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二次函数难题

发布时间:2013-10-02 12:06:53  

如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图像与x轴交于点A(-2,0),B,

与y轴交于点C,tan∠ABC=2.

(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使

得经过点P的直线PM垂直于直线

CD,且与直线OP的夹角为75°?

若存在,求出点P的坐标;若不存

在,请说明理由;

(3)过点B作x轴的垂线,交直线CD

于点F,将抛物线沿其对称轴向上

平移,使抛物线与线段EF总有公

共点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个单位长度?

2y?mx?3mx?3(m>0)与y轴交于点C,与x轴交于A 、B两如图,抛物线

点,点 A在点B的左侧,且.tan?OCB?1

3

(1)求此抛物线的解析式;

(2)如果点D是线段AC下方抛物线上的动点,设D点的横坐标为x, △ACD的面积为S,求S与x的关系式,并求当S最大时点D的坐标;

(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形?若存在求点P坐标;若不存在,请说明理由.

已知:如图,在□ EFGH中,点F的坐标是(-2,-1),∠EFG=45°.

(1)求点H的坐标;

(2)抛物线C1经过点E、G、H,现将C1向左平移使之经过点F,得到抛物线

C2,求抛物线C2的解析式;

(3)若抛物线C2与y轴交于点A,点P在抛物线C2的对称轴上运动.请问:

是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP?若存在,求出点P若不存在,请说明理由.

x

如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2的交点为A, B,22

点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是-2.

(1)求a的值及点B的坐标;

(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 过C2顶点M的

直线记为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2),求点N的横坐标;

② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横

坐标的取值范围.

第25题图

如图,抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与y轴相交于点C,直线L1经过点C且平行于

x轴,将L1向上平移t个单位得到直线L2,设L1与抛物线的交点为C、D,L2与抛物线的交点为A、B,连接 AC、BC. (1)当a?

13

,b??,c?1,t?2时,探究△ABC的形状,并说明理由; 22

(2)若△ABC为直角三角形,求t的值(用含a的式子表示);

(3)在(2)的条件下,若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对

称轴上,连接A’C,BD,求四边形A’

22

y?kx?2(2?k)x?k?k经过坐标原点. 已知:抛物线

(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标;

(2)设点A是抛物线与x轴的另一个交点,试在y轴上确定一点P,使PA+PB最短,并求出点P的坐标;

(3)过点A作AC∥BP交y轴于点C,求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标.

已知抛物线y??x2?(m?2)x?3?m?1?.

(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;

(2)设抛物线与y轴交于点C,当抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在

点B的

左侧)时,如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角,那么m

的取值范围

(3)在(2)的条件下,P是抛物线的顶点,当△PAO的面积与△ABC的

面积相等时,求该抛物线的解析式.

2

如图,已知抛物线C1:y?a?x?2??5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点

A在

点B的左边),点B的横坐标是1. (1)求P点坐标及a的值;

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛

物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3

的解析式;

(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后

得到抛物线

C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.

Rt△ABC(?C是直角)放在平面直角坐标系中的第二象限, 使顶点A在y轴上, 顶点B在抛物线y?ax2?ax?2上,顶点C在x轴上,坐标为(?1,0).

(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;

(2)抛物线的关系式为 ,其顶点坐标为 ;

(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB?C?的位置.请

判断点B?、C?是否在(2)中的抛物线上,并说

明理由.

如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(1,),若把线段OA

绕点O逆时针旋转120°,可得线段OB.

(1)求点B的坐标;

(2)某二次函数的图象经过A、O、B三点,求该函数的解析式; (3)在第(2)小题所求函数图象的对称轴上, 是否存在点P,使△OAP的周长最小,

若存在,求点P的坐标; 若不存在, 请说明理由.

如图,已知抛物线C1:y?a(x?2)2?5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点A的横坐标是?1.

(1)求p点坐标及a的值;

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向左平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点A成中心对称时,求C3的解析式y?a(x?h)2?k;

(3)如图(2),点Q是x轴负半轴上一动点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时,求顶点N的坐标.

已知:如图1,等边?ABC的边长为2,一边在x轴上且A1?3,0,AC 交y轴于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F. (1)直接写出点B、C的坐标;

(2)若直线y?kx?1?k?0?将四边形EABF的面积两等分,求k的值; (3)如图2,过点A、B、C的抛物线与y轴交于点D,M为线段OB上的一个动点,过x轴上一点G??2,0?作DM的垂线,垂足为H,直线GH交y轴于点N,当M点在线段OB上运动时,现给出两个结论:

① ?GNM??CDM ②?MGN??DCM,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论正确,并证明.

??

图1 图

2

1

如图,直线l1:y?kx?b平行于直线y?x?1,且与直线l2:y?mx?相交于点

2

P(?1,0).

(1)求直线l1、l2的解析式;

(2)直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运

动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动,……

照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,…,Bn,An,…

①求点B1,B2,A1,A2的坐标;

②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标;并

求当动点C到达An处时,运动的总路径的

长.

抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标;

(3)抛物线对称轴上是否存在一点P,使得S△PAM=3S△ACM,若存在,求出P

点坐标;若不存在,请说明理由.

已知抛物线y??2

3x2?bx?c与x轴交于不同的两点A?x1,0?和B?x2,0?,与y轴

交于点C,且x1,x2是方程x2?2x?3?0的两个根(x1?x2).

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点A作AD∥CB交抛物线于点D,求四边形ACBD的面积;

(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合),过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.

已知:关于x的一元二次方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0

(1)若m?0,求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求m的值.

在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示,抛物线y?ax2?ax?2经过点B.

(1)求点B的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3

如图,抛物线y?x2?2x?3与点左侧),直线l与抛物线交于C点的横坐标为2.

(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;

(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的

行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;

(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点

F,

使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形

平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.

7

的抛物线经过点A(6,0)和 B(0,4). 2

(1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y如图,对称轴为直线x?

形OEAF是以OA形OEAF的面积S与x量x的取值范围;

①当平行四边形OEAF的面积为24时,四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方

形?若存在,求出点E

如图,已知与x轴交于点A(1,抛物线l2与0)和B(5,0)的抛物线l1的顶点为C(3,4),

l1关于x轴对称,顶点为C?.

(1)求抛物线l2的函数关系式;

(2)已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P?为顶点的四边形是平行四边形? (3)在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB

?角形?若存,求出点M

如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4,0),B(?2,0),E(0,8).

(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式;

(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两

点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为

S.若点A,点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向

右、向左运动;与此同时,点M,点N同时以每秒2个单位的

速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为

止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式,并

写出自变量t的取值范围;

(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出

此最大值;

(4)在运动过程中,四边形MDNA能否形成矩形?若能,求出

此时t的值;若不能,请说明理由.

如图10,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G

(1) 求A、B、C三点的坐标;

(2) 若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,

求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;

(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延

长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的

取值范围.

图10

如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).

(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);

(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;

(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;

(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.

如图,正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子.动点P,Q同时从点A出发,点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动,到点C停止,点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动,到点D停止.P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2.

B P

O Q

C

(1)当0≤x≤1时,求y与x之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值;

(3)当1≤x≤2时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡

A B

D P

C

O

A

Q D

皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围;

3

y

(4)当0≤x≤2时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.

2

1

O

1 2 x

如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D. (1) 求l2的解析式;

(2) 求证:点D一定在l2上;

(3) □ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. 注:计算结果不取近似值

.

如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.

(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;

(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;

(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B

两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半

轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC

的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个

根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的

一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF

∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积

为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线A平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积,S?表示矩形NFQC的面积.

(1) S与S?相等吗?请说明理由.

(2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少?

(3)如图11,连结BE,当AE为何值时,?ABE是等腰三角形. DADA PPH

C BMBNCN FG FQ 图10 图11

如图12, 四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4). 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP于Q,连结MQ.

(1)点 (填M或N)能到达终点;

(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;

(3)是否存在点M,使得△AQM

的坐标,若不存在,说明理由.

HMG图12

实验与探究

(1)在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C的坐标,它们分别是(5, , ; 2),

图1

x

图2

x

图3

x

(2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);

)

图4

x

归纳与发现

(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为

A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如图4)时,则四个顶点的横坐标

,,n之间的等量关系fa,c,m,e之间的等量关系为;纵坐标b,d

为 (不必证明);

运用与推广

(4)在同一直角坐标系中有抛物线y?x2?(5c?3)x?c和三个点

?15??19?

G??cc?,S?cc?,H(2c,.问当c为何值时,该抛物线0)(其中c?0)

2222????

上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.

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