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2.4等腰三角形的判定

发布时间:2013-10-02 10:29:07  

等腰三角形判定

等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角 平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对 等角”).

等边三角形的三个内角相等,且都等于60°.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分 线重合(简称为“三线合一”).

探究

我们知道,等腰三角形的两底 角相等,反过来,两个角相等的三 角形是等腰三角形吗?

如图,在△ABC中,如果 ∠B=∠C,那么AB与AC之间有 什么关系吗?

我测量后发现AB与AC相等.

3cm

3cm

结论

有两个角相等的三角形是等腰三角 形(简称“等角对等边”).

例1 一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图,即测量 温馨提示: A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法 是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至 已知:∠DAC=60°∠C=30° C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长,它就是河的宽度(即 说明:AC=AB。 A,B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由. 解:小聪的测量方法正确,理由如下:
∵∠DAC=∠B+∠C(三角形外角的性质) ∴ ∠ABC=∠DAC-∠C=60°- 30°= 30° ∴ ∠ABC= ∠C ∴ AB= AC

B

C

30° A 60°

D

例2

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E 分别是AB,AC上的点,且DE∥BC. 求证:△ADE为等腰三角形.

证明 ∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED.
∴ △ADE为等腰三角形.

结论

由此并且结合三角形内角和定理, 还可以得到等边三角形的判定定理: 三个角都是60°的三角形是等边三角 形.

动脑筋

有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形吗?为什么?

如图,在等腰三角形ABC中, AB=AC. 由三角形内角和定理得 ∠A+∠B+∠C= 180°.

如果顶角∠A=60°, 则∠B+∠C= 180°-60°=120°. 又 AB=AC,
∴ ∠B=∠C. ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴ △ABC是等边三角形.

例3 已知:如图,△ABC是等边三 角形,点D,E分别在BA,CA的延 长线上,且AD=AE. 求证:△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60°, 又 AD =AE, ∴△ADE是等边三角形
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)

练习

1. 已知:等腰三角形ABC的底角 ∠ABC和∠ACB的平分线相交于 点O. 求证:△OBC为等腰三角形.
证明 ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, A 1 ∴ ∠ABD =∠DBC= ?ABC , 2 E D 1 ∠ACE =∠ECB= ?ACB, 2 O B C

又∵ △ABC是等腰三角形, ∴ ∠ABC =∠ACB, ∴ ∠DBC =∠ECB, B ∴ △OBC是等腰三角形.

A

E O

D

C

2. 已知:如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE 交BC的延长线于点E,且∠ACE= 60°. 求证:△ACE是等边三角形.
证明 ∵CD平分∠ACB, ∴ ∠ACD =∠DCB, 又∵∠ACE=60°, ∴ ∠ACD=∠DCB=60°, 又 ∵ AE∥DC, ∴ ∠BCD

=∠E=60°, ∴ 在△ACE中,∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.

3. 已知:如图,AB=BC ,∠CDE= 120°, DF∥BA,且DF平分∠CDE. 求证:△ABC是等边三角形.
证明 ∵ AB=BC, ∴ △ABC是等腰三角形, 又∵∠CDE=120°,DF平分∠CDE. ∴ ∠EDF=∠FDC=60°, 又∵DF∥BA, ∴ ∠FDC=∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形.

4、如图,BD是等腰三角形ABC
的底边AC上的高,DE∥BC,交

AB于点E. 判断△BDE是不是
等腰三角形,并说明理由. A E B

D

C

中考 试题
例1
等腰三角形两边长分别是2cm和5cm,则这个 三角形周长为( B ) A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm
解析

另一边长为2cm或5cm,2,2,5不符合 三角形三边关系定理,故选5. ∴周长为5+5+2=12cm.

中考 试题 例2
若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个 等腰三角形的顶角的度数为( D ) A. 50° B. 80° C. 65°或50° D. 50°或80°
解析

因为50°可作为等腰三角形的一顶角或 一底角,故选D.






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