4 1、2

BDECA

11.2三角形全等的判定(1)

一、教学目标

1、三角形全等的“边边边”的条件.

2、经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

二、重点难点

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点:寻求三角形全等的条件.

三、合作探究

1、复习:什么是全等三角形?全等三角形有些什么性质?

如图,△ABC≌△A′B′C′那么

相等的边是: A

相等的角是:2、(由学生回答,教师引导、指正)

三组对应边相等的两个三角形全等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?

a.作图方法:

b.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现 ,?这说明这些三角形都是

的.

c.归纳:三边对应相等的两个三角形 ,

简写为“ ”或“ ”.

d、用数学语言表述:

数学教研组YW BCB'C''3

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

在△ABC和?A'B'C'中,

?AB?A'B'?∵?AC? ∴△ABC≌

?BC??A'BCB'C'

用上面的规律可以判断两个三角形 .判

断 ,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.

四、精讲精练

例1、如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.

求证:△ABD≌△ACD.

证明的书写步骤:

①准备条件:证全等时要用的间接条件要先证

②三角形全等书写三步骤:

A、写出在哪两个三角形中,B、摆出三个条件用大括号括起来,C、写出全等结论。 例2、尺规作图。

已知:∠AOB. 求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB

精练(由学生合作完成、教师点拨)

1、如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE,

求证:△ABC ≌ △ ADE。

2、已知:如图,AD=BC,AC=BD.

求证:∠OCD=∠ODC

五、课堂小结: SSS

六、作业:p15 1、2 p16 9

好;

11.2三角形全等的判定(2)

数学教研组YW 4

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“SAS”条件,能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题

2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入,激情展示,做最佳自己。

二、重点难点

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点:寻求三角形全等的条件.

三、合作探究

1、复习思考

(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定(一)的内容是什么?

(2)上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形,三个角对应相等;三条边对应相等;两角和一边对应相等;两边和一角对应相等;前两种情况已经研究了,今天我们来研究第三种两边和一角的情况,这种情况又要分两边和它们的夹角,两边及其一边的对角两种情况。

2、探究一:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等?

(1)动手试一试(学生合作、教师引导)

已知:△ABC

求作:?A'B'C',使A'B'?AB,B'C'?BC,?B???B ACB(2) 把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?

(3)归纳;由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(二):

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)

(4)用数学语言表述全等三角形判定(二)

在△ABC和?A'B'C'中,

?AB?A'B'?∵??B? ∴△ABC≌

?BC??A'BCB'C'

3、探究二:两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等? 通过画图或实验可以得出:不全等

四、精讲精练

数学教研组YW ABCD5

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

例1 如图,AC=BD,∠1= ∠2,求证:BC=AD.

例2、 如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D

精练(由学生回答,教师引导、指正)

A

C

D

CD

B

练习1、 如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B

A

B

练习2、课本第10页第2题

练习3、如图,已知OA=OB,应填什么条件就得到 △AOC≌△BOD(允许添加一个条件) 五、课堂小结 SSS、SAS 六、作业:

P15 3、4 p16 10

能力提升:(学有余力的同学完成)

C

O

A

D

如图,已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点, 求证:DM=DN

11.2三角形全等的判定(3)

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题

2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程. 3、积极投入,激情展示,体验成功的快乐。

数学教研组YW

6

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

二、重点难点

教学重点:已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点:灵活运用三角形全等条件证明.

三、合作探究

1、复习思考(由学生回答,教师引导、指正)

(1).到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?

(2).在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?三角形中已知两角一边又分成哪两种呢?

2、探究一:两角和它们的夹边对应相等的两

个三角形是否全等?

(1)动手试一试。(学生合作、教师引导)

已知:△ABC

求作:△A'B'C',使?B'=∠B, ?C'=∠C,

B'C'=BC,(不写作法,保留作图痕迹)

(2) 把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?

(3)归纳:由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(三):

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)

(4)用数学语言表述全等三角形判定(三)

在△ABC和?A'B'C'中,

??B??B'?∵?BC? ∴△ABC≌

??C??BCB'C'A'

3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等

(1)如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用前面学过的判定方法来

证明你的结论吗?

(2)归纳;由上面的证明可以得出全等

三角形判定(四):两个角和其中一角的BADF对边对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或“ ”) 数学教研组YW

7

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(3)用数学语言表述全等三角形判定(四) 在△ABC和?A'B'C'中,

??A??A'?

∵??B? ∴△ABC≌ ?BC??

A

'

四、精讲精练

例1、如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C. 求证:AD=AE.

BCB'C'

A

DB

EC

A

例2、已知:点D在AB上,点E在AC上,∠BAO=∠CAO , BE⊥AC,CD⊥AB,相交于点O,AB=AC, 求证:BD=CE 练习

1、课本第13页第1题

2、如图,在△ABC中,∠C=2∠B、,AD是△ABC的角 平分线,∠1=∠B,求证AB=AC+CD

五、课堂小结 SSS、SAS、ASA、AAS

会根据已知两角及一边画三角形 六、作业:p15 5、6 P16 11、12

B

D

EC

A D

C

11.2三角形全等的判定(4)

一、学习目标

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”,并能灵活选择方法判定三角形全等; 2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,体会探索数学结论的过程,发展合情推理能力;

3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

数学教研组YW

8

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

二、重点难点

教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

三、合作探究

1、复习思考(由学生回答,教师引导、指正)

(1)、判定两个三角形全等的方法: 、 、 、

(2)、如图,Rt△ABC中,直角边是 、 ,斜边是

(3)、如图,AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,

①若∠A=∠D,AB=DE,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )

根据 (用简写法)

②若∠A=∠D,BC=EF,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )

根据 (用简写法)

③若AB=DE,BC=EF,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)

④若AB=DE,BC=EF,AC=DF

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)

2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?

(1)动手试一试。

已知:Rt△ABC

求作:Rt△A'B'C', 使?C'=90°,A'B' =AB, B'C'=BC

作法:

(2) 把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△

ABC是否能够完全重合?

(3)归纳;由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)

数学教研组YW

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罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(4)用数学语言表述上面的判定方法

在Rt△ABC和Rt?A'B'C'中, A1

?BC?B'C'∵? ∴Rt△ABC≌Rt△ AB??B C

1 1

(5)直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”

四、精讲精练

例1、如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图中,

你能说明BC与BD相等吗?

度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和

∠DFE的大小有什么关系?

练习(由学生合作,教师引导、指正)

1、如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,

则△ADB与△ADC (填“全等”或“不全等” )

根据 (用简写法)

2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )

A、两条直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等

C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等

3、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC

于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?说说你的理由

答:AB平行于CD

理由:∵ AF⊥BC,DE⊥BC (已知)

∴ ∠AFB=∠DEC= °(垂直的定义)

∵BE=CF,∴

BF=CE

数学教研组YW

CABD例2、如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长10

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

在Rt△ 和Rt△ 中

∴ ≌ ( )

∴ = ( )

∴ (内错角相等,两直线平行)

?_______?________4、能力提升:(学有余力的同学完成) ??_______?_________如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。

(1)求证:MB=MD,ME=MF;

(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否成立?若成立,给予证明。

5、如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,根据

(2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据

(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。则△ACE≌△BDF,根据

(5) 若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流

判定两个直角三角形全等的方法:一般方法SSS 、SAS、ASA、AAS、特殊方法HL

六、作业:p16 7、8 p17 13

全等三角形好题归纳举例(由学生独立完成或合作完成)

一、 知识提要

1、判断全等三角形的方法有:①__________;②___________;③___________; ④__________;⑤___________。就是没有

SSA.

数学教研组YW

11

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

2、全等三角形有哪些性质:①___________________;②________________. 二、讲练结合 AD例1.如图,AC=BD,AB=DC,求证:∠B=∠C.

变式练习:如图AB=AC,BD=CD,求证:∠B=∠C. BC B

AD例2.如图,AB=AD,CD=CB,∠A+∠C=180°, D

试探索CB与AB的位置关系. C

变式练习:如图,AC=AB,BD=CD, CAD与BC相交于O,求证:AD⊥BC.

ACB

D O

A

例3.在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB边上的高, AB在BE的延长线上取BM=AC,在CF的延长线上取CN=AB,

求证:AM=AN. M

E

N BC A

EF

变式练习:在△ABC中,分别以AB、AC为边

在△ABC的外面作正△ABE和正△ACF, C求证:BF=CE. B

C例4.如图,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,BD、CE交于点O, D

且OD=OE,

求证:AB=AC. AO数学教研组YW E

B12

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

变式练习:如图,AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD,∠CAF=∠DAF, 求证:AF⊥CD.

例5.已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边, AD是∠BAC的角平分线,求证:AC+CD=AB.

变式练习:已知E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,求证:∠B=∠CAD.

例6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C, 如图,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E, 求证:DE=AD-BE.

变式练习:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, 直线MN经过点C,如图,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E, 求证:DE=AD+BE.

A

数学教研组YW

A

B

E

CF

A

D

CE=BD+DE,

B

DC

E

B

C

M

D

C

D

A

E

M

D

C

B

N

E

13

N

B

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

例7.如图,AD是△ABC的高,∠B=2∠C, 求证:CD=AB+BD.

变式练习:在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE 交于点H,

已知EH=EB=3,AE=4,求CH的长.

例8.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长 线上取一点E,使BD=CE,连结DE交BC于F,求证:DF=EF.

变式练习:在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的 延长线上取一点E,连结DE交BC于F,若DF=EF,求证:BD=CE.

例9.如图,OA=OB,C、D分别是OA,OB上的两点,且OC=OD, 连结AD、BC交于E,求证:OE平分∠AOB.

变式练习:如图,AB=AC,D是∠BAC的角平分线上的一点, 连结CD并延长交AB于E,连结BD并延长交AC于

数学教研组YW

B

E

D

C

A

B

DC

A

A

D

C

E

B

A

D

C

E

B

F

O

C

E

D

A

B

B

E

F

C

F,

14

A

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

求证:AE=AF.

11.3角的平分线的性质(1)

一、学习目标

1、经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点:掌握角的平分线的性质定理

教学难点: 角平分线定理的应用。

三、合作探究、

1、复习思考(由学生合作,教师引导、指正)

什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?

2.OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:观察测量结果,猜想线段PD与PE的

3、命题:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设:一个点在一个角的平分线上

结论:这个点到这个角的两边的距离相等

结合第2题图形请你写出已知和求证,并证明命题的正确性

数学教研组YW

15

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

解后思考:证明一个几何命题的步骤有那些?

4、用数学语言来表述角的平分线的性质定理:

如右上图,∵OC是∠AOB的平分线,点P是 OC上的一

点,PA?OB、PD?OA

∴ PD=PE

四、精讲精练

如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点, A

问PE=PD?为什么? O

2、如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线, D B DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;

求证:CF=EB

精练(由学生合作,教师引导、指正)

1、在Rt△ABC中,BD平分∠ABC, DE⊥AB于E,则 ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?

⑵哪条线段与DE相等?为什么?

⑶若AB=10,BC=8,AC=6,

A 求BE,AE的长和△AED的周长。 2、如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,

AB=7㎝,AC=3㎝,

求BE的长 五、课堂小结 这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流 D 角平分线上的点到角两边的距离相等??

六、作业:p22 1、2 p23 4、5

11.3角的平分线的性质(2)

一、学习目标

数学教研组YW 16

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点:角平分线的性质及其应用

教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

三、合作探究

1、复习思考(学生合作、教师引导)

(1)、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗?

(2)、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等。

2、求证:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

四、精讲精练

例1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,

CD相交于点O,OB=OC,

求证∠1=∠2

精练 (由学生合作,教师引导、指正)

1、22页练习题

2、能力提高(*)

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,

求证:∠A+∠C=180°

五、课堂小结

1、这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流

2、角平分线上的点到角两边的距离相等

数学教研组YW

BCADBNPCAM(提示:先画图,并写出已知、求证,再加以证明)(学生合作、教师引导) 17

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

3、到角两边距离相等的点在角的平分线上 六、作业

P22 3 p23 6

12.1轴对称(1)

一、学习目标:

1.理解轴对称图形及轴对称的定义,认识轴对称与全等的关系,了解轴对称图形与轴对称的联系与区别 。

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,发展学生的观察、归纳、想象能力。 3.激情投入,快乐学习,感受对称美。 二、重点难点

重点:对轴对称图形与轴对称概念的理解 难点:轴对称图形与轴对称的联系与区别 三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、在一张半透明的纸上画△ABC,使AB=AC,作BC上的高AD,沿直线AD折叠,直线两旁的部分重合吗?

轴对称图形的定义: 叫做轴对称图形,这条直线叫做它的 ..

2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系,并描出点A(-1,3)、B(-2,-4)、C(-3,-1)、

A1(1,3)、B1(2,-4)、C1(3,-1),画出△ABC和△A1B1C1,沿y轴折叠,这两个三角形重合吗?

轴对称的定义: 那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做 ,折叠后重合的点是..对应点,叫做 。

3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗?把其中的△A1B1C1向下平移一个单位,得到△A2B2C2,△ABC和△A2B2C2全等吗?折一折,△ABC和△A2B2C2成轴对称吗?

轴对称与全等的关系:两个图形成轴对称,则它们一定 ;两个图形全等,

数学教研组YW

18

780903

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

成轴对称。 4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗?

区别: 联系:

四、精讲精练 例1下列图案中,不是轴对称图形的是( )

(B(D) (C)

) 例2、下面四组图形中,右边与左边成轴对称的是( )

A.

_________

例4、在镜中看到的一串数字是“

例5、下列图形中对称轴最多的是 ( )

A、圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段

练习

1、在实际生活中,轴对称无处不在,请你用给定的图形“○○,△△,—— ——”(两个圆,两个三角形,两条线段)为构件,尽可能多地构思独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形,并写出一两句诙谐、贴切的解说词。如:

○○ △△ ∣∣ 两个棒棒糖

2、如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下, 则所得图形大致是( )

数学教研组YW

(A) B. C. D. 例3、仔细观察下列图案,并按规律在横线上画出合适的图形 ”,则这串数字是 。 19

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

3、写出10个“轴对称”的汉字,如“十、中”。

五、课堂小结:轴对称图形及轴对称的定义

六、作业:P36 1、2

12.1轴对称(2)导学案

一、学习目标:

1、 了解线段的垂直平分线的定义,了解轴对称的性质及轴对称图形的性质,掌握垂

直平分线的性质,了解线段垂直平分线的画法。

2、 发展学生观察、归纳及推理能力。

3、 极度热情,全力以赴,享受成功。

二、重点难点

垂直平分线的性质

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、如图1,△ABC和△A1B1C1关于y轴对称,点A

的对应点是 ,y轴经过线段AA1的中点吗?y轴

垂直线段AA1吗?

2、在图1中,y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗?

轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 。

类似地,轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是 的垂直平分线。

3、1)在一张半透明的纸上画线段AB,用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线CD,在CD上任取一点P,连结PA、PB,量一量PA、PB的长,你有什么发现?沿直线CD对折,线段PA、PB重合吗?

垂直平分线的性质:○1线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等。 你能证明这个性质吗?

2)、在一张纸上线段AB及点P1、P2,使P1A=P1B ,P2A=P2B,再画线段AB的垂直平分线

CD,你又有什么发现?

数学教研组YW 1 1图1 1 线段的垂直平分线的定义: ,叫做这条线段的垂直平分线。 20

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

垂直平分线的性质:○2与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

你能证明这个性质吗?

4、 有一条线段AB,怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线?你能说说其道理吗? ....四、精讲精练

作出下列图形的对称轴。

例2、如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P

的对称点,线段MN交OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm ,求线段MN的长。

交AB于点D,AE=5cm,△CBD的周长为24cm, 求△ABC的周长。 精练:

某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图所示(点M,NBO表

示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.

(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案; (2)阐述你设计的理由.

五、课堂小结:

垂直平分线的定义,轴对称的性质及轴对称图形的性质

数学教研组YW

ME

P

BA

例3、 △ABC中,DE是AC的垂直平分线,垂足为E,

N

M2

N2

B

六、作业 P34 2 P36 5 11

21

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

12.2.1作轴对称图形

一、学习目标:

1、 能作轴对称图形,能应用轴对称进行简单的图案设计,能用轴对称的知识解决相

应的数学问题。

2、 通过独立思考、交流讨论、展示质疑,发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。

3、 极度热情、享受成功、感受数学就在身边。

二、重点难点

重点:作轴对称图形

难点:用轴对称知识解决相应的数学问题。

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、 复习回顾:线段公理;垂直平分线的性质。

2、 自己动手在一张半透明的纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看

看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么?

归纳:

(1) 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的 、________完全相同;

(2)新图形上的任意一点,都是原图形上某一点关于直线l的__________;

(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。

3、把图1补成关于直线l对称的图形

四、精讲精练

例1、如图2,如何在直线l上找一点P,使线段PA与PB的和最小?

练习:1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。

a

数学教研组YW A 2 l 2B l 图1 图2 a a

22

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽的图案。

例2、要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水(如图)。 修在河边什么地方,可使所用水管最短?试在图中确定水泵站的位置,并说明你的理由。

练习1. 城北中学八⑵班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子,再到OB桌面上拿糖果,然后回到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短。

计出一个图案,并与同学进行交流。

五、课堂小结:

归纳:

数学教研组YW B张村A李庄lA C.D.O

2. 开展你的想象,从一个或几个图形出发,利用轴对称或与平移进行组合,设B 23

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形。

六、作业:P45 1

12.2.2用坐标表示轴对称

一、学习目标:

1、 掌握一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律,并能利用这种坐标的变化

规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。

2、 培养学生探索问题的能力, ?发展学生数形结合的思维意识。

3、 激情参与,阳光展示。

二、重点难点

重点:1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.

2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.

难点:用坐标表示轴对称.

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1.如图一

(1)观察上图中两个圆脸有什么关系?

(2)已知右边圆脸右眼B的坐标为(4,3),左眼A的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点C的坐标为(4,1),左端点D的坐标为(2,1).

请根据图形写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标

A1____________;

D1_____________

数学教研组YW 图一 B1______________; C1_____________; 24

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(3)A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。 四、精讲精练

例1、将一个点的纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系是 ;

将一个点的横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系是 。

例2、已知点A(m+2,3)、B(-5,n+6)关于y轴对称,则m= ,n=

例3、若点P(a,3)和P1(2,b)关于x轴对称,则方程ax+b=0的解为 。 例4、已知点A(2m+1,m-3)关于y轴的对称点在第四象限,则m的取值范围是 。

例5、若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A(a,b)关于x

的点为C,则点C的坐标是 。

例6、(1)请画出△ABC关于y

轴对称的△A?B?C?

(其中A?,B?,C?分别是A,B,C的对应点,不写画法); (2)直接写出A?(_____),B?(_____),C?(_____)(3)△ABC的面积为 练习:

1、 如图,每个小正方形的边长都是1,分别作出 △PQR关于直线x=1(记为m)和直线y= –1 (记为n)对称的图形。它们的对应点的坐标之间 分别有什么关系?

d间的关系是 ;

若点P(a,b)、Q(c,d)两点关于直线y= –2对称,则a、c间的关系是 , b、d间的关系是 。

五、课堂小结:1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y);点(x,y)关

数学教研组YW

2、若点P(a,b)、Q(c,d)两点关于直线x=225

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

于y轴对称的点的坐标是(-x,y)

2、对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形。

六、作业 P45 3 P46 8

12.3.1等腰三角形(1)

一、学习目标:

1、 巩固等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质,并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、 通过独立思考,交流合作,体会探索数学结论的过程,发展推理能力。

3、 激情投入,收获成功。

二、重点难点

学习重点:等腰三角形性质的探索及应用

学习难点:等腰三角形性质的应用

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、复习回顾:○1.三角形全等的判定方法 ○2.有两条边相等的三角形,叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角

2、用剪刀按照49页介绍的方法,剪出一个等腰三角形,想一想,它是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?

3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折,找出重合的线段和角,由此你发现了等腰三角形的哪些性质?

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);

性质2

你能证明这两个性质吗?

4、填空:如图1,在△ABC中

1∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD = , ⊥ 。 ○

2∵AB=AC,BD=CD ∴∠BAD= , ⊥ . ○

3∵AB=AC,AD⊥BC ∴∠BAD= , BD= .

数学教研组YW 图1 26

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

四、精讲精练

例1、如图2,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且

求△ABC各角的度数。 .

C

图2

例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1

:4,则这个等腰三角形顶角

的度数为 。

例3、如图3,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上, 且AD=AE. 求证:BD=CE

图C

A 3

E

C D 图4 练习:1、如图4,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD,垂足为点M

求证:CM=DM

2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o,则底角为 3、如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30o,BF=CE,BD=CF, 求∠DFE的度数。

五、课堂小结:腰三角形的哪些性质?

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”); 六、作业:P51 1、3

图5

性质2

12.3.1等腰三角形(2)

数学教研组YW

27

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

一、学习目标:

1、 掌握等腰三角形的判定方法,并能灵活运用解决实际问题;

2、 通过独立思考,交流讨论,发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能

力;

3、 极度热情,高度责任,享受学习的快乐;

二、重点难点

学习重点:等腰三角形的判定方法

学习难点:等腰三角形的判定和性质的区别,等腰三角形的判定的应用。

使用说明:先由学生自学课本51页练习以后至53页练习,经历自主探索总结的过程,然后独立认真完成学案,用红笔标记出疑点与盲点,以备上课时展示和质疑。

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、复习回顾:等腰三角形的性质,平行线的性质,三角形全等的判定

2、用直尺和量角器画△ABC,使∠B=∠C,再用刻度尺量一量线段AB、AC的长,你有什么发现?

猜想:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也想等。

3、 你能验证2中的猜想吗?

已知:如图 在△ABC中,∠B=∠C

求证:AB=AC

也想等(简写成:等角对等边”)。

4、 等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系?

区别:

联系:

四、精讲精练

例1.如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OC=OD,

求证:OA=OB

例2.求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一

边,那么这个三角形是等腰三角形。

数学教研组YW D A C B 28

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

精练:

1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36O,D、E是BC

且∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中的等腰三角形共有( A.3个

B.4个 C.5个 D.6个 2.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F

求证:EF=EB+FC.

五、课堂小结:等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也想等(简写成:等角对等边) 六、作业 P53 1 3

补充如图:E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,

BD=CE。

求证:△ABC是等腰三角形(提示:过点D作AE

12.3.2等边三角形(第一课时)

一、学习目标:

1、理解并掌握等边三角形的定义,探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题 二、重点难点

学习重点:等边三角形判定定理的发现与证明

数学教研组YW

29

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

学习难点:等边三角形性质和判定的应用

学习方法:探索、归纳、交流、练习

三、合作探究(同学合作,教师引导)

1、等腰三角形的性质:

(1)等腰三角形的 相等

(2)等腰三角形 、 、 互相重合

2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形,即 叫等边三角形。

3、思考:

(1)把等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等)用到等边三角形,能得到什么结论?

(2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?

归纳:

(1)等边三角形的性质:等边三角形的

(2)等边三角形的判定:

四、精讲精练

精讲:

例1、如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,

AC于D,E。求证△ADE是等边三角形。

例2、探究:等边三角形三条中线相交于一点。画出

图形,找出图中所有的全等三角形,并证明它们全等。

精练:

教材P54练习第1、2题(完成于书上)

五、课堂小结:等边三角形的性质、判定

六、作业

数学教研组YW

ADE30

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

1、如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,

求证BE=DC

2、如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求∠DBC的度数。

12.3.2等边三角形(2)

一、学习目标:

1. 掌握含30o角的直角三角形的性质,并能灵活运用这一性质解决实际问题。

2. 培养学生的推理能力和数学语言表达能力.

3. 感受数学的严谨性,激发学生的好奇心和求知欲。

二、重点难点:

重点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用.

难点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明。

三、合作探究

1. 复习回顾:等边三角形的性质与判定

2. 问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形??能

拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.

3. 由2你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?

你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗?

4. 由3,我们得到下面的性质定理:

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 5. 填空:如右图,在△ABC中,

∵∠C=90o,∠A=30o

A

数学教研组YW 31

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

∴BC=

1

( ) 2

BDA

E

C

四精讲精练

例1、如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?

例2、等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,则腰上的高为 。 精练:

1. 已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高, ∠A=30°. 求证:BD=

1

AB. 4

D

C

2. 如图, △ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的

点,

3. 且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F

求证:BP=2PF

五、课堂小结

直角三角形中,30度叫所对直角边等于斜边的一半 六、作业

E

1、如图:等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动,点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动,已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动,运动过程中DE与BC相交于点P

(1). 运动几秒后,△ADE为直角三角形?

(2).求证:在运动过程中,点P始终为线段

中点。 (提示:过点D作AF的平行线)

2、P58 14 3、P56 6

数学教研组YW

32

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

13.1平方根(第1课时)

一、教学目标

1.经历算术平方根概念的形成过程,了解算术平方根的概念.

2.会求某些正数(完全平方数)的算术平方根并会用符号表示.

二、重点和难点

1.重点:算术平方根的概念.

2.难点:算术平方根的概念.

(本节课需要的各种图表要提前画好)

三、合作探究

请看下面的例子.

学校要举行美术作品比赛,扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少分米? (师演示一张面积为25平方分米的纸)

(一)谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米?你是怎么算出来的?

答:因为52=25(板书:因为52=25),所以这个正方形画布的边长应取5分米(板书:所以边长=5分米).

(二)

这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题,什么问题?它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题,我们就有了算术平方根的概念.

正数3的平方等于9,我们把正数3叫做9的算术平方根.

正数4的平方等于16,我们把正数4叫做16的算术平方根.

说说6和36这两个数?

??(多让几位同学说,学生说得不正确的地方教师随即纠正)

说说1和1这两个数?

同桌之间互相说一说5和25这两个数.(同桌互相说)

说了这么多,同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢?还是先在小组里讨论讨论,说说自己的看法.

(三)什么是算术平方根呢?如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做a的算数学教研组YW 33

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

术平方根

请大家把算术平方根概念默读两遍.(生默读)

(师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片,一面写1-10,另一面写1-10的平方.生任意抽一张卡片,让其他学生回答平方或算术平方根。

(按以上过程抽完所有卡片)

如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做a的算术平方根.为了书写方便,我们把a

的算术平方根记作a

.

(指准上图)看到没有?这根钓鱼杆似的符号叫做根号,a

a的算术平方根.

四、精讲精练

精讲

例: 求下列各数的算术平方根: (1)49; (2)0.0001. 64根号被开方数

(要注意解题格式,解题格式要与课本第68页上的相同)

精练

1.填空:

(1)因为_____2=64,所以64的算术平方根是______

______;

(2)因为_____2=0.25,所以0.25的算术平方根是______

______;

(3)因为_____2=1616,所以的算术平方根是______

______. 49492.求下列各式的值:

______;

=______;

=______;

______;

______;

______. 3.根据112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,162=256,172=289,数学教研组YW 34

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

182=324,192=361,填空并记住下列各式:

_______,

=_______,

=_______,

=_______,

=_______,

_______,

_______,

_______,

_______.

(学生记住没有,教师可以利用卡片进行检查,并要求学生课后记熟)

4.辨析题:卓玛认为,因为(-4)2=16,所以16的算术平方根是-4.你认为卓玛的看法对吗?为什么?

五课堂小结,

a

a叫做被开方数.

六、作业 P75习题 1.

13.1平方根(第2课时)

一、教学目标

1.

理解,感受无理数,初步了解无限不循环小数的特点.

2.会用计算器求算术平方根.

二、重点和难点

1.重点:感受无理数.

2.难点:感受无理数.

(本节课使用计算器,最好每个同学都要有计算器)

三、合作探究

1.填空:如果一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做a的_______________,记作_______.

2.填空:

(1)因为_____2=36,所以36的算术平方根是_______

_____; 数学教研组YW 35

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(2)因为(____)2=99,所以的算术平方根是_______

_____; 6464 (3)因为_____2=0.81,所以0.81的算术平方根是_______

_____;

(4)因为_____2=0.572,所以0.572的算术平方根是_______

_____.

3.师抽卡片生口答.

a2等形式)

(二)

(看下图)

这个正方形的面积等于4,它的边长等于多少?

谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?

这个正方形的面积等于1,它的边长等于多少?

用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系?

(指准图)这个正方形的边长等于面积1(边讲边)

生:等于1.(师板书:=1) (看下图)这个正方形的面积等于2 面积=2.(上面三个图的位置如下所示)

2=1面积=1面积=2面积=4边长==1边长=边长==2面积=4面积=1么求?

在1和2数学教研组YW 36

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

第一条线索是那个数在1和2之间,第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这

两条线索,我们来找等于.

我们在1和2之间找一个数,譬如找1.3,(板书:1.32=)1.3的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)

1.69不到2,说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了,那我们找1.5,1.5的平方等于多少?(师生共同用计算器计算)2.25超过2,说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了,找1.5又大了,下面怎么找呢?大家用计算器,算一算,找一找,哪个数的平方恰好等于2?

1.41421356点点点,可见是一个小数,这个小数与我们以前学过的小数相比有点不同,有什么不同呢?第一,这个小数是无限小数(板书:无限)

.

.

.

四、精讲精练

例 用计算器求下列各式的值:

0.001);

(按键时,教师要领着学生做;解题格式要与课本上的相同)

练习

1.填空:

(1)面积为9

(2)面积为7的正方形,

2.用计算器求值:

(2)= ;

(3) (精确到0.01).

3.选做题:

(1)用计算器计算,并将计算结果填入下表:

= ; (利用计算器求值,精确到0.001).

数学教研组YW 37

(2)观察上表,你发现规律了吗?根据你发现的规律,不用计算器,直接写出下列各式的值:

, .

五、课堂小结

无理数 六、作业:P72 1.

13.1平方根(第3课时)

一、教学目标

1.经历平方根概念的形成过程,了解平方根的概念,会求某些正数(完全平方数)的平方根.

2.经历有关平方根结论的归纳过程,知道正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.

二、重点和难点

1.重点:平方根的概念.

2.难点:归纳有关平方根的结论.

三、合作探究

(一)基本训练,巩固旧知

1.填空:如果一个 的平方等于a,那么这个 叫做a的算术平方根,a的算术平方根记作 .

2.填空:

(1)面积为16 (2)面积为15的正方形,3.填空:

(1)因为1.72=2.89,所以2.89的算术平方根等于 ;

(2)因为1.732=2.9929,所以3的算术平方根约等于 . 数学教研组YW

= ; (利用计算器求值,精确到0.01). 38

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(二)什么是平方根呢?大家先来思考这么一个问题.

(三) 如果一个正数的平方等于9,这个正数是多少?

如果一个数的平方等于9,这个数是多少?

和算术平方根的概念类似,(指准32=9)我们把3叫做9的平方根,(指准(-3)2=9)把-3也叫做9的平方根,也就是3和-3是9的平方根(板书:3和-3是9的平方根).

我们再来看几个例子.

(师出示下表)

同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的,谁会用一句话概括什么是平方根?

平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.

大家把平方根概念默读两遍.(生默读)

平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别,哪一点点区别?

四、精讲精练

例1、 求下面各数的平方根:

(1)100; (2)0.25; (3)0; (4)-4;

(1)因为

(±10)2=100),所以100的平方根是+10和-10

0的平方是0,正数的平方是正数,负数的平方还是正数,所以任何数的平方都不会等于-4.这说明什么?

从这个例题你能得出什么结论?(稍停片刻)正数有几个平方根?0有几个平方根?负数有几个平方根?

小组讨论:

正数有 平方根(板书:正数有两个平方根).

平方根有什么关系?

数学教研组YW 39

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0的平方根有 个,平方根是 .负数 平方根 大家把平方根的这三条结论读两遍.

精练

1.填空:

(1)因为( )2=49,所以49的平方根是 ;

(2)因为( )2=0,所以0的平方根是 ;

(3)因为( )2=1.96,所以1.96的平方根是 ;

2.填空:

(1)121的平方根是 ,121的算术平方根是 ;

(2)0.36的平方根是 ,0.36的算术平方根是 ; (3) 的平方根是8和-8, 的算术平方根是8; (4) 的平方根是3

5和?3

5,的算术平方根是3

5.

3.判断题:对的画“√”,错的画“3”.

(1)0的平方根是0 ( )

(2)-25的平方根是-5; ( )

(3)-5的平方是25; ( )

(4)5是25的一个平方根; ( )

(5)25的平方根是5; ( )

(6)25的算术平方根是5; ( )

(7)52的平方根是±5; ( )

(8)(-5)2的算术平方根是-5. ( )

五、课堂小结: 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.

六、作业P75 3 p76 8

13.2立方根(1)

一、学习目标:

1、了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.

数学教研组YW 40

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2、了解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根.

3、体会一个数的立方根的惟一性, 分清一个数的立方根与平方根的区别。

二、重点难点

重点:立方根的概念和求法。

难点:立方根与平方根的区别。

三、合作探究

1.平方根是如何定义的 ? 平方根有哪些性质?

2、问题:要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是

3、思考:(1) 的立方等于-8?

(2)如果上面问题中正方体的体积为5cm3,正方体的边长又该是

4、立方根的概念:

如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的 .(也叫做数a的 ).

换句话说,如果 ,那么x叫做a的立方根或三次方根. 记作: .读作“ ”,

其中a是 ,3是 ,且根指数3 省略(填能或不能),否则与平方根混淆.

5、开立方

求一个数的 的运算叫做开立方, 与开立方互为逆运算 (小组合作学习)

6、立方根的性质

(1)教科书77页探究

(2)总结归纳:

正数的立方根是 数,负数的立方根是 数,0的立方根是 .

(3)思考:每一个数都有立方根吗? 一个数有几个立方根呢?

(4)平方根与立方根有什么不同?

数学教研组YW 41

四、精讲精练 例1、 求下列各式的值:

(1)64; (2)

例2、求满足下列各式的未知数x:

(1)x3?0.008

练习

1. 判断正误:

(1)、25的立方根是 5 ;( )

(2)、互为相反数的两个数,它们的立方根也互为相反数;( )

(3)、任何数的立方根只有一个;( )

(4)、如果一个数的平方根与其立方根相同,则 这个数是1;( )

(5)、如果一个数的立方根是这个数的本身,那么这个数一定是零;( )

(6)、一个数的立方根不是正数就是负数.( )

(7)、–64没有立方根.( )

2、(1) 64的平方根是________立方根是________. 27的立方根是________. (3) ?7是_______的立方根. 3102 27

3??x??9则 x=_______, 若? (4) 若 , ,?x??9则 x=________. 2

有意义,则x的取值 (5) 则x的取值范围是__________, x2??x?x

范围是_______________.

3、计算:(1)3?23 8

x?y4、已知x-2的平方根是?4,2x?y?12的立方根是4,求?x?y?

五、课堂小结:正数、负数、0都有立方根

六、作业 :P80 2、4

数学教研组YW 的值. 42

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13.2立方根 (2)

引入

1. 立方根及开立方的概念

2. 平方根与立方根有什么不同?

3、(1) 64的平方根是________立方根是________. 327的立方根是________. (3) ?7是_______的立方根.

??? ,x??9?x??9 (4) 若 ,则 x=_______, 若则 x=________. 23

(5) 则x的取值范围是__________ x2??x

合作探究

1、完成教科书78页探究,总结规律

求负数的立方根,可以先求出这个负数的 的立方根,再取

其 ,即

思考:立方根是它本身的数是 ,平方根是它本身的数是

2、一些计算机设有 键,用它可以求出一个立方根(或其近似值)。有些计算器需要用 键求一个数的立方根。

精讲精练

例1、 求下列各式的值:

(1)?125; (2)?210 (3)?111; 1000

例2、求满足下列各式的未知数x:

(1) 64x3?125?0

练习

数学教研组YW 43

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1.完成79页练习

2、计算: ?3?2?10 27

3、计算:??2?

?3

?1?

???. ?2?2

课堂小结:求负数的立方根,可以先求出这个负数的 的立方根,再取其 ,即

思考:立方根是它本身的数是 ,平方根是它本身的数是

2、一些计算机设有 键,用它可以求出一个立方根(或其近似值)。有些计算器需要用 键求一个数的立方根。

13.3实数(第一课时)

一、学习目标:

1、了解实数的意义,能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数。

二、重点与难点

学习重点:理解实数的概念。

学习难点:正确理解实数的概念。

三、合作探究

(一)学前准备

1、填空:(有理数的两种分类)

有理数

2、使用计

数学教研组YW 有理数 算

器计算,把44

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下列有理数写成小数的形式,你有什么发现?

5347911 3 , ? , , , , 958119

(二)、探究新知

1、归纳: 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来,任何______小数或____________小数也都是有理数

观察 通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的_____根和______根都是____________小数, ____________小数又叫无理数,??3.14159265?也是无理数

结论: _______和_______统称为实数

你能举出一些无理数吗?

2、试一试 把实数分类

像有理数一样,无理数也有正负之

分。例如

,,?是____无理

理数

分类:

实数

3、我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?

(1)如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O′,点O′的坐标是多少?

数学教研组YW

??是____无理数。由于非0有和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样45

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______,点O′的坐标是_______ 这样,无理数可以用数轴上的点表示出来

(2)

总结 ①事

实上,每一

个无理数都可以用数轴上的__________表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示__________,有些表示__________

当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是__________的,即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示;反过来,数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点

表示的实数______

③ 当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实

数吗?

总结 数a的相反数是______,这里a表示任意____________。一个正实数的绝对值是______;一个负实数的绝对值是它的______;0的绝对值是______

四、精讲精练

例1、把下列各数分别填入相应的集合里:

?227?3.141,,,?,?,1.414,?0.020202?, 378

正有理数{ }

负有理数{ }

正无理数{ }

负无理数{ }

2、下列实数中是无理数的为( )A. 0 B. ?

3.5

3、 的相反数是 ,绝对值

数学教研组YW 46

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4、绝对值等于 的数是 , 的平方是

5、

6、求绝对值

练习

(一)、判断下列说法是否正确:

1.实数不是有理数就是无理数。 ( )

2.无限小数都是无理数。 ( )

3.无理数都是无限小数。 ( )

4.带根号的数都是无理数。 ( )

5.两个无理数之和一定是无理数。 ( )

6.所有的有理数都可以在数轴上表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数。( )

(二)、填空1、

2、

3、比较大小

4

?_________

五、课堂小结

这节课你有什么新发现?知道了哪些新知识?

无理数的特征:

1.圆周率及一些含有的数

2.开不尽方的数

3.无限不循环小数

注意:带根号的数不一定是无理数

六、作业

数学教研组YW 47

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1、 把下列各数填入相应的集合内:

有理数集合{ } 无理数集合{ }

整数集合{ } 分数集合{ }

实数集合{ }

2、下列各数中,是无理数的是( )A. ?1.732 B. 1.414

3.14

3、已知四个命题,正确的有( )

⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数

⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

4、若实数a满足a??1,则( )

A. a?0 B. aa?0 C. a?0 D. a?0

5、下列说法正确的有( )

⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数 ⑸非负实数中最小的数是0

A. 2个

B. 3个 C. 4个 D.5个

62的相反数是_________ ,绝对值是_________

⑵ ⑶若

x2x? _________

⑷3??

?_______

7

x?_________

13.3实数(第2课时)

一、学习目标

1、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义。

2、会按要求用近似有限小数代替无理数,再进行计算。

数学教研组YW 48

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二、重点与难点

重点:在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值。

难点:简单的无理数计算。

三、合作探究

㈠ 学前准备

1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律

2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律

3、有理数的混合运算顺序

㈡自主探索 独立阅读,自习教材

总结 当数从有理数扩充到实数以后,

1、数a的相反数是 ;

2、一个正实数的绝对值是它 ;一个负实数的绝对值是它的 ;0的绝对值是 。

3、实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

讨论 下列各式错在哪里?

11、?32?3?9?

?9?3?3?9

2

1 2?0 3

?

x?2四、精讲精练 例1

、计算下列各式的值:

解:⑴

?

?0? ??3?2 ?

总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的

练习

?1

? (精确到0.01)

?

2

(结果保留3个有效数字) 总结 在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算

数学教研组YW 49

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计算

㈢应用迁移,巩固提高

例2

⑴求5的算术平方根于的平方根之和(保留3位有效数字)

(精确到0.01)

(精确到0.01) a??)例3

a、b、

c在数轴上的位置如下,化简a?b?a?b

1 ?2

20?2?????2?例4 计算??? ?2??????2????3???

???

五、课堂小结

1

、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义

六、作业

1

的相反数是 ,

2、当a?17

a? ?3

7、计算下列各题 b?c 6a和b之间,即a?b,那么a、b的值是

?1?2 ?3?4 仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律吗?

根据这个规律先写出下面的结果,并说明理由

解得?1?3 ?2?33 ?3?333 ?4?3333

?33?3 ???

n个3

数学教研组YW 50

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14.1.1 变量

一、教学目标

1.认识变量、常量.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

二、重点难点

重点

1.认识变量、常量. 2.用式子表示变量间关系.

教学难点

用含有一个变量的式子表示另一个变量.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.?行驶时间为t小时.

1.请同学们根据题意填写下表:

2.在以上这个过程中,变化的量是________.不变化的量是__________. 3.试用含t的式子表示s

四、精讲精练

1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.?怎样用含x的式子表示y?

2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm?,?每1kg?重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?

结论:

1.早场电影票房收入:150310=1500(元)

日场电影票房收入:205310=2050(元)

晚场电影票房收入:310310=3100(元)

关系式:y=10x

2.挂1kg重物时弹簧长度: 130.5+10=10.5(cm)

数学教研组YW 51

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挂2kg重物时弹簧长度:230.5+10=11(cm)

挂3kg重物时弹簧长度:330.5+10=11.5(cm)

关系式:L=0.5m+10

精练:

1.购买一些铅笔,单价0.2元/支,总价y元随铅笔支数x变化,?指出其中的常量与变量,并写出关系式.

2.一个三角形的底边长5cm,高h可以任意伸缩.写出面积S随h?变化关系式,并指出其中常量与变量.

五、课堂小结

本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.

1.确定事物变化中的变量与常量.

2.尝试运算寻求变量间存在的规律.

3.利用学过的有关知识公式确定关系区.

六.作业

课后思考题、练习题.

Ⅵ.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放.试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.

过程:要求变量间关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法.

结论:从题意可知:

堆放1层,总数y=1

堆放2层,总数y=1+2

堆放3层,总数y=1+2+3

1 堆放x层,总数y=1+2+3+?x 即y=x(x?1) 2

14.1.2 函数

数学教研组YW 52

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一、教学目标

1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.

2.进一步理解掌握确定函数关

系式.

3.会确定自变量取值范围.

二、重点难点

重点 : 1.进一步掌握确定函

数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.

难点: 认识函数、领会函数的意义.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变量?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时,另一个变量是否随之确定一个值呢?

由以上回顾我们可以归纳这样的结论:

上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.

其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题,通过观察、思考、讨论后回答:

(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y?表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?

(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,?对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)

吗?

当x=a时,y=b,那么b?叫做当自变量的值为a时的

函数值.

据此我们可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,

里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值

数学教研组YW

53

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s=120,t=2.5时的函数值s=150,?,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,?年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52亿.

四、精讲精练

例、一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.

1.写出表示y与x的函数关系式.

2.指出自变量x的取值范围.

3.汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?

练习

下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.

1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.

2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n?的变化而变化.

五课堂小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论,认识了自变量、函数及函数值的概念,并通过两个活动加深了对函数意义的理解,学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法,会求函数值,提高了用函数解决实际问题的能力.

六、作业.P、99练习

14.1.3 函数图象

一、教学目标

1.学会用列表、描点、连线画函数图象.

2.学会观察、分析函数图象信息.

3.体会数形结合思想,并利用它解决问题,提高解决问题能力.

二、重点难点

重点: 1.函数图象的画法. 2.观察分析图象信息.

数学教研组YW 54

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难点: 分析概括图象中的信息.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

我们在前面学习了函数意义,并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数关系式表示出来,然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系.

即使对于能列式表示的函数关系,如果也能画图表示则会使函数关系更清晰. 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息.

Ⅱ.导入新课

我们先来看这样一个问题:

正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写下表:

纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph).?上

2图中的曲线即为函数S=x(x>0)的图象.

函数图象可以数形结合地研究函数,给我们带来便利.

[活动一]

活动内容设计:

下图是自动测温仪记录的图象,?它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?

教师活动:

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数,体会函数意义;可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间;在某些时间段的变化趋势;认识图象的直观性及优缺点;总结变化规律??.

活动结论:

数学教研组YW 55

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为,气温T是时间t的函数.

2.这天中凌晨4时气温最低为-3℃,14时气温最高为8℃.

3.从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下降.从4时至14?时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.

4.我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少.

5.如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温变化规律.

[活动二]

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.?其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.

根据图象回答下列问题:

1.菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?

2.小明给菜地浇水用了多少时间?

3.菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间?

4.小明给玉米地锄草用了多长时间?

5.玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家平均速度是多少?

活动结论:

1.由纵坐标看出,菜地离小明家1.1千米;

由横坐标看出,?小明走到菜地用了15分钟.

2.由平行线段的横坐标可看出,小明给菜地

浇水用了10分钟.

3.由纵坐标看出,菜地离玉米地0.9千米.由

横坐标看出,?小明从菜地到玉米地用了12分钟.

4.由平行线段的横坐标可看出,小明给玉米

地锄草用了18分钟.

5.由纵坐标看出,玉米地离小明家2千米.由横坐标看出,?小明从玉米地走回家用了25分钟.所以平均速度为:2÷25=0.08(千米/分钟).

四、精讲精练

数学教研组YW

56

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

例1、:在下列式子中,对于x的每个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.请画出这些函数的图象.

1.y=x+0.5 2.y=

解:1.y=x+0.5

从上式可看出,x取任意实数式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数.

从x

根据表中数值描点(x,y),并用光滑曲线连结这些点.

从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.

6 2.y=(x>0) x6(x>0) x 自变量的取值为x>0的实数,即正实数.

按条件选取自变量值,并计算y值列表:

据表中数值描点(x,y)并用光滑曲线连结这些点,就得到图象.

从函数图象可以看出,曲线从左向右下降,即当x由小变大时,y=

由以上例题可以知道:描点法画函数图象的一般步骤是

第一步:列表.在自变量取值范围内选定一些值.通过函数关系式求出对应函数值列成表格.

数学教研组YW 6随之减小. x57

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第二步:描点.在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数值为纵坐标,描出表中对应各点.

第三步:连线.按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来. 练习

(1)下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水,?水从壶下的小孔漏出,壶壁内画出刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.用x?表示时间,y表示壶底到水面的高度.下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系?

(2)a是自变量x取值范围内的任意一个值,过点(a,0)画y轴的平行线,?与图中曲线相交.下列哪个图中的曲线表示y是x的函数?为什么?

五、课堂小结

本节通过两个活动,学会了分析图象信息,解答有关问题.通过例题学会了用描点法画出函数图象,这样我们又一次利用了数形结合的思想.

六、作业 P104 练习2、3

14.1.4 函数的表示方法

一、教学目标

1.总结函数三种表示方法.

2.了解三种表示方法的优缺点.

3.会根据具体情况选择适当方法.

4.利用数形结合思想,据具体情况选用

适当方法解决问题的能力.

二、重点难点:

重点:

1.认清函数的不同表示方法,知道各自

优缺点.

2.能按具体情况选用适当方法.

难点

函数表示方法的应用.

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三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格.写式子和画图象的方法表示了一些函数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.

那么,请同学们思考一下,从前面的例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点?在遇到具体问题时,该如何选择适当的表示方法呢?

这就是我们这节课要研究的内容.

从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时,就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法,有时为了全面地认识问题,需要几种方法同时使用.

四、精讲精练

1.由记录表推出这5小时中水位高度y(米)随时间t?(时)变化的函数解析式,并画出函数图象.

2.据估计这种上涨的情况还会持续2小时,预测再过2小时水位高度将达到多少米?

解:1.由表中观察到开始水位高10米,以后每隔1小时,水位升高0.05米,?这样的规律可以表示为: y=0.05t+10(0≤t≤7)

这个函数的图象如下图所示:

2.再过2小时的水位高度,就是t=5+2=7时,y=0.05t+10的函数值,从解析数学教研组YW

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式容易算出:y=0.0537+10=10.35

从函数图象也能得出这个值数.

2小时后,预计水位高10.35米.

就上面的例子中提几个问题大家思考:

1.函数自变量t的取值范围:0≤t≤7是如何确定的?

2.2小时后的水位高是通过解析式求出的呢,还是从函数图象估算出的好? 3.函数的三种表示方法之间是否可以转化?

1.从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况,?且估计这种上涨情况还会持续2小时,所以自变量t的取值范围取0≤t≤7,超出了这个范围,?情况将难以预计.

2.2小时后水位高通过解析式求准确,通过图象估算直接、方便.?就这个题目来说,2小时后水位高本身就是一种估算,但为了准确而言,?我认为还是通过解析式求出较好.

3.从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化,因为题目中只给出了列表法,而我们通过分析求出解析式并画出了图象,所以我认为可以相互转化.

练习:

1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数.

2.用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数.

3、 甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0≤x≤100)变化的函数解析式,并画出函数图象.

五、课堂小结

通过本节课学习,我们认识了函数的三种不同的表示方法,并归纳总结出三种表示方法的优缺点,学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题,进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化,为下面学习数形结合的函数 做好了准备.

六.作业P108 8、9、10

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14.2.1正比例函数

一、学习目标:

能够利用正比例函数解决简单的数学问题

二、重点难点

学习重点:正比例函数的概念

学习难点:正比例函数的特征

三、合作探究:

1、观察p111、这些函数都是常数与自变量的成绩。

2、看课本p110-111得出正比例函数的定义。

四、精讲精练

例题讲解

(1) 若y?5x3m?2是正比例函数,m=________________

(2) 若y?(m?2)xm

22?3是正比例函数,m=________________ (3) 若y?(m?1)xm是关于x的正比例函数,则m=________________

(4) 已知一个正比例函数的比例系数是-5,则它的解析式为____________

(5) 在同一直角坐标系中,画出下列正比例函数的图象

y?2x y??2x

比较上面的两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律,填写你发现的规律:

两个图象都是经过_______点的_______线,函数y?2x的图象从左向右呈数学教研组YW 61

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____________趋势,经过第____________象限;函数y??2x的图象从左向右呈_________趋势,经过第______________象限。

练习p112

五、课堂小结:

这节课你学到了些什么知识?你有什么收获?是否还有什么不解或困惑?

请思考后发表自己的见解。

六、作业:

习题14.2 P120第1,2题。

14.2.2一次函数 (1)

一、学习目标:

1.掌握一次函数解析式的特点及意义.

2.理解一次函数与正比例函数的关系.

3.会画一次函数的图象

二、重点难点

学习重点:理解和掌握一次函数解析式特点.

学习难点:一次函数与正比例函数关系的正确理解.

三、合作探究(同学交流,教师引导)

1.写出下列问题的解析式

(1)某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.(1)试用解析式表示y?与

(2)有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C?的值约是t的7倍与35的差.

(3)一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是:

以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.

x

(4)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.1分收取).

(5)把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变,矩形面积y(cm2)随x的值而变化.

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上面这些函数的形式都是自变量x的k(常数)倍与一个常数的和. 如果我们用b来表示这个常数的话.?这些函数形式就可以写成:y=kx+b(k≠0)

精讲精练:

一次函数的概念

1、一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0?)的函数,?叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

1.对一次函数概念内涵和外延的把握:

(1)自变量系数(常数)k≠0;

(2)自变量x的次数为1;

2.一次函数与正比例函数的辨证关系可以用下图来表示:

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例1、:下列函数关系式中,哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?

2y?5x?6 (1)y=-x-4 (2)8y??x (4) y=-8x (3)

例2.若函数y=(m-1)x+m是关于x的一次函数,试求m的值.

分析:一次函数的条件:

(1)、自变量次数为1; (2)、自变量系数k ≠0

精练

1、下列说法不正确的是( )

(A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数

(C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数

2、已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,

(1)此函数为正比例函数?

(2)此函数为一次函数?

3、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加2米。(1)求小球速度v随时间t变化的函数关系式,它是一次函数吗?(2)求第2.5秒时小球的速度?

4.汽车油箱中原有油50L,如果行驶中每小时用油5L,求油箱中油量y(L)随行驶时间x(小时)变化的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围。y是x 的一次函数吗?

五、课堂小结:一次函数解析式的特点,与正比例函数的关系。

六、作业

1、梯形的上底长x,下底长15,高8;

(1)写出梯形的面积y与上底x的关系式,是一次函数吗?

(2)当x每增加1时, y是如何变化的?

(3)当x=0时, y等于多少?此时y的意义是什么?

2.若函数y=mx-(4m-4)的图象过原点,则m=_______,此时函数是______?函数.若函数y=mx-(4m-4)的图象经过(1,3)点,则m=______,此时函数是______函数. 14.2.2一次函数(2)

一、学习目标:1.知道一次函数图象的特点。

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2.知道一次函数与正比例函数图象之间的关系.

3.会熟练地画一次函数的图象.

二、重点难点

学习重点:一次函数图象的特点及画法.

学习难点:k、b的值与图象的位置关系。

三、合作交流

1.观察上一节学案中函数y=2x+3与y=--2x+3的图象,猜测一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状?

小结:①一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条_____。通常也称为直线y=kx+b(b≠0),特别地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过_____的一条直线.

②____个点可以确定一条直线。因此今后再画一次函数和正比例函数的图象时,只需要取____个点即可。(取哪两个点呢?)

2.比较函数式y=2x+3与y=-2x+3及图象的特点:

小结:一次函数y=kx+b有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而_____,这时函数的图象从左到右_____;

(2)当k<0时,y随x的增大而_____,这时函数的图象从左到右_____.

四、精讲精练

例.观察比较课本y=-6x与 y=-6x+5的图象,找出它们的相同点和不同点,完成115页思考。

小结:直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移_____个单位而得到,当b>0时,向_____平移,当b<0时,向_____平移。即k值相同时,直线一定平行。

练习

1、在不同坐标系中作出下列函数的图象:

(1)y=3x+2 (2)y= -3x+2 (3)y=3x-2 (4)y= -3x-2

归纳:一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为(理解掌握): 数学教研组YW 65

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2、(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线 ;

(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线 ;

(3)将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线 .

3.函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,求函数的表达式.

4.一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,-2),且与直线y?3x?

函数表达式.

5.已知一次函数y=(2m-1)x+m+5,当m是什么数时,函数值y随x的增大而减小?

五、课堂小结:

1、一次函数图象的特点及画法. 2、 k、b的值与图象的位置关系。

六、作业:

1.已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

12.说出直线y=3x+2与y?x?2;y=5x-1与y=5x-4的相同之处. 2

3、在直线y=-3x+2上有两点A(x1,y1)和(x2,y2),若x1<x2,则y1 y2. 1平行,求它的2

14.2.2一次函数(3)

66 数学教研组YW

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一、学习目标:

1.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式,一个条件求出正比例函数的表达式.

3能根据函数的图象确定一次函数的表达式,培养学生的数形结合能力.

二、重点难点

学习重点:能根据两个条件确定一个一次函数。

学习难点: 从各种问题情境中寻找条件,确定一次函数的表达式。

三、合作探究

一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢?

1. 已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?

根据一次函数的定义,可以设这个一次函数为:y=kx+b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值.

由已知条件x=-2时,y=-1,得 -1=-2k+b.

由已知条件x=3时,y=-3, 得 -3=3k+b.

两个条件都要满足,即解关于x的二元一次方程组

2若一次函数y=mx-(m-2)过点(0,3),求m的值.

分析考虑到直线y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知x=0时,y=3,求m.即求关于m的一元一次方程.

这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或四、精讲精练

例 1、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数y的值.

例2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求x=5时,函数y的值,仍需从求函数解析式着手.

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练习:

1、某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所

(1)写出v与t之间的关系式;

(2)下滑3秒时物体的速度是多少?

分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图

象,确定它是正比例函数的图象,还是一次函数的图

象,然后设函数解析式,再把已知的坐标代入解析式

求出待定系数即可.

2. 已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂

物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹

簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.

五、小结:1、了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式,一个条件求出正比例函数的表达式

六、作业:p120 7

示.

14.2.2 (4) 一次函数的应用

一、学习目标:1.熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标;

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.

二、重点难点

学习重点:学会识图,利用一次函数知识解决相关实际问题

学习难点:利用一次函数知识解决相关实际问题

三、合作探究

1.求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.

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解: 因为x轴上点的___坐标是0,y轴上点的___坐标是0,所以当y=0时,x=___,点A______就是直线与x轴的交点;当x=0时,y=___,点B______就是直线与y轴的交点.

过点______和______所作的直线就是直线y=

-2x-3.(自己画图)

线段OA= 线段OB= ,△AOB的面积为:

四、精讲精练

3例1、求函数y?x?3与x轴、y轴的交点坐标,并求2

这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.

例2、今年入夏以来,我市用水量大增.自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.

(1)画出函数的图象;

(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.

练习:

(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?

(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油?

(3)油箱中的剩余油量小于1升时,摩托车将自动报警。行驶多少千米后,摩托车将自动报警

五、小结:学会识图,利用一次函数知识解决相关实际问题、利用一次函数知识解决相关实际问题

六、作业:p120 8、9

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,B数学教研组YW 70

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14.3.1 一次函数与一元一次方程

一、 教学目标

1.用函数观点认识一元一次方程.

2.用函数的方法求解一元一次方程.

3.加深理解数形结合思想.

二、重点难点

教学重点

1.函数观点认识一元一次方程.

2.应用函数求解一元一次方程.

教学难点

用函数观点认识一元一次方程.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

我们来看下面两个问题:

1.解方程2x+20=0

2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?

这两个问题之间有什么联系吗?

我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法. Ⅱ.导入新课

我们首先来思考上面提出的两个问题.在问题1中,解方程2x+20=0,?得x=?-10.解决问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时,所对应的自变量x为何值.这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此这两

个问题实际上是一个问题.

从函数图象上看,直线y=2x+20与x轴交点的坐标

(-10,0),这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量

x为-10,即方程2x+20=0的解是x=-10.

[活动一]

活动内容设计:

由上面两个问题的关系,大家来讨论思考,归纳概

括出解一元一次方程与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0有什么关系?

教师活动:

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引导学生从特殊事例中寻求一般规律.进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系,从思想上真正理解函数与方程的关系.

学生活动:

在教师引导下,通过自主合作,分析思考,找出这两个具体问题中的一般规律,从而经过讨论,归纳概括出较完整的关系,还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的.

活动过程与结论:

规律:

任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式. 而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.

结论:

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

四、精讲精练

精讲

例:一个物体现在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再过几秒它的速度为17m/s?

解:方法一:设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知:2x+5=17

解之得:x=6.

方法二:速度y(m/s)是时间x(s)的函数,关

系式为:y=2x+5.

当函数值为17时,对应的自变量x值可通过解方

程2x+5=17得到x=6.

方法三:由2x+5=17可变形得到:2x-12=0.

从图象上看,直线y=2x-12与x轴的交点为(6,

0).得x=6.

总结:这个题我们通过三种方法,从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答.它是数与形的完美结合,结果是相同的,这就是特途同归.

[活动二]

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活动内容设计:

利用图象求方程6x-3=x+2的解.

活动设计意图:

通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题,进而加深对数形结合思想的认识与理解.

教师活动:

引导学生通过解决问题掌握方法,提高认识,从思想上真正理解数形结合的重要性.

学生活动:

在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题,从思想上理清数与形的有机结合.

活动过程与结论:

方法一:

我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0.

然后画出函数y=5x-5的图象,看直线y=5x-5与x

轴的交点在哪儿,?坐标是什么,由交点横坐标即可知

方程的解.

由图可知直线y=5x-5与x轴交点为(1,0),故可

得x=1.

方法二:

我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与

y=x+2在何时两函数值相等,?即可从两个函数图象上

看出,直线y=6x-3与y=x+2的交点,?交点的横坐标

即是方程的解.

由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点(1,

3),所以x=1.

练习

1.2x-3=x-2. 2.x+3=2x+1.

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解1.把2x-3=x-2整理变形为x-1=0.从函数

y=x-1的图象与x?轴交点坐标上即可看出方程的解.

由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为(1,

0).∴x=1.

2.我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与

y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等,反映在

图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标.由

下图可知交点为(2,5).

∴x=2.

五、课堂小结:一次函数与一元一次方程之间的联系

六、作业:p129 2

14.3.2 一次函数与一元一次不等式

一、教学目标

1.认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系. 2.学会用图象法求解不等式.

3.进一步理解数形结合思想.

二、重点难点

教学重点

1.理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系. 2.掌握用图象求解不等式的方法.

教学难点

图象法求解不等式中自变量取值范围的确定.

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三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

我们来看下面两个问题有什么关系?

1.解不等式5x+6>3x+10.

2.当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?

在问题1中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式得x>2. 解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.

那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来求解一元一次不等式?

以上这些问题,我们本节将要学到.

Ⅱ.导入新课

[师]我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出:

当x>2时,直线y=2x-4?上的点全在x轴上方,即这时

y=2x-4>0.

由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为

x>2.

由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x?在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.

由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,?求自变量相应的取值范围.

四、精讲精练

例: 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.

方法一:原不等式可以化为3x-6<0,画出直线y=3x-6的图象,

可以看出,当x<2时这条直线上的点在x轴的下方.即这时

y=3x-6<0,所以不等式的解集为x<2.

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方法二:将原不等式的两边分别看作两个一次函数,

画出直线y=5x+4与直线y=2x+10可以看出,它们交点的横

坐标为2.当x>2时,对于同一个x,直线y=5x+4?上的点

在直线y=2x+10上的相应点的下方,这时5x+4<2x+10,?

所以不等式的解集为:x<2.

以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上

点的位置的高低.

从上面两种解法可以看出,虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单,但是从函数角度看问题,能发现一次函数.一元一次不等式之间的联系,能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解.这种函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要.

巩固练习

1.当自变量x的取值满足什么条件时,函数y=3x+8的值满足下列条件? ①y=-7. ②y<2.

2.利用图象解出x:

6x-4<3x+2.

五、课堂小结:认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.学会用图象法求解不等式.进一步理解数形结合思想

六、作业:p126 2 p129 4

14.3.3 一次函数与二元一次方程(组)

一、教学目标

1.学会利用函数图象解二元一次方程组.

2.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性

3.经历观察、思考等数学活动,发展合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.

数学教研组YW

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罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

二、重点难点

教学重点

1.归纳图象法解二元一次方程组的具体方法.

2.灵活运用函数知识解决实际问题.

教学难点

灵活运用函数知识解决相关实际问题.

三、合作探究

提出问题,创设情境

3838 我们知道,方程3x+5y=8可以转化为y=-x+,并且直线y=-x+上每个点5555

的坐标(x,y)都是方程3x+5y=8的解.

由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式.所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线.

?3x?5y?8 那么解二元一次方程组? ?2x?y?1

38 可否看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标呢?如果可以,?55

我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢?

四、精讲精练

例、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分钟0.1?元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算.如何选择收费方式能使上网者更合算?

教师活动:

引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解. 学生活动:

在教师引导下建立两种计费方式的函数模型,然后比较求解.

活动过程及结论:

过程一:

设上网时间为x分钟,若按方式A收费,y=0.1x元;?若按B方式收费,?y=?0.05x+20元.

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象.

数学教研组YW 77

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解方程组:

?y?0.1x,?x?400, ? 得? ?y?0.05x?20.?y?40.

所以两图象交于点(400,40),从图象上可以看出:

当0<x<400时,0.1x<0.05x+20,

当x=400时,0.1x=0.05x+20,

当x>400时,0.1x>0.05x+20.

因此,当一个月内上网时间少于400分钟时,选择方式A省钱;?当上网时间等于400分钟时,选择方式A、B没有区别;当上网时间多于400分钟时,选择方式B省钱.

方法二:

设上网时间为x分钟,方式B与方式A两种计费的差额为y元,则y随x变化的函数关系式为:

y=(0.05x+20)-0.1x

化简:y=-0.05x+20.

在直角坐标系中画出函数的图象.

计算出直线y=-0.05x+20与x轴交点为(400,0).

由图象可知:

当0<x<400时,y>0,即选方式A省钱.

当x=400时,y=0,即选方式A、B没有区别.

当x>400时,y<0,即选方式B省钱.

由此可得如方法一同样的结论.

通过以上活动,使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性,但在确定分界点位置时,又要借助方程来准确求值.

联系以前所学方程(组),不等式与函数都是基本的数学模型,它们之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来,解决实际问题时,应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用.

数学教研组YW

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练习:

两种移动电话计费方式如下:

用函数方法解答如何选择计费方式更省钱.

五、课堂小结: 从实际问题中抽象出具体的数学问题

六、课后作业:p129 7、9

14.4课题学习 选择方案(第一课时)

一、教学目标 1、巩固一次函数知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.

2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力.

3、让学生认识数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

二、教学重点:1.建立函数模型。2.灵活运用数学模型解决实际问题。

三、例题讲解

小刚家因种植反季节蔬菜致富后,盖起了一座三层楼房,现正在装修,准备安装照明灯,他和他父亲一起去灯具店买灯具,灯具店老板介绍说:

一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的,售价60元.一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的,售价为3元.两种灯的照明效果是一样的.使用寿命也相同(3000小时以上) 父亲说:“买白炽灯可以省钱”.

而小刚正好读八年级,他在心里默算了一下说:“还是买节能灯吧”.父子二人争执不下,如果当地电费为0.5元/千瓦.时,请聪明的你帮助他们选择

哪种灯可以省钱呢?

问题 节省费用的含义是什么呢?

哪一种灯的总费用最少

灯的总费用=灯的售价+电费

数学教研组YW 79

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电费=0.53灯的功率(千瓦)3照明时间(时)

问题 如何计算两种灯的费用?

设照明时间是x小时, 节能灯的费用y1元表示,白炽灯的费用y2元表示,则有: y1 =60+0.530.01x;y2 =3+0.530.06x .

观察上述两个函数

若使用节能灯省钱,它的含义是什么?y1< y2

若使用白炽灯省钱,它的含义是什么?y1> y2

若使用两种灯的费用相等,它的含义是什么?? y1= y2 若y1< y2 ,则有

60+0.530.01x <3+0.530.06x

解得:x>2280

即当照明时间大于2280小时,购买节能灯较省钱

若y1 > y2,则有

60+0.530.01x >3+0.530.06x

解得:x<2280

即当照明时间小于2280小时,购买白炽灯较省钱.? 若y1= y2,则有

60+0.530.01x =3+0.530.06x

解得:x=2280

即当照明时间等于2280小时,购买节能灯、白炽灯均可. 解:设照明时间是x小时, 节能灯的费用y1元表示,白炽灯的费用y2元表示,则有:y1 =60+0.530.01x; y2 =3+0.530.06x .

若y1< y2 ,则有 60+0.530.01x <3+0.530.06x 解得:x>2280

即当照明时间大于2280小时,购买节能灯较省钱. 若y1 > y2,则有解得:x<2280

即当照明时间小于2280小时,购买白炽灯较省钱. 若y1= y2,则有

60+0.530.01x =3+0.530.06x

即当照明时间等于2280小时,购买节能灯、白炽灯均可. 能否利用函数解析式和图象也可以给出解答呢?

数学教研组YW 80

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

解:设照明时间是x小时, 节能灯的费用y1元表示,白炽灯的费用y2元表示,则有:

71.4

60

3

y 1 2280 y1 =60+0.530.01x; y2 =3+0.530.06x .

即: y1 =0.005x +60 y2 =0.03x + 3

由图象可知,当照明时间小于2280时, y2 <y1,故用白炽灯省钱;当照明时间大于2280时, y2>y1,故用节能灯省钱;当照明时间等于2280小时, y2=y1购买节能灯、白炽灯均可.

四、方法总结

1、建立数学模型——列出两个函数关系式

2、通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围。

3、选择出最佳方案。

14.4课题学习 选择方案(第二课时)

一、教学目标 1、巩固一次函数知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.

2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力.

3、让学生认识数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力

二、教学重点 1.建立函数模型。2.灵活运用数学模型解决实际问题。

三、例题讲解

引入问题:有甲乙两种客车,甲种客车每车能拉30人,乙种客车每车能拉40人,现在有400人要乘车,

1、你有哪些乘车方案?

2、只租8辆车,能否一次把客人都运送走?

问题2;怎样租车

某学校计划在总费用2300元的限额内,利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆

数学教研组YW 81

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表 :

(1)共需租多少辆汽车?

(2)给出最节省费用的租车方案。

分析;

(1)要保证240名师生有车坐

(2)要使每辆汽车上至少要有1名教师

根据(1)可知,汽车总数不能小于____;根据(2)可知,汽车总数不能大于____。综合起来可知汽车总数为 _____。

设租用x辆甲种客车,则租车费用y(单位:元)是 x 的函数,即

y=400x+280(6-x)

化简为: y=120x+1680

讨论:

根据问题中的条件,自变量x 的取值应有几种可能?

为使240名师生有车坐,x不能 小于____;为使租车费用不超过2300元,X不能超过____。综合起来可知x 的取值为____ 。

在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中的哪种方案?试说明理由。

方案一:

4两甲种客车,2两乙种客车

y1=12034+1680=2160

方案二:

5两甲种客车,1辆乙种客车;

y2=12035+1680=2280

应选择方案一,它比方案二节约120元。

3、学生练习

(2)根据市场调查分析,为保证市场供应,某蔬菜基地准备安排40个劳力,??用10公顷地种植黄瓜、西红柿和青菜,且青菜至少种植2公顷,?种植这三种蔬菜所需劳动力和预计产值如下

表:

数学教研组YW 82

四、小结

通过这节课的学习,你有什么收获?

问怎样安排种植面积和分配劳动力,使预计的总产值最高.

14.4课题学习 选择方案(第三课时)

一、教学目标 1、巩固一次函数知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.

2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力. 3、让学生认识数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力. 二、教学重点 1.建立函数模型。2.灵活运用数学模型解决实际问题。 三、教学过程 问题3 怎样调水

从A,B两水库向甲乙两地调水,其中甲地需水15万吨,乙地需水13万吨,A,B两水库各可调水14万吨,从A地到甲地50千米,到乙地30千米,从B地到甲地

60千米,到乙地45千米。设计

一个调运方案,使得水的调运量(单位:万吨3千米)最小

首先应考虑到影响水的调运量的因素有两个,即水量(单位:万吨)和运程(单位:千米),水的调运量是两者的乘积(单位:万吨2千米);其次应考虑到由A、B水库运往甲、乙两地的水量共4个量,即A--甲,A--乙,B--甲,B--乙的水量,它们互相联系。 设从A水库调往甲地的水量为x吨,则有: 设水的运量为y万吨2千米,则有: y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)

1)化简这个函数,并指出其中自变量x的取值应有什么限制条件。

数学教研组YW

83

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(2)画出这个函数的图像。

(3)结合函数解析式及其图像说明水的最佳调运方案。水的最小调运量是多少?

(4)如果设其他水量(例如从B水库调往乙地的水量)为x万吨,能得到同样的最佳方案么?

(1)y=5x+1275 1≤x≤14

(3)最佳方案为:从A调往甲1万吨水, 调往乙13万吨水;从B调往甲万水。

水的最小调运量为1280万吨2千米。

(4)最佳方案相同。

学生练习:

(1)东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.?该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择.

甲:买一支毛笔赠送一本书法练习本. 乙:按购买金额打九折付款.

某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≤10)本.如何选择方案购买呢? 小结

通过这节课的学习,你有什么收获?

15.1.1同底数幂的乘法 第1课时

一、学习目标:1.理解同底数幂的乘法法则.

2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.

二、重点难点

重 点: 正确理解同底数幂的乘法法则

难 点: 正确理解和应用同底数幂的乘法法则

数学教研组YW 84

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

三合作探究.提出问题,创设情境

复习a的意义:

?n是指数.

提出问题:

问题:一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可进行多少次运算? nna 表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂;a叫做底数,

导入新课

1.做一做

计算下列各式:

(1)25322

(2)a32a2

(3)5m25n(m、n都是正整数)

2.议一议

am2an等于什么(m、n都是正整数)?为什么?

“同底数幂相乘,底数__________,指数____________”.

精讲精练

讲解:

例1、计算

(1)x22x5

(2)a2a6

(3)2324323

(4)xm2x3m+1

例2计算am2an2ap后,能找到什么规律?

课堂练习

1.课本P142练习

五、课堂小结:同底数幂的乘法法则

六、作业 p148 1

15.1.2幂的乘方

数学教研组YW 85

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

一、学习目标:1.会进行幂的乘方的运算。.

2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.

二、重点难点

重 点: 会进行幂的乘方的运算

难 点: 幂的乘方法则的总结及运用

三、合作探究

提出问题,创设情境

计算(1)(x+y)22(x+y)3

(2)x2x2x+x2x

1 (3)(0.75a)32(a)4 443n-1n-2(4)x2x-x2x

导入新课

1.做一做

(a2)3224?6?表示_________个___________相乘. 24表示_________个___________相乘.

在这个练习中,要引导学生观察,推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。

?62?=________3_________3_______3________ 4

=__________(根据an2am=anm)

=__________

(a2)3=_______3_________3_______

=__________(根据an2am=anm)

=__________

2.议一议

(am)n=________3________3?3_______3_______

=__________(根据an2am=anm)

=__________

即 (am)n= ______________(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动,发现了什么?

数学教研组YW 86

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

幂的乘方,底数__________,指数__________.

四、精讲精练

例1、计算下列各题:

(1)(103)3 (2)[(2

3)3]4 (3)[(-6)3]4

(4)(x2)5 (5)-(a2)7 (6)-(as)3

(7)(x3)42x2 (8) 2(x2)n-(xn)2

(9)[(x2)3]7

练习 p143 练习题

五.反思归纳:幂的乘方法则作业

六、作业:p148 2

15.1.3 积的乘方

一、学习目标:1.会进行积的乘方的运算。.

2.理解积的乘方运算法则,能解决一些实际问题.

二、重点难点

重 点: 积的乘方运算法则及其应用.

难 点: 幂的运算法则的灵活运用

三、合作探究

提出问题,创设情境

若已知一个正方体的棱长为1.13103cm,?你能计算出它的体积是多少吗?

导入新课

四、精讲精练

精讲:

例1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?

(1)(ab)2=(ab)2(ab)=(a2a)2(b2b)=a( )b( )

数学教研组YW 87

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(2)(ab)3=______=_______=a( )b( )

(3)(ab)n=______=______=a( )b( )(n是正整数)

2.把你发现的规律用文字语言表述,再用符号语言表达.

3.积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢?请验证你的想法.

随堂练习

(1)(2a)3

(3)(xy2)2

五、课堂小结:积的乘方运算法则

六、作业p144 练习

= (2)(-5b)3= (4)(-2x3)4= =

15.1.4 整式的乘法

一、学习目标:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘

的法则,并运用它们进行运算.

二、重点难点

重 点: 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则 难 点: 多项式与多项式相乘

第一课时:

三、合作探究

(一)知识回顾:回忆幂的运算性质:

am2an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m,n都是正整数)

(二)创设情境,引入新课

1.问题:光的速度约为33105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5数学教研组YW 88

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

310秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

四、精讲精练

精讲

分析解决:(33105)3(53102)=(335)3(1053102)=153107

问题的推广:如果将上式中的数字改为字母,即ac52bc2,如何计算?

ac52bc2

=(a2c5)2(b2c2)

=(a2b)2(c2c)

=abc5+2

=abc7

自己动手,得到新知

1.类似地,请你试着计算:

(1)2c525c2;

(2)(-5a2b3)2(-4b2c)

2.得出结论:单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别_______________,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的__________作为积的一个因式. 例:巩固结论,加强练习

例:计算: (-5a2b)2(-3a) (2x)32(-5xy2)

课堂练习:p145 练习

五、小结:单项式与单项式相乘的法则

六、作业:p149 3

2a3bc2?(?2ab2) (?3x3)2?x3 (-10xy3)(2xy4z) 522

(-2xy2)(-3x2y3)(-

143xy) 3(x-y)22[-(y-x)3][ -(x-y)4] 4152

第二课时:

数学教研组YW 89

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

合作探究:

(一) 知识回顾:

单项式乘以单项式的运算法则

(二) 创设情境,提出问题

1.问题:三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内

的销售量(单位:瓶),分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内

销售这种商品的总收入吗?

2. 得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量,再求总收入,

即总收入为:________________

另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和

即总收入为:________________

所以:m(a+b+c)= ma+mb+mc

3.提出问题:根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?

(三) 总结结论【2】

单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相_____。

即:m(a+b+c)= _________________

(四) 巩固练习

21例: 2a22(3a2-5b) (ab2?2ab)?ab (-4x2) 2(3x+1); 32

练习:P146 练习1,2

(五)作业

1.若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则m-n的值为______

2.计算:(a3b)2(a2b)3 3. 计算:(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

52474. 计算:(-xy)?(xy2?2xy?y) 5.计算:(-3xy)(5x2y)?6x2(xy2?2y2) 2332

6.已知a?2,b?3,求3ab(a2b?ab2?ab)?ab2(2a2?3ab?2a)的值

7.解不等式:2x(x?1)?(3x?2)x?2x2?x2?1

8.若2x2?3x?m与x2?mx?2的和中不含x项,求m的值,并说明不论x取何值,它的值总是正数

第三课时:

数学教研组YW 90

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(一) 回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

(二) 创设情境,感知新知

1.问题:为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长a米,宽m米的长方形绿地增长b米,加宽n米,求扩地以后的面积是多少?

2. 提问:用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?

3.学生分析得出结果

(三) 学生动手,推导结论

1. 引导观察:等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ,把(m+n)看

成一个整体,那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与

多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学们试着做一做.

2.学生动手得到结论:

多项式与多项式相乘:先用一个多项式的_________乘另一个多项式的

_________,再把所得的积_________.

(四) 巩固练习

例:(x?2y)(x2?2xy?3y2) (2x?5)(x2?5x?6)

练习:(3x?1)(x?2) (x-8y)(x-y) (x?y)(x2-xy?y2)

例:先化简,再求值:(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6

练习:化简求值:(x?2)(x?3)?3(x?1)(x?1)?(2x?1)(2x?3),其中x=

一块长m米,宽n米的玻璃,长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少?

(五) 深入研究

数学教研组YW 4 591

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

1. 计算:①(x+2)(x+3); ②(x-1)(x+2); ③(x+2)(x-2); ④(x-5)(x-6);

⑤(x+5)(x+5); ⑥(x-5)(x-5);

3. 计算:(x+2y-1)2

4. 已知x2-2x=2,将下式化简,再求值.

(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

15.2.1 平方差公式

一、学习目标:1.经历探索平方差公式的过程.

2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.

二、重点难点

重 点: 平方差公式的推导和应用

难 点: 理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.

三、合作探究

你能用简便方法计算下列各题吗?

(1)200131999 (2)99831002

导入新课

计算下列多项式的积.

(1)(x+1)(x-1)

(2)(m+2)(m-2)

(3)(2x+1)(2x-1)

(4)(x+5y)(x-5y)

数学教研组YW 92

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

结论:两个数的和与这两个数的__________的积,等于这两个数的___________. 即:(a+b)(a-b)=a2-b2

四、精讲精练

例1:运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)

例2:计算:

(1)102398 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

随堂练习

计算:

(1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b)

(4)(a5-b2)(a5+b2) (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c) (6)(a-b)(a+b)(a2+b2)

五、课堂小结:(a+b)(a-b)=a2-b2

六、作业:p156 1

15.3.2.1 完全平方公式(一)

一、学习目标:1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何解释.

二、重点难点:

重 点: 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用

数学教研组YW 93

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

难 点: 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块塘,?

(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?

(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?

(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么?

Ⅱ.导入新课

计算下列各式,你能发现什么规律?

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;(2)(m+2)2=_______;

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;(4)(m-2)2=________;

(5)(a+b)2=________;(6)(a-b)2=________.

两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)____________的2倍.

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

四、精讲精练

例1、应用完全平方公式计算:

(1)(4m+n)2 (2)(y-

例2、用完全平方公式计算:

(1)1022 (2)992

随堂练习

课本P155练习1、2.

五、课堂小结:完全平方公式

六、p156 3

数学教研组YW 12 )(3)(-a-b)2 (4)(b-a)2 2 94

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

15.2.2.2 完全平方公式(二)

一、学习目标:1.添括号法则.

2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式

二、重点难点

重 点: 理解添括号法则,进一步熟悉乘法公式的合理利用

难 点: 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.

(1)4+(5+2) (2)4-(5+2) (3)a+(b+c) (4)a-(b-c)

去括号法则:

去括号时,如果括号前是正号,去掉括号后,括号里的每一项都不变号;如果括号前是负号,去掉括号后,括号里的各项都要变号。

1.在等号右边的括号内填上适当的项:

(1)a+b-c=a+( ) (2)a-b+c=a-( )

(3)a-b-c=a-( ) (4)a+b+c=a-( )

2.判断下列运算是否正确.

(1)2a-b-cc

2=2a-(b-2)

(2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b)

(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2)

(4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

四、精讲精练

例:运用乘法公式计算

(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2

数学教研组YW 95

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(3)(x+3)2-x2 (4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

随堂练习:p156课本练习

五、课堂小结:去括号法则

六、作业:p157 4、8

15.3.1 同底数幂的除法

一、学习目标:1.同底数幂的除法的运算法则及其应用.

2.同底数幂的除法的运算算理.

二、重点难点:

重 点: 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.

难 点: 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.

三、合作探究

Ⅰ.提出问题,创设情境

1.叙述同底数幂的乘法运算法则.

2.问题:一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)?的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?

Ⅱ.导入新课

请同学们做如下运算:

1.(1)28328 (2)52353 (3)1023105 (4)a32a3

2.填空:

(1)( )228=216 (2)( )253=55 (3)( )2105=107 (4)( )2a3=a6

3.思考:

(1)216÷28=( ) (2)55÷53=( )

数学教研组YW 96

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(3)10÷10=( ) (4)a÷a=( )

要求同学们理解解记忆同底数幂的除法的运算法则:

同底数幂相除,底数不变,指数相减。 即:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)

四、精讲精练

例题讲解:

1.计算:

(1)x8÷x2 (2)a4÷a (3)(ab)5÷(ab)2

2.先分别利用除法的意义填空,再利用am÷an=am-n的方法计算,你能得出什么结论??

(1)32÷32=( )

(2)103÷103=( )

(3)am÷an=( )(a≠0)

1.解:(1)x8÷x2=x8-2=x6.

(2)a4÷a=a4-1=a3.

(3)(ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.

规定: a0=1(a≠0)

即:任何不为0的数的0次幂都等于1.

随堂练习 课本 p160 练习1、2、3

五、课堂小结:同底数幂的除法的运算法则

a0=1(a≠0)

六、作业: p164 1

7563

数学教研组YW 97

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15.3.2 整式的除法

第一课时:单项式除以单项式

一、学习目标:1.单项式除以单项式的运算法则及其应用.

2.单项式除以单项式的运算算理.

二、重点难点:

重 点: 单项式除以单项式的运算法则及其应用

难 点: 探索单项式与单项式相除的运算法则的过程

三、合作探究:

提出问题,创设情境

问题:木星的质量约是1.9031024吨.地球的质量约是5.9831021吨.?你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?

讨论:(1)计算(1.9031024÷(5.9831021).说说你计算的根据是什么?

(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?

8a3÷2a 5x3y÷3xy 12a3b2x3÷3ab2.

(3)你能根据(2)?说说单项式除以单项式的运算法则吗?

Ⅱ.导入新课

可以从两方面考虑:

1.从乘法与除法互为逆运算的角度.

5.98310212(0.3183103)=1.9031024.

所以(1.9031024)÷(5.9831021)=________________

2.还可以从除法的意义去考虑.

12a3b2x312a3b2

323? 12abx÷3ab=2x=4ax. 223ab3ab3232

数学教研组YW 98

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

共同特征:

(1)都是________________除以单项式.

(2)运算结果都是把________、__________分别相除后作为商的因式;?对于只在被除式里含有的字母,则连同它的__________一起作为商的一个因式.

(3)单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.

四、精讲精练

例:计算

(1)28x4y2÷7x3y (2)-5a5b3c÷15a4b

(3)(2x2y)32(-7xy2)÷14x4y3 (4)5(2a+b)4÷(2a+b)2

随堂练习: p162 练习 1 、2

五、课堂小结:单项式除以单项式的运算法则

六、作业 p164 2 4

第二课时:多项式除以单项式

一、学习目标:1.多项式除以单项式的运算法则及其应用.

2.多项式除以单项式的运算算理.

二、重点难点:

重 点: 多项式除以单项式的运算法则及其应用

难 点: 探索多项式与单项式相除的运算法则的过程

三、合作探究:

(一) 回顾单项式除以单项式法则

(二) 学生动手,探究新课

1. 计算下列各式:

(1)(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy.

数学教研组YW 99

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

2. 提问:①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗?

(三) 总结法则

1. 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以___________,再把所得的商

______

2. 本质:把多项式除以单项式转化成______________

四、精讲精练

例:(1)(12a3-6a2+3a)÷3a; (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x

随堂练习: p163 练习

五、课堂小结

1.单项式的除法法则

2. 应用单项式除法法则应注意:

A、系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;

B、把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;

C、被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;

D、要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.

E、多项式除以单项式法则

六、作业 p164 3 、 7

15.4.1用提公因式法分解因式

一、学习目标:让学生了解多项式公因式的意义,初步会用提公因式法分解因式

二、重点难点

重 点: 能观察出多项式的公因式,并根据分配律把公因式提出来

数学教研组YW 100

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

难 点: 让学生识别多项式的公因式.

三、合作探究:

公因式与提公因式法分解因式的概念.

三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m,则这块场地的面积为________________,或__________________________

ma+mb+mc_______m(a+b+c)

由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做_____________

四、精讲精练

例1、将下列各式分解因式:

(1)3x+6; (2)7x2-21x; (3)8a3b2-12ab3c+abc (4)-24x3-12x2+28x.

例2把下列各式分解因式:

(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.

(3) a(x-3)+2b(x-3)分解因式.

通过刚才的练习,下面大家互相交流,总结出找公因式的一般步骤.

首先找各项系数的____________________,如8和12的最大公约数是4.

其次找各项中含有的相同的字母,如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最___________的.

课堂练习

(一)随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

(1)ma+mb 2)4kx-8ky (3)5y3+20y2 (4)a2b-2ab2+ab

2.把下列各式分解因式

(1)8x-72 (2)a2b-5ab

(3)4m3-6m2 (4)a2b-5ab+9b

五、课堂小结:

数学教研组YW 101

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

通过刚才的练习,下面大家互相交流,总结出找公因式的一般步骤.

首先找各项系数的大公约数,如8和12的最大公约数是4.

其次找各项中含有的相同的字母,如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最小的.

六、作业 p167 2 p170 1

15.4.2 用“平方差公式”分解因式

一、学习目标:1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;

2.使学生掌握用平方差公式分解因式

二、重点难点

重 点: 掌握运用平方差公式分解因式.

难 点: 将单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;

学习方法:归纳、概括、总结

三、合作探究

创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项,不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.

1.请看乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2 (1)

左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是

a2-b2=___________________(2)

左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否是因式分解?

数学教研组YW 102

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

利用平方差公式进行的因式分解.第(1)个等式可以看作是整式乘法中的__________公式,第(2)个等式可以看作是因式分解中的____________公式.

2.公式讲解

如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).

9 m 2-4n2=(3 m )2-(2n)2

=(3 m +2n)(3 m -2n)

四、精讲精练

例1、把下列各式分解因式:

(1)25-16x2; (2)9a2- b2.

例2、把下列各式分解因式:

(1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x.

补充例题:判断下列分解因式是否正确.

(1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2.

(2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)2(a2-1).

五、课堂练习 p168 1、2

六、作业 p171 2、4

15.4.2 用“完全平方公式”分解因式

一、学习目标:1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式

二、重点难点:

数学教研组YW 103

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

重点: 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法

难点: 让学生学会观察多项式特点,恰当安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式

三、合作探究

创设问题情境,引入新课

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2

讲授新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

将完全平方公式倒写:

a+2ab+b=(a+b);

a2-2ab+b2=(a-b)2.

凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解 用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.

练一练.下列各式是不是完全平方式?

(1)a2-4a+4; (2)x2+4x+4y2;

(3)4a2+2ab+ b2; (4)a2-ab+b2;

四、精讲精练

例1、把下列完全平方式分解因式:

(1)x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m +n)+9.

例2、把下列各式分解因式:

(1)3ax2+6axy+3ay2; (2)-x2-4y2+4xy.

课堂练习: p170 1、2

补充练习:把下列各式分解因式:

数学教研组YW 222104

罗平县阿岗一中 八年级5、6班上学期教学案

(1)(x+y)+6(x+y)+9; (2)4(2a+b)-12(2a+b)+9;

五、课堂小结:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

六、作业:p171 3、5 22

数学教研组YW 105

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