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第24章《圆》的导学案

发布时间:2013-10-02 09:56:49  

第24章《圆》导学案

第1课时 24.1.1 圆

[学习目标](学什么!)

1.理解圆的两种定义,理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念,能够从图形中识别;(学习重点)

2.理解“直径与弦”、“半圆与弧”、 “等弧与长度相等的弧”等模糊概念;(学习难点)

3.能应用圆的有关概念解决问题.

[学法指导](怎么学!)

通过生活中圆形物体的感性认识,并自己动手操作画图,理解圆的定义,通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别,澄清相关概念,并能用相关概念来解决问题.

[学习流程]

一、导学自习(教材P78-79)

(一)知识链接

1.自己回忆一下,小学学习过圆的哪些知识?

(二)自主学习

1.理解圆的定义:(阅读教材图24.1-2和图24.1-3,并自己动手画圆)

(1)描述性定义:______________________________________________________________________。

从圆的定义中归纳:①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于____ __;

②到定点的距离等于定长的点都在____ _.

(2)集合性定义:______________________________________________________________________。

(3)圆的表示方法:以O点为圆心的圆记作______,读作______.

(4)要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是______,另一个是_____,其中_____确定圆的位置,______

确定圆的大小.

2.圆的相关概念:(1)弦、直径;(2)弧及其表示方法;(3)等圆、等弧。

如图1,弦有线段 ,直径是 ,最长的弦是 ,优弧有 ;劣弧有 。

二、研习展评

活动1.判断下列说法是否正确,为什么?

(1)直径是弦.( ) (2)弦是直径.( )

(3)半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )

(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( ) (图1) 2.结合教材图24.1-1,说说生活中有哪些物体是圆形的?并思考圆有什么特征?

1,则∠AOB= ,AB= 6

活动3.已知:如图2,OA、OB为?O的半径,C、D分别为OA、

OB求证:(1)?A??B; (2)AE?BE 活动2.⊙O的半径为2㎝,弦AB所对的劣弧为圆周长的

第 1 页 共 30 页 (图2)

第24章《圆》导学案

活动4.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O中不过圆心的任意一条弦,求证:AB>CD。

[课堂小结]

1.圆的两种定义:.

2.什么是弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧?

3.同圆或等圆的半径有什么性质?

[当堂达标] 1.教材P80练习1、2题 2.下列说法正确的有( ) ①半径相等的两个圆是等圆; ②半径相等的两个半圆是等弧; ③过圆心的线段是直径; ④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧. (图3)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3.如图3,点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上,则圆中有 条弦.

4. ?O的半径为3cm,则?O中最长的弦长为

5.如图4,在?ABC中,?ACB?90?,?A?40?,以C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求?ACD

的度数.

(图

4)

[拓展训练]

已知:如图5,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,求∠C及∠AOC的度数.

(图5)

[课后作业]

[学后反思]

第 2 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径(1)

[学习目标](学什么!)

1.理解圆的轴对称性;

2.掌握垂径定理及其推论,能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. [学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用,学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明;学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论,并加以应用. [学习流程]

一、导学自习(教材P80-81)

1.阅读教材p80有关“赵州桥”问题,思考能用学习过的知识解决吗?

2. 阅读教材p80“探究”内容,自己动手操作,发现了什么?由此你能得到什么结论? 归纳:圆是__ __对称图形, ____________ ________都是它的对称轴; 3. 阅读教材p80“思考”内容,自己动手操作: 按下面的步骤做一做:(如图1)

第一步,在一张纸上任意画一个?O,沿圆周将圆剪下,作?O的一条弦AB; 第二步,作直径CD,使CD?AB,垂足为E; 第三步,将?O沿着直径折叠. 你发现了什么?

归纳:(1)图1是 对称图形,对称轴是

(2)相等的线段有 ,相等的弧有 .

(图1)

二、研习展评

活动1:

(1)如图2,怎样证明“自主学习3”得到的第(2)个结论.

叠合法证明:

(2)垂径定理:垂直于弦的直径 弦,并且 的两条弧.

定理的几何语言:如图2 ? CD是直径(或CD经过圆心),且CD?AB

(图2)

?____________,____________,_____________

(3)推论:___________________________________________________________________________. 活动2 :垂径定理的应用

如图3,已知在?O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离(弦心距)为3cm,求?O 的半径.(分析:可连结OA,作OC?AB于C) 解:

小结:(1)辅助线的常用作法:连半径,过圆心向弦作垂线段。

(2)如图4,根据垂径定理和勾股定理,“半弦、半径、弦心距”构成

直角三角形,则r、d、a的关系为 ,知道其中任意两个量, 可求出第三个量.

第 3 页 共 30 页

(图3)

(4)

第24章《圆》导学案

[课堂小结]

1.垂径定理是 ,定理有两个条件,三个结论。

2.定理可推广为:在五个条件①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣

弧中,知 推 。

[当堂达标]

1.圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB?_____cm.

2.如图5,AB是⊙O 的直径, CD为弦,CD?AB于E,则下列结论中不成立的是( )

??BC? A.?COE??DOE B.CE?DE C.OE?BE D.BD

3. 如图6,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=______cm.

(图7)

(图5)

(图6) 4.教材p82练习2题

[拓展训练]

已知:如图7,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=30°,求CD的长.

[课后作业]

[学后反思]

第3课时 24.1.2 垂直于弦的直径(2)

[学习目标](学什么!)

1.熟练掌握垂径定理及其推论;

2.能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明,进一步应用垂径定理解决实际问题.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是“垂径定理及其推论”及其在实际问题中的应用,学习难点是分清垂径定理及其推论的题设和结论、垂径定理及其在实际问题中的应用;学习中通过对比理解垂径定理及其推论,应用中善于将实际问题转化为数学问题,培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。

[学习流程]

一、导学自习(教材P80-81)

1.垂径定理:

2.推论:

二、研习展评

活动1:垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径? 3.如图1,?O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是 .

AB表示主桥拱,设?AB所在圆的圆心是点O,半径为R. 解:如图3,用?

第 4 页 共 30 页

(图3) 归纳:(1)如图4,半弦、半径、弦心距构成直角三角形,根据勾股定理可得 .

(2)在弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h中,知道其中任意两个,可求出其它两个.

活动2 :如图5

,已知?AB,请你利用尺规作图的方法作出?AB作法:

AB(图5)

[课堂小结]

1. 本节课你有哪些收获? 2.你有什么收获和同学分享?还有什么问题?

[当堂达标]

段OE的长为( )圆心O到弦的距离OM的长为3,则弦AB的长是 .

A. 10 B. 8 C. 6 D.4

A1.(长春中考)如图

6,AB是?O

的直径,弦CD?AB,垂足为E,如果AB?20,CD?16,那么线(图7) (图6) (图8) (图9)

2.如图7,在?O中,若AB?MN于点C, AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论:

, , .

3. P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为______;?最长弦长为______.

4. 如图8,P为⊙O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,⊙O的半径为5,则OP=______.

5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图9所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?

解:如图10,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,

[拓展训练]

已知:如图11,A,B是半圆O上的两点,CD是⊙O的直径,?AOD?80?,B是?AD的中点.

(1)在CD上求作一点P,使得AP+PB最短;(2)若CD?4cm,求AP+PB的最小值.

[课后作业]

(图10) (图11) [学后反思]

第 5 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第4课时 24.1.3 弧、弦、圆心角

[学习目标](学什么!)

1.理解圆心角的概念,掌握圆的旋转不变性(中心对称性);

2.掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明. [学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题,学习难点是圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明;学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动,发展推理能力以及概括问题的能力。

[学习流程]

一、导学自习(教材P82-83)

(一)知识链接

1. 是中心对称图形. (自己叙述)

2.要证明两条弧相等,到目前为止有哪两种方法?(1) (2)

(二)自主学习

1.顶角在 的角叫做圆心角.

2. 圆既是轴对称图形,又是 对称图形,它的对称中心是 .实际上,圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合,因此,圆还是 对称图形.

二、研习展评

活动1:(1) 阅读教材P82“探究”内容,动手操作:(可以把重合的两个圆看成同圆)

①在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O和⊙O′,沿圆周分别将两圆剪下;

②在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角?AOB和?AOB',如图1所示,圆心固定.

注意:在画?AOB与?AOB'时,要使OB相对于OA的方向与O?B?相对于O?A?的方向一致,否则当OA与O?A?′重合时,OB与O?B?不能重合.

③将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA与O?A?重合.

(图1)

通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由.

(2)猜想等量关系: , .

(3)(利用圆的旋转不变性)验证:

(4)归纳圆心角、弧、弦之间关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 。

(5)推论: 。 活动2:下面的说法正确吗?若不正确,指出错误原因.

A'B'和?AB所对的圆心角都是?O,所以有?A'B'??AB.” (1)如图2,小雨说:“因为?

?ADAB等于CD所对的C(2)如图3,小华说:“因为AB?CD,所以AB所对的?.”

第 6 页 共 30 页

(图3)

第24章《圆》导学案

活动3:如图4,在⊙O中,AB?AC,?ACB=60?,求证:?AOB??AOC??BOC. (分析:根据圆心角、弧、弦之间关系定理,欲证?AOB??AOC??BOC,可先证什么?)

证明:

[课堂小结]

1. 圆心角、弧、弦关系定理:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据. 2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。 [当堂达标]

?,那么AB与CD的关系是( ) AB?CD1.在同圆或等圆中,如果?

A.AB?CD B. AB?CD C. AB?CD D.无法确定 2. 下列命题中,真命题是( )

A.相等的弦所对的圆心角相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等

EA

C

B

?上的三等分点,?AOE?60?, 3.如图5,AB是 ⊙O的直径,C,D是BE

则?COE是( )

A. 40° B. 60° C. 80° D. 120 ° 4.教材p83练习第2题(做在书上)

5.已知,如图6,在⊙O中,弦AD?BC,你能用多种方法证明AB?CD吗?

[拓展训练]

O

(图5)

已知:如图7,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,且C为?AD的中点,若∠BAD=20°, 求∠ACO的度数.

[课后作业]

[学后反思]

第 7 页 共 30 页

(图7)

第24章《圆》导学案

※[课外探究]

1.在⊙O中,M为?AB的中点,则下列结论正确的是( ).

A.AB>2AM B.AB=2AM C.AB<2AM D.AB与2AM的大小不能确定

?之间的关系,并证2.如图8,在⊙O中,AB为直径,弦CD交AB于P,且OP=PC,试猜想?AD与CB

明你的猜想.

(图8)

3.如图9,⊙O中,直径AB=15cm,有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A,点D与B不

重合),CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E.

(1)求证:AE=BF;

(2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由.

(图9)

第5课时 24.1.4圆周角(1)

[学习目标](学什么!)

1.理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系,会在具体情景中辨别圆周角.

2.掌握圆周角定理及推论,并会运用这些知识进行简单的计算和证明.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解并掌握圆周角定理及推论,学习难点是圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的数学思想方法;学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动,体验圆周角定理的探索过程,培养合情推理能力,发展自己的逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力.

[学习流程]

一、导学自习(教材P84-85)

1.阅读教材p84“思考”并认真读图,如图1,视角∠AOB叫做 角,

而视角∠ACB、∠ADB和∠AEB不同于视角∠AOB这一类的角,我们把

∠ACB、∠ADB和∠AEB这一类的角叫做 .

2.顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角.

第 8 页 共 30 页 (图1)

第24章《圆》导学案

圆周角定义的两个特征:(1)顶点都在 ;(2)两边都与圆 .

3.自己完成“当堂达标”的第1题。

4.视角?AOB和?ACB有什么关系?视角?ADB和?AEB和视角?ACB相同吗?实际上要研究同弧(?、同弧所对的圆周角(?ACB、?ADB、?AEBAB)所对的圆心角(?AOB)与圆周角(?ACB)

等)之间的大小关系.

二、研习展评

活动1:(1) 阅读教材P84“探究”内容,动手量一量(如图2):

问题1:同弧(弧AB)所对的圆心角?AOB与圆周角?ACB的大小关系是怎样的?

问题2:同弧(弧AB)所对的圆周角?ACB与圆周角?ADB的大小关系是怎样的?

(2)规律:同弧所对的圆周角的度数 ,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 .

⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系? 活动2:(1)同学们在下面图3的⊙O中任取AB

(图3) (图2)

(2)实际上,圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如图4)

(1) (2) (3) (图4)

(3)(教师引导、点拨)如何对活动1得到的规律进行证明呢?

证明:①当圆心在圆周角的一边上,如上图4(1),

②当圆心在圆周角内部(或在圆周角外部)时,能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.

证明:作出过O的直径(自己完成)

(4)同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实,等弧的情况下该命题也是成立的,命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的,想一想为什么?

(5)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 .

(6)由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系,可以证明:(学生自己完成)

推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定 .

说明:注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提.

第 9 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

活动3:(小组讨论)由图5,结合圆周角定理思考

问题1:半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?

问题2:90°的圆周角所对的弦是什么?

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 的圆周角所对的弦是直径.

说明:推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.

[课堂小结]

谈谈本节课的体会:知识、思想、方法、收获、??

[当堂达标]

1. 在下列与圆有关的角中,哪些是圆周角?哪些不是,为什么?

(1) (2) (3) (4) (5)

2. 教材p86练习1、2题(直接做在书上)

3. 如图6,点A、B、C、D在⊙O上,若∠C=60°,则∠D=____,∠AOB=_ ___.

4. 如图7,等边△ABC的顶点都在⊙O上,点D是⊙O上一点,则∠BDC=____.

(图5)

(图6)

(图7) (图8)

[拓展训练]

已知:如图8,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2cm.求DB长.

[课后作业]

[学后反思]

※[课外探究]

1.如图9,△ABC的三个顶点在⊙O上,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径,BD交AC于点E,

连结DC,求∠AEB的度数.

2.已知:如图10,AB是⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O

于M.求证:∠AMD=∠FMC.

(图9) (图10)

第 10 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第6课时 24.1.4圆周角(2)

[学习目标](学什么!)

1.理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念,掌握圆内接四边形的性质,并会用此性质进行有关的计算和证明;

2.进一步掌握圆周角定理及推论,并会综合运用知识进行有关的计算和证明,培养分析问题、解决问题的能力.

3.理解并掌握“如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形”这个直角三角形的判定方法. [学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算和证明,学习难点是综合运用知识进行有关的计算和证明时,培养自己的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力;学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. [学习流程]

一、导学自习(教材P85-86) (一)知识链接

⒈一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 .

⒉在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ;在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定 .

3. 所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是 . 4.如图1,,点A,B,C都在⊙O上,若?ACB?30?,则?AOB的度数是 .

5.如图2,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,若?A?65?,则?B的度数是 .

?是中点,若?CDA?28?,则?ABD?______?. 6.如图3,AB是⊙O的直径,点A是CD

(图1)

(图2)

(图3)

(图4)

(二)自主学习

1.阅读教材p85

最后一段:如果一个多边形的

顶点都在 圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 .

如图4,四边形ABCD是⊙O的 ,⊙O是四边形ABCD的 . 2.圆内接四边形的对角之间有什么性质呢?请你量一量图4中的两对对角,看看有什么规律? 规律:圆内接四边形的对角 . 二、研习展评

活动1:怎样利用圆周角定理来证明上述规律呢?(学生自己证明) 证明:如图5,连接OB、OD

第 11 页 共 30 页

(图5)

第24章《圆》导学案

圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角 .

活动2:如图6, ⊙O的直径 AB 为10 cm,弦 AC 为6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D,求BC、AD、BD的长.

活动3:如图7,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,?ACD?60?,?ADC?50?,求?CEB的度数. (提示:连接BD)

BA

(图7)

(图6)

点评:解决圆的有关问题时,如果题目中有直径,常常添加辅助线,构成直径所对的圆周角.

[课堂小结]

本节课你有哪些收获?谈谈你的想法.

[当堂达标] 1. 如图8,AB是⊙O的直径,?AOC?130?,则∠D等于( )

A.65? B. 25? C. 15? D. 35?

2.教材p87练习第3题。

(说明:此结论作为定理使用,是直角三角形的一个判定方法)

3. 在⊙O中,若圆心角∠AOB=100°,C是?AB上一点,则∠ACB等于( ).

A.80°

4.如图9,弦AB,CD相交于E点,若∠BAC=27°,∠BEC=64°,则∠AOD等于( ).

A.37°

B(图8)

B.100° C.130° D.140° B.74° C.54° D.64° (图11)

(图12) (图10) (图9)

5.如图10,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( ).

A.69° B.42° C.48° D.38°

6.如图11,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径,BD交AC于点E,连结

DC,求∠AEB的度数.

??DE? BD7. 已知:如图12,在?ABC中,AB?AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:

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第24章《圆》导学案

[拓展训练]

已知:如图13,△ABC内接于⊙O,BC=12cm,∠A=60°.求⊙O的直径.

[课后作业]

[学后反思]

(图13)

※[课外探究]

1.已知:如图14,⊙O的直径AE=10cm,∠B=∠EAC.求AC的长.

(图14)

2.已知:如图15,△ABC内接于⊙O,AM平分∠BAC交⊙O于点M,AD⊥BC于D.

求证:∠MAO=∠MAD.

第7课时 24.2.1 点和圆的位置关系

[学习目标](学什么!) (图

15)

1.掌握点和圆的位置关系,能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系,确定点与圆的位置关系;

2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法并掌握它的

运用.

3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是点和圆的位置关系,不在同一直线上的三个点确定一个圆及其它们的运用,学习难点是反证法的证明思路(学生选学);学习中注重动手操作去发现有关结论.

[学习流程]

一、导学自习(教材P90-92)

(一)知识链接

⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于 .

⒉确定圆需要两个基本条件,一个是______,另一个是_____,其中,_ ___确定圆的位置,______确定圆的大小. 3. 点确定一条直线.

(二)自主学习

1.阅读教材p90,思考:

(1)平面上的一个圆把平面上的点分成 部分,即点在圆 、点在圆 、点在圆 .

(2)各部分的点与圆有什么共同特征?自己画图验证一下,看看能得到什么规律?

2.点和圆的位置关系:

平面内,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d,则有三种位置关系:

(1)点P在⊙O外?___ ___;(2)点P在⊙O上?____ __;(3)点P在⊙O内?__ ____.

第 13 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

二、研习展评

活动1:如图1所示,在?ABC中,?C?90?,AC?2cm,BC?4cm, CM是中线,以C为圆心,CM为半径作圆,请判断A、B、M

三点与⊙C的位置关系.

活动2:确定圆的条件

BMC

1.阅读教材p91“探究”内容,(小组合作)画一画: (图1) (1)过一个已知点可以作 个圆;(2)过两个已知点可以作 个圆,它们的圆

心分布的特点是 .

2.经过不在同一直线上的三点作圆,并思考如何确定这个圆的圆心和半径,你能作出几个这样的圆?

作圆,使该圆经过已知点A、B、C三点(其中A、B、C三点不在同一直线上).

作法: A

3.结论:______________________________________________确定一个圆.

思考:经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗?(选学反证法) B

C

4.相关概念:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的 圆;则这个三角形叫做圆

的__ ____;外接圆的圆心叫做三角形的 ,是三角形三条边 的交点,

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 。

[课堂小结]

本节课你有哪些收获?谈谈你的感悟.

[当堂达标]

1. ⊙O的半径为3cm,点O到点P

,则点P( )

A.在⊙O外 B. 在⊙O内 C. 在⊙O上 D. 不能确定

2. 下列说法正确的是( )

A.三点确定一个圆 B.任意的一个三角形一定有一个外接圆

C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D.任意一个圆有且只有一个内接三角形

3.教材p93练习题.

4. 教材p102综合运用第9题.

结论: 锐角三角形的外心在三角形的___________部,钝角三角形的外心在三角形的________ ___部,直

角三角形的外心在________________.

5.若?ABC中,?C?90?,AC?10cm,BC?24cm,则它的外接圆的直径为___________.

6. 已知:如图2,点D的坐标为?0,6?,过原点O,D点的圆交x轴的正半轴于A点.圆周角?OCA?30?,

求A点的坐标.

[课后作业]

[学后反思]

(图2)

第 14 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第8课时 24.2.2 直线和圆的位置关系

[学习目标](学什么!)

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系;

2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系;

3. 能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解并掌握直线和圆的三种位置关系,学习难点是掌握识别直线和圆的位置关系的方法;学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动,从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系.

[学习流程]

一、导学自习(教材P93-94)

(一)知识链接

⒈(1)点到直线的距离:从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的 叫做这个点到这条直线的距离.

(2)如图1,C为直线AB外一点,从C向AB引垂线,D为垂足,则线段CD的 即为点C到直线AB的距离.

2. 如果设⊙O 的半径为r,点P到圆心O的距离为d,

请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。

(1)点P在⊙O ?d?r;

(2)点P在⊙O ?d?r;

(3)点P在⊙O ?d?r.

(二)自主学习

1.阅读教材p93的“思考”:

(1)想一想:如果把太阳看作一个圆,地平线看成直线,那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线与圆有几种位置关系?再想象用钢锯切割钢管的过程,如果把钢管看作一个圆,钢锯看成直线,那情况又如何呢?

(2)做一做:在纸上画一条直线,把硬币(或圆形纸片)的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?

结论:直线与圆在同一平面上做相对运动时,其位置关系有______种

2.直线和圆的位置关系:(阅读教材p94思考上并结合图24.2-8)

(1)直线和圆有____个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做____________.

(2)直线和圆有____个公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做____________.

这个公共点叫做_________.

(3)直线和圆有____个公共点时,叫做直线和圆相离.

3. 阅读教材P94“思考”部分并结合图24.2-8,你能得到直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离和半径的大小来区分吗?

设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,

(1)_________?直线l和圆O相离;(2)_________?直线l和圆O相切;

(3)_________?直线l和圆O相交. CADB(图1)

?表示上述结论既可以作为各种位置的判定,也可以作为性质.

二、研习展评

活动1:归纳(1)直线与圆的三种位置关系(设圆心到直线的距离为d,半径为r)

第 15 页 共 30 页

大小关系来断定.

①从公共点的个数来判定:

(2)判定直线与圆的位置关系的两种方法:一种是从直线与圆的公共点的个数来断定;一种是用d与r的

直线与圆有两个公共点时,直线与圆 ; 直线与圆有一个公共点时,直线与圆 ; 直线与圆有没有公共点时,直线与圆 ; ②从d与r的大小关系来断定:

d?r时,直线与圆d?r时,直线与圆;d?r时,直线与圆

活动2: 已知:如图2所示,?AOB?30?,P为OB上一点,且OP?5cm,以p为圆心,以R为半

径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?

①R?2cm;②R?2.5cm; ③R?4cm.

[课堂小结]

本节课你有哪些收获?谈谈你的感悟. [当堂达标]

P

(图2)

1. 教材p94练习1,2题.

2. 已知⊙O的直径为6cm,直线l和⊙O只有一个公共点,则圆心O到直线l的距离为( ) A.1.5cm B. 3cm C. 6cm D. 12cm 3. 直线l上一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相离 B . 相切 C. 相交 D . 相切或相交 4. 已知⊙O的半径为r,点O到直线l的距离为5厘米。 (1) 若r大于5厘米,则l与⊙O的位置关系是____________. (2) 若r等于2厘米,l与⊙O有_____个公共点. ⑶ 若⊙O与l相切,则r=____________厘米.

5.已知:如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5cm,AC=12cm,以C点为圆心,作半径为R的圆,求: (1)当R为何值时,⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时,⊙C和直线AB相切?

C(3)当R为何值时,⊙C和直线AB相交?

AB

(图3)

第 16

页 共 30 页

第24章《圆》导学案

[拓展训练] 6.如图4,A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处,并以每小时17千米的速度向北偏东60?的BF方向移动,距离台风中心200千米的范围是受台风影响的区域. (1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么?

(2)若A城受到这次台风的影响,试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长?

(图4)

[课后作业]

1.下列直线是圆的切线的是( )

A.与圆有公共点的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线 C. 到圆心的距离大于半径的直线 D. 到圆心的距离小于半径的直线

2.正方形ABCD中,点P是对角线AC上的任意一点(不包括端点),以P为圆心的圆与AB相切,则AD与⊙P的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定

3.如图5,⊙O的半径OC?5cm,直线l?OC,垂足为H,且交⊙O 于A、B两点,AB?8cm,则沿OC所在的直线向下平移 cm时与⊙O相切.

5.(选做题)如图6,直线AB、CD相交于点O,?AOD?30

?,半径为1cm的⊙P 的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm.如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么多少秒钟后⊙P 与直线CD相切?

[学后反思]

第 17 页 共 30 页

4. 教材p101习题24.2第2题

(图5)

l

(图6)

B

第24章《圆》导学案

第9课时 24.2.2 圆的切线的判定和性质

[学习目标](学什么!)

1.理解切线的判定定理,会准确过圆上一点画圆的切线;

2.会用圆的判定定理进行简单的证明.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理及其应用;学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论,在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力,总结常用辅助线的做法. [学习流程]

一、导学自习(教材P95-96)

⒈切线的定义:直线与圆有 公共点时,这条直线叫做圆的切线.

2.切线的判定方法:(1)和圆有 公共点的直线是圆的切线.(即切线的定义)

(2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线.

二、研习展评

活动1:阅读教材p95的“思考”:

(1)做一做:如图1,在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线l?OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和⊙O有什么位置关系?为什么?

(2)从作图中得到切线的判定定理:

经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.

定理必须满足哪两个条件,如果只满足一个条件,画图看一看,此时所画的

直线是不是圆的切线.

定理的几何语言:如图2,?________________,_________

?直线l是⊙O的切线

(3)已知一个圆和圆上的一个点,如何过这个点画出圆的切线?画一画!

活动2: 如图3,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,

求证:直线AB是⊙O的切线.

(分析:已知AB经过圆上的点C,要用上面的判定定理,应该连接 ,

证明 )

证明:

小结:当直线与圆有公共点,常连接 和公共点得半径,证明直线垂直于 .

活动3: 已知:如图4,P是∠AOB的角平分线OC上一点.PE⊥OA于E.以P点为圆心,PE长为半径

作⊙P.求证:⊙P与OB相切.

(分析:OB与圆没有公共点,应该选用哪种判定方法?怎样作辅助线?)

(图4)

小结:当直线与圆没有公共点,常过圆心作直线的 ,证明圆心到直线的距离等于 .

第 18 页 共 30 页 (图1)

(图2)

(图3)

第24章《圆》导学案

[课堂小结]

1.圆的切线有哪几种判定方法?分别是什么?

2.证明圆的切线时,常常要添加辅助线,有两种方法:

(1)当直线与圆有公共点时,简说成“连半径,证垂直”;

(2) 当直线与圆没有公共点时,简说成“作垂直,证半径”.

[当堂达标]

1.下列说法正确的是( )

A.与圆有公共点的直线是圆的切线.B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线

2.教材p96练习第1题.

3.已知:如图5,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B

在圆上,且AB?BC,?A?30?.求证:直线AB是⊙O的切线.

(图5)

[课后作业]

已知:如图6,△ABC内接于⊙O,过A点作直线DE,当∠BAE=∠C时,试确定直线DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.

[学后反思]

第10课时 24.2.2 圆的切线的性质

[学习目标](学什么!) (图6)

1.理解切线的性质定理及推论,能正确区分判定和性质的题设和结论;(学习重点、难点)

2.掌握圆的判定和性质的综合应用. (学习重点、难点)

[学法指导](怎么学!)

学习中从切线的判定的逆命题去发现相关性质,并注意区分切线的判定定理和性质定理,在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力,总结常用辅助线的做法.

[学习流程]

一、导学自习(教材P95-96)

⒈切线有哪些判定方法?

2. 切线的性质:(1)切线与圆有 公共点;(2)切线和圆心的距离 半径.

二、研习展评

活动1:阅读教材p96的“思考”:

(1)想一想:如图1,直线l是⊙O的切线,切点为A,那么直线l与半径OA是否一定垂直呢? (可以用反证法证明,选学)

(2)切线的判定定理:

圆的切线_________经过切点的 .

定理的几何语言:如图1,?直线l是⊙O的切线

?______________.

由性质定理,容易得到下面的推论:

第 19 页 共 30 页

(图1)

第24章《圆》导学案

经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .

小结:一条直线若满足①过圆心,②过切点,③垂直于切线这三条中的 条,就必然满足 条.

活动2: 如图2,AB是⊙O的直径,PA切⊙O 于A,OP交

⊙O 于C,连接BC.若?P?30?,求?B的度数.

活动3: 如图3,?ABC为等腰三角形,AB?AC,O是底边BC

的中点,⊙O 与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.

小结:已知一条直线是圆的切线时,辅助线常连结圆心和切点. [课堂小结]

1.切线分别有哪些判定方法和性质?(口述) 2.在本节中,有哪些常用辅助线的做法?(口述) [当堂达标]

1.如图4,直线AB与⊙O相切于点A,⊙O的半径为2,若?OBA?30?,则OB的长为( )

A. B. 4

D. 2

(图(图3)

A

(图4)

(图6)

2.如图5,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O 于C,若?A?25?, 则?D等于 ( )

A.40? B. 50? C. 60? D. 70? 3.(2009泸州)如图6,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆半径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为 cm.

4.已知:如图7,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E点,直线EF⊥AC于F. 求证:EF与⊙O相切.

(图9)

5.已知:如图8,PA切⊙O于A点,PO∥AC,BC是⊙O的直径.请问:直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由.

[课后作业]

6.(2009安顺)如图9,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E。 (1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)作DG⊥AB交⊙O于G,垂足为F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长。

[学后反思]

第 20 页 共 30 页

(图7)

(图8)

第24章《圆》导学案

第11课时 24.2.2切线长定理及三角形的内切圆

[学习目标](学什么!)

1.理解切线长的概念,掌握切线长定理,会应用切线长定理解决问题;(学习重点、难点)

2.理解三角形的内切圆及内心的概念,掌握内心的性质,会作三角形的内切圆.

[学法指导](怎么学!)

学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论,并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理、三角形外接圆和内切圆、外心与内心等之间的对比,在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力.

[学习流程]

一、导学自习(教材P96-98)

(一)知识链接

⒈切线的定义是什么?切线有哪些性质?

2. 角平分线的判定和性质是什么?

(二)自主学习

阅读教材p97:经过圆外一点作圆的 ,这点和切点之间的 ,叫做这点到圆的 . 如图1,P是⊙O 外一点,PA,PB是⊙O 的两条切线,点A,B

PA,PB的长叫做点P到⊙O的线. 注意:切线和切线长的区别:切线是 线,不可度量,而切线长是线段,

度量. 二、研习展评 活动1:(1)阅读教材p96的“探究”,动手做一做:如图2,你能得到什么结论?为什么?

切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的_________相等,这一点和圆心的连线平分__________________.

几何语言:?PA、PB是⊙O的两条切线

?_____________,________________.

(2)如何证明切线长定理呢?

已知:如图2,已知PA、PB是⊙O的两条切线.

求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB.

证明:

(图2)

(3)若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中有哪些相等的线段?有哪些相等的角,有哪些相等的弧?有哪些互相垂直的线段?有哪些全等的三角形.

活动2: (1)阅读教材p97的“思考”:想一想,圆与三角形的三边应该满足什么条件?

(2)怎样作圆呢?怎样找圆心和半径?假设符合条件的圆已经作出,圆应当与三角形的三边 . 那么圆心到三边的距离都等于什么?圆心在三个内角的什么线上?

(3)如何作图呢?(教师引导)

作法:

第 21 页 共 30 页 ABC

第24章《圆》导学案

(4)三角形的内切圆:与三角形各边 ,叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是 三角形 的交点,叫做三角形的 ,三角形叫做圆的 .

(5)说明:①当已知三角形的内心时,常常作过三角形的顶点和内心的射线,则这条射线平分三角形的内角.

②内心到三角形三边的距离相等.

活动3: (p97例2)如图3,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。

BD(图3) (图4)

活动4: 已知:如图4,P为⊙O 外一点,PA、PB为⊙O 的切线,A和B是切点,BC是直径. 求证:AC∥OP.

[课堂小结]

本节课我们有哪些收获?还有什么问题没解决吗?

[当堂达标]

1.教材p98练习1,2题

2.如图5,从圆外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果∠APB=60°,PA=10,则弦AB的长( )

A.5 B. 5

3

D. 10 (图5) (图6) (图7) AB上 3.如图6,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,,若PA=8cm,C是?

的一个动点(点C与A、B两点不重合),过点C作⊙O的切线,分别交PA,PB于点D、E,则

?PED的周长是.

4. 如图7,AM、AN分别切⊙O于M、N两点,点B在⊙O上,且?MBN?70?,则?A?______.

5. 已知:如图8,PA,PB分别是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=35°,求∠P的度

数.

[课后作业]

[学后反思]

第 22 页 共 30 页 (图8)

第24章《圆》导学案

※[课外探究]

1.已知:如图9,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°.

(1)若AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r;

(2)若AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r.

(1)求证:AT平分∠BAC;(2)若AD?2,TC?,求⊙O的半径.

(图9) 2.已知:如图10,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于T,AC⊥PQ于C,交⊙O于D. (图10)

第12课时 24.2.3 圆和圆的位置关系

[学习目标](学什么!)

1.理解圆和圆的各种位置关系的概念,能识别圆和圆的位置关系;

2.会用两圆半径、圆心距来判断两圆的位置关系.

3. 能够利用两圆各种位置关系的性质来解决问题.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解并掌握圆和圆的各种位置关系及其应用,学习难点是能够利用两圆各种位置关系来解决问题;学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动,从运动的观点和量变到质变的观点及数形结合的思想来理解圆和圆的各种位置关系.

[学习流程]

一、导学自习(教材P98-100)

(一)知识链接

直线l和圆的位置关系有三种: 、 、 ,如图1(1)-(3

表示圆心到直线

l的距离,r是⊙O

的半径)

(二)自主学习

1.阅读教材p98的图24.2-15,想一想生活中还有哪些圆和圆的位置关系的实例,自己再举出一些.

2.阅读教材p99的“探究”,动手做一做:

思考:(1)请你摆出⊙O1和⊙O2的几种不同的位置关系;

(2) 你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系的定义,给出两圆位置关系的定义? 结论:圆与圆在同一平面上做相对运动时,其位置关系有______种

3.圆和圆的位置关系:(阅读教材p99最后三个自然段并结合图24.2-16)

(1)如果两个圆 公共点,那么就说这两个圆 ;如图24.2-16(1)(5)(6)所示,相离包括 和 ,其中(1)又叫做 ,(5)、(6)叫做 .其中(6)中同心圆是内含的特殊情况.

第 23 页 共 30 页 (1) (2) (图1) (3) (1)相交?d?r; (2)相切? ; (3)相离? .

第24章《圆》导学案

(2)如果两个圆只有 公共点,那么就说这两个圆 ,这个公共点叫做______.如图24.2-16(2)(4)所示,相切包括 和 ,其中(2)叫做 ,(4)叫做 .

(3)如果两个圆有 公共点,那么就说这两个圆 ;这两个公共点叫做这两个圆的______,如图24.2-16(3)所示. 二、研习展评

活动1:探究(小组合作)

如教材图24.2-16,如果两圆的半径分别为r1和r2?r1?r2?,圆心距(两圆圆心的距离)为d,请你根据圆和圆的位置关系,猜测出两圆的圆心距d与两圆半径r1和r2之间的数量关系,利用刻度尺进行测量,验证你的猜想.(其中相交这种位置关系,连接圆心距、两圆圆心分别和同一个交点的线段构成一个三角形,利用三角形三边关系,看看能得到什么结论)

结论:设d是⊙O1与⊙O2的圆心距,r1,r2(r1<r2)分别是⊙O1和⊙O2的半径,则 (1)⊙O1与⊙O2外离?d________________________; (2)⊙O1与⊙O2外切?d________________________; (3)⊙O1与⊙O2相交?d________________________; (4)⊙O1与⊙O2内切?d________________________; (5)⊙O1与⊙O2内含?d________________________. (特别地,⊙O1与⊙O2为同心圆?d_________________) 说明:此结论既是圆和圆的位置关系的判定,又是性质.

活动2: (1)如图2,⊙O的半径5 cm,点P是⊙O外一点,OP=8 cm,以P为圆心作一个圆与⊙O外切,这个圆的半径是多少?以P为圆心作一个圆与⊙O

B

(图2)

(图3)

(2) 已知⊙O1和⊙

O2的半径分别为8和2,如果⊙O1与⊙O2 相切,那么 O1 O2

活动3:如图3,轮椅车的大小两车轮(在同一平面上)与地面的触点A、B间距离为80cm,两车轮的直径分别为136cm和16cm,求此两车轮的圆心相距多少厘米.

[课堂小结]

1.本节课我们有哪些收获?还有什么问题没解决吗? 2.填表:(其中表示圆心距,分别表示大、小圆半径)

[当堂达标]教材p101练习1—4题.

第 24 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

[课后作业]

1.若两个圆相切于A点,它们的半径分别为10cm、4cm,则这两个圆的圆心距为( ).

A.14cm

( )

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5,设d=O1O2,

①当d=9时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_ _;②当d=8时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_ __; ③当d=5时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是__ _;④当d=2时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_ __; ⑤当d=1时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_ __;⑥当d=0时,则⊙O1与⊙O2的位置关系是__ _.

3.已知两圆半径分别为3和7,如果两圆相交,则圆心距d的取值范围是__ _____;如果两圆外离,则圆心距d的取值范围是__ ____.

4.如图4,在12×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位),⊙A的半径为1,⊙B的半径为2,要使⊙A与静止的⊙B相切,那么⊙A由图示位置需向右平移______个单位.

(图4)

B.6cm C.14cm或6cm D.8cm 2.(泸州中考)已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm,圆心距O1O2?7cm,则两圆的位置关系为

5.如图5,在?ABC中,AB?5cm,BC?8cm,AC?7cm,分别以A、B、C为圆心,画三个圆,使它们两两外切,求:⊙A、⊙B、⊙C的半径各是多少?

[学后反思]

※[课外探究]

1.已知:如图6,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过A点的割线分别

交两圆于C,D,弦CE∥DB,连结EB,试判断EB与⊙O2的位置关系,

并证明你的结论.

(图6)

2.如图7,点A,B在直线MN上,AB=11cm,⊙A,⊙B的半径均为1cm.⊙A以每秒2cm的速度自左

向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1+t(t≥0).

(1)试写出点A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式;

(2)问点A出发多少秒时两圆相切?

(图7)

第 25 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第13课时 24.3 正多边形和圆

[学习目标](学什么!)

1.理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念;

2.理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系,并会进行正多边形的有关计算;

3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.

[学法指导](怎么学!)

本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念,并能进行计算,学习难点是探索正多边形和圆的关系,正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的关系;在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中,体会化归思想在解决问题中的重要性.

[学习流程]

一、导学自习(教材P104 -106)

1. 如果一个多边形的 顶点都在 圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的 .

2.各边 ,各角也 的多边形叫做正多边形.

思考:教材p105练习第1题.

说明:正多边形的定义中“各边 ,各角 ”是正多边形的两个特征,缺一不可.

3.举例说出生活中常见的正多边形.

二、研习展评

活动1:思考:(1)你知道正多边形和圆有什么关系吗?你能借助圆做出一个正多边形吗?

(2)将一个圆五等分,依次连接各分点得到一个五边形,这五边形一定是正五边形吗?如果是请你证明这个结论.

证明:如图1,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE. ??CD??DE??EA?, ??AB?BC

?______________________,

(3)如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定是正n

(图1) (4)结论:正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成 的一些弧,就可以作出这个圆的

,这个圆就是这个正多边形的 . (5)思考:教材p105练习第2题.

活动2:(1)正多边形的有关概念:一个正多边形的

______________叫做这个正多边形的中心;

______________叫正多边形的半径;正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角;中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距.

(2)如图2,在正六边形中,点O是正六边形的中心,画出它的的半径、边心距、

中心角. (3)算一算:正五边形的中心角是多少?正五边形的一个内角是多少?正五边形

的一个外角是多少?正六边形呢?

(4)归纳:正n边形的每一个内角都等于 ,中心角等于 , (图2)

外角等于 ,正多边形的中心角与外角 .

活动3: 有一个亭子(如图3)它的地基是半径为4m的

正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).

(分析:欲求周长和面积,可先求什么?怎样作辅助线?)

第 26 页 共 30 页 A(图3)

第24章《圆》导学案

归纳:正多边形的计算中常用的结论是:(1)正多边形的中心角等于 ;

(2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形;

(3)正n边形的半径和边心距,把正n边形分为2n个直角三角形.

活动4: 阅读教材p106,思考:如何利用等分圆弧的方法来作正n边形?

方法一、任何正n边形的作法:用量角器作一个等于

方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法.

(在此基础上,还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形)

做一做:在右图4中,用尺规作图画出圆

O的内接正三角形.

活动2:

正多边形都是轴对称图形吗?如果是,有多少条对称轴?正多边形

都是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心在哪里?

[课堂小结]

1.当正多边形的边数一定时,可以求出正多边形的哪些元素?

2.在有关正多边形与圆的计算问题时,一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形,将所求问题转化为直角三角形中的计算问题.

3.如果正多边形的边数一定,已知它的边长、半径、边心距、周长、面积中的任意

一项,都可以求出其他各项.

[当堂达标]

1. 如图5所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是( )

A、60° B、45° C、30° D、22.5°

2.正方形的边长为a,那么这个正方形的半径是 ,边心距是 .

3. 已知正三角形的边长为a,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,则r:a:R等于( ) (提示:任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆,它们的同心圆)

A、1 :23 :2 B、1 :3 :2 C、1 :2 :3 D、1 : :2

4.教材p105练习第3题. 5. 教材p107练习第1题.

6.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分,然后连接五等分点

而得到(如图6),五角星的每一个角的度数为 ( )

(图6) A. 30? B. 35? C. 36? D. 37?

7.(云南中考)已知:如图7,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,⊙O的半径是2,连接OB,OC.

(1)求?BOC的度数;(2)求正六边形ABCDEF的周长.

[拓展训练]

8.已知:如图8,⊙O的半径为R,正方形ABCD,A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形.求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外.

9.已知:如图9,⊙O的半径为R,求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外.

(图4 ) (图5)

A(图7) (图8) (图9)

[课后作业]

[学后反思]

第 27 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

第14课时 24.4 弧长和扇形面积(1)

[学习目标]

了解扇形的概念,理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。 [学法指导]

n?R2n?R通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长l?和扇形面积S?的360180

计算公式,并应用这些公式解决一些题目。

[学习流程]

一、导学自习(教材P110-111)学生学习的最大敌人是依赖、被动!

(一)知识链接(约 分钟)

1.圆的周长公式是 。2.圆的面积公式是 。

3.什么叫弧长?

(二)自主学习(约 分钟)

自学教材P110-111,思考下列内容:

1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.

1°的圆心角所对的弧长是_______。2°的圆心角所对的弧长是_______。

4°的圆心角所对的弧长是_______。 ?? n°的圆心角所对的弧长是_______。

2.什么叫扇形?

3.圆的面积可以看作 度圆心角所对的扇形的面积;

设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

??

设圆的半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

4.比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?

二、研习展评(亮出你的观点,秀出你的个性,展示你的风采!)(约 分钟)

例1.如右图,水平放置的圆柱形排水管道的界面半径是0.6m,其中

水面高0.3m。求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)

AB的长(?结果精确到0.1)和扇形AOB的面例2.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求?

积(结果精确到0.1)

[课堂小结](约 分钟)(把你所学的知识整理一下吧,可别偷懒哦!)

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第24章《圆》导学案

[当堂达标](约 分钟)(这里是你展示才情的舞台!)

1. 教材P112练习。

2.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是( )

A.3? B.4? C.5? D.6?

3.如图所示,把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上,按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置,则点B运动到点B′所经过的路线长度为( )

A.1 B.? C

D

?

[分层作业] l

?BC的长的_____倍. 1.如图所示,OA=30B,则?AD的长是BC?2.如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中?AOB为120,OC长为

8cm,CA长为12cm,则阴影部分的面积为 。

B A A B

C O

23.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm,扇形的圆心角为______°.

4.如图,AB为⊙O的直径,CD?AB于点E,交⊙O于点D,OF?AC于点F.

(1)请写出三条与BC有关的正确结论;

(2)当?D?30?,BC?1时,求圆中阴影部分的面积.

第15课时 24.4 弧长和扇形面积(2)

[学习目标]

1.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式.

2.理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题.

[学法指导]

通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题.

[学习流程]

一、导学自习(教材P112-113)学生学习的最大敌人是依赖、被动!

(一)知识链接(约 分钟)

1.什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并请讲讲它们的异同点。

2.一种太空囊的示意图如图所示,?太空囊的外表面须作特别处理,以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热,那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的.

第 29 页 共 30 页

第24章《圆》导学案

(二)自主学习(约 分钟)

自学教材P112-113,思考下列问题:

1.什么是圆锥的母线?

2.圆锥的侧面展开图是什么图形?如何计算圆锥的侧面积?如何计算圆锥的全面积?

若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则圆锥的侧面积可表示为,圆锥的全面积为 。

3.圆柱的侧面展开图是什么图形?若圆柱底面圆的半径为r,圆柱的高为h,则圆柱的侧面积可表示为 ,全面积可表示为 。

二、研习展评(亮出你的观点,秀出你的个性,展示你的风采!)(约 分钟)

例1:蒙古包可以类似的看成由圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面

积为35m2,高为3.5m,外围高1.5m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡?

(结果取整数)

例2:已知扇形的圆心角为120°,面积为300?cm2.

(1)求扇形的弧长;(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?

[课堂小结](约 分钟)(把你所学的知识整理一下吧,可别偷懒哦!)

[当堂达标](约 分钟)(这里是你展示才情的舞台!)

1.P114练习。

2.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为3cm,则其全面积为( ) (第4题)

A.π B.3π C.4π D.7π

3.用半径为30cm,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,?则圆锥的底面半径为( )

A.10cm B.30cm C.45cm D.300cm

4.如图,圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )

A.60 ? B.90 C.120 ??D.180 ?

[分层作业]

1.矩形ABCD的边AB=5cm,AD=8cm,以直线AD为轴旋转一周,?所得圆柱体的表面积是_________

2.将一个底面半径为3cm,高为4cm圆锥形纸筒沿一条母线剪开,所得的侧面展开图的面积为__________。

3.一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是______.

4.如图所示,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,

?从点A出发绕侧面一周,再回到点A的最短的路线长是( )

A.

B

C.

D.3 5.如图所示,一个几何体是从高为4m,底面半径为3cm?的圆柱中挖掉一个

圆锥后得到的,圆锥的底面就是圆柱的上底面,圆锥的顶点在圆柱下底面

的圆心上,?求这个几何体的表面积.

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