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【精品课件三】24.2点、直线、圆和圆的位置关系

发布时间:2013-10-02 09:56:50  

相离

d.B .A
H.

.Or r

直线与圆的位置关系 (数量特征)

L

1、直线与圆相离

d>r d=r

相切

d

.O r 2、直线与圆相切 r
.D

. C

L
Or r

相交

3、直线与圆相交
.F

d<r

d.

E

L

知识回顾

新知讲解
在⊙O中,经过半径OT 的外端点T作直线 AB⊥OT,则圆心O到直 线AB的距离是多 OT 少?______,直线AB和 ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.

.O

A

T

B L

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 几何应用: ∵OT⊥AB且OT为半径 ∴AB是⊙O的切线 已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?

注意:定理中的两个条件缺一不可.

1.下列图形中的直线 l是不是圆O的切线,为什么?
O

O l

O

l
l A

图(1)中直线l经过半径外端,但不与半 径垂直;图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不 经过半径外端. 从以上两个反例可以看出,只满足其中一 个条件的直线不是圆的切线.

A A

A A

A

2.判断下列命题是否正确. (1)经过半径外端的直线是圆的切线.( ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线.( ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线.( ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.( ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半 径的圆与底边相切.( )

1、定义法:和圆有且只有一个公共点的直线 是圆的切线。 2、数量法(d=r):和圆心距离等于半径的 直线是圆的切线。 3、判定定理:经过半径外端且垂直于这条半 径的直线是圆的切线。

O A T B

这个命题的题设与结论分别是什么? OT是半径 ①(OT)过圆心 ②垂直于直线(切线) OT⊥AB ∴直线AB是切线 ③是切线(过切点) 交换题设与结论你能得到几个命题?分别写出来。

探索切线性质
一条直线满足 ①过圆心 ③过切点 ②垂直于切线
C

如图,直线CT与⊙O相切于点T, 直径CT与直线AB有怎样的位置关系?.
? 直径CT垂直于直线AB. 1.定理
A



O B

T

圆的切线垂直于过切点的半径.

探索切线性质
一条直线满足 ②垂直于切线 ③过切点 ①过圆心
A

C



O B

T

2.定理:过切点且垂直于切线的直线必过圆心

小结:切线的性质
1.定理 圆的切直线垂直于过切点的半径. 2.定理:过切点且垂直于切线的直线必过圆心
即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明 直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过 圆心作直线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径.

1、切线和圆只有一个公共点。
2、切线和圆心的距离等于半径。

3、切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 切线的性质3、4、5可归纳为:已知直线

满足a、过 圆心,b、过切点,c、垂直于切线中任意两个,便得 到第三个结论。

例1

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.

证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB

∴△OAB是等腰三角形, OC是底边AB上的中线
∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线

例2. 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300. 求证:DC是⊙O的切线.
C A

.
O

B

D

方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连结圆 心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法.

例3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.

例4..在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D, 以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.

F
E

练一练
1.如图, AB是⊙O的直径,∠B=45°,AC=AB, AC是⊙O的切线吗?为什么? B 0 A C

解: ∵ AC=AB , ∠B=450
∴∠C=∠B=450 ∴∠ BAC =90° ∴ AC⊥AB 又∵直线AC经过⊙O 上的A点

∴直线AC是⊙O的切线

2.如图所示,△ABC中,AC=BC,以BC为直径 的⊙O交AB于D,过点D作DE⊥AC于点E,交 BC的延长线于点F. 求证:(1)AD=BD; (2)DF是⊙O的切线. A D E B O C F

3.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,以 AB? 直径的⊙O交AC于D,E是BC的中点, 为 连接ED并延长交BA的延长线于F. 求证:DE是⊙O的切线
C

D

E

A

O

·

B

4.如图,已知,AB是⊙O直径,BC⊥AB于 B,⊙O的弦AD∥OC, 求证:DC是⊙O的切线.
C D A O B

5. 如图AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线,AB是切点, l1、 l2有怎样的关系?证明你的结论.

l1 ∥ l2
证明:
∵ l1是⊙O切线, ∴

l1

A

l1⊥OA. l ⊥OB.
2

O ·

∵ l2是⊙O切线, ∴

AB为直径,


l2

B

l1 ∥ l2 .

6.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.

7.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件 ∠CAE=∠B (只需写出三种情况)①___________②_____________ AB⊥FE ∠BAC+∠CAE=90° ③______________. (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的 切线.

H

弧AC所对的弦切角 ? EAC等于弧AC所对的圆周角 ABC ?

8.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

如图,以Rt△ABC的直角边BC为直径 作半圆O,交斜边于D,OE∥AC交AB于E 求证:DE是⊙O的切线。
C

D

O

A

E

B

已知:AB是直径,AD是切线,判断 弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之间的 关系 B

C A D

已知:AB是直径,AD是切线,判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B E

O

C D

A

已知AB是直径,BC是切线,AC交圆 O于点D,点E是BC的中点。 C 求证:DE是圆O 的切线 D E B

A



O

课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些? 直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线

2. 常用的添辅助线方法? ⑴直线与圆的公共点已知时,作出过公共点的半 径,再证半径垂直于该直线。(连半径,证垂直) ⑵直线与圆的公共点不确定时,过圆心作直线的 垂线段,再证明这条垂线段等于圆的半径。(作垂 直,证半径)

结 束 寄 语





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