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15-因式分解知识点、练习题0

发布时间:2013-10-03 12:31:36  

因式分解

1、因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把多项式因式分解.

注:因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把ma?mb?mc,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a?b?c)是ma?mb?mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下:

ma?mb?mc?m(a?b?c)

注:i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;

②字母:各项都含有的相同字母;

③指数:相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

把乘法公式反过用,可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ)平方差公式 a2?b2?(a?b)(a?b)

注意:①条件:两个二次幂的差的形式;

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;

③在用公式前,应将要分解的多项式表示成a2?b2的形式,并弄清a、b分别表示什么. ⅱ)完全平方公式 a2?2ab?b2?(a?b)2,a2?2ab?b2?(a?b)2

注意:①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;

③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);

④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成a2?2ab?b2?(a?b)2公式原型,弄清a、b分别表示的量.

补充:常见的两个二项式幂的变号规律:

①(a?b)2n?(b?a)2n; ②(a?b)2n?1??(b?a)2n?1.(n为正整数)

4、十字相乘法

借助十字叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式x2?px?q,寻找满足ab?q,a?b?p的a、b,则有x2?px?q?x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b);

5、分组分解法

22定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如a?b?a?b没有公因式,又不能直接利

用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:

22a2?b2?a?b=(a?b)?(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)?(a?b)(a?b?1),

1

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.

原则:用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运用公式.

6、求根公式法:如果ax2?bx?c?0(a?0),有两个根x1,x2,那么

ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2).

二、典型例题及针对练习

考点1 因式分解的概念

例1、 在下列各式中,从左到右的变形是不是因式分解?

22⑴(x?3)(x?3)?x?9 ; ⑵x?5x?24?(x?3)(x?8);

⑶x?2x?3?x(x?2)?3 ; ⑷x2?1?x(x?).

注:左右两边的代数式必须是恒等,结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..

考点2 提取公因式法

例2 ⑴?8xy?6xy?2xy; ⑵x(x?y)?2(y?x)

解:

注:提取公因式的关键是从整体观察,准确找出公因式,并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.

[补例练习]1、⑴45abc?9abc?54abc; ⑵(a?b)?a(a?b)?b(b?a)

考点3、运用公式法

例3 把下列式子分解因式:

⑴36a?4b; ⑵2x?

解:

注:能用平方差分解的多项式是二项式,并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时,首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.

例4把下列式子分解因式: 223222243321x432323212y. 2

2

⑴?x2?4y2?4xy; ⑵a5b?18a4b3?81a3b5.

解:

注:能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是:有三项,并且这三项是一个完全平方式,有时需对所给的多项式作一些变形,使其符合完全平方公式.

[补例练习]2、⑴a6?16a2; ⑵(a?2b)?(2a?b);

⑶16x?8x?1; ⑷(x?1)?4x(x?1)?4x.

注:整体代换思想:a、b比较复杂的单项式或多项式时,先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.

考点4、十字相乘法

例5 ⑴a?5a?4; ⑵x?5xy?4y.

[补例练习]3、⑴x?6xy?16y ⑵(x?y)?2(y?x)?80

考点5、分组分解法

例6分解因式:

(1)4x?4xy?y?z; (2)a?a?2b?2ab 222222224222222422432

(3)x?2xy?y?2x?2y?3

分析:对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。22

答案:(1)?2x?y?z??2x?y?z?(三、一分组后再用平方差)

3

(2)?a?2b??a?1??a?1?(三、二分组后再提取公因式)

(3)?x?y?3??x?y?1?(三、二、一分组后再用十字相乘法)

★ 综合探究创新

2例7 若x?2(a?4)x?25是完全平方式,求a的值.

说明 根据完全平方公式特点求待定系数a,熟练公式中的“a、b”便可自如求解.

例8 已知a?b?2,求

121a?ab?b2的值. 22说明 将所求的代数式变形,使之成为a?b的表达式,然后整体代入求值.

例9 已知x?y?1,xy?2,求xy?2xy?xy的值.

说明 这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于xy与x?y的式子,再整体代入求值.

3223

三、巩固练习

课外练习

一、填空题

1. ?5m?10nm? . 2. ?x?9y?6xy?3. 当a?99时,a?2a?3的值是4. (x?4xy?5y)?(x?5y)?5. 1?a?2ab?b?6. x?xy?y?.

二、解答题

7.分解因式:2m(a?c)?5(c?a).

9.分解因式:x?4xy?4y?x?2y?6.

4 2222232222242248.计算:75?2.6?12?3.5. 22

十字相乘法分解因式

(1)多项式ax2?bx?c,称为字母 的二次三项式,其中 称为二次项, 为一次项, 为常数项.

例如:x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式.

(2)在多项式x2?6xy?8y2中,如果把 看作常数,就是关于 把 看作常数,就是关于 的二次三项式.

(3)在多项式2a2b2?7ab?3中,把 ,就是关于 的二次三项式.同样,多项式(x?y)2?7(x?y)?12,把 看作一个整体,就是关于的二次三项式.

(1)对于二次项系数为1

方法的特征是“拆常数项,凑一次项”

当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同; 当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

它的特征是“拆两头,凑中间”

当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;

常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;

常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意:用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.

例1 把下列各式分解因式:

(1)x2?2x?15; (2)x2?5xy?6y2.

例2 把下列各式分解因式:

(1)2x2?5x?3; (2)3x2?8x?3.

例3 把下列各式分解因式:

(1)x4?10x2?9; (2)7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y);

(3)(a2?8a)2?22(a2?8a)?120.

例4 分解因式:(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90.

5

例5 分解因式6x4?5x3?38x2?5x?6.

例6 分解因式x2?2xy?y2?5x?5y?6.

例7 分解因式:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b).

例8、已知x4?6x2?x?12有一个因式是x2?ax?4,求a值和这个多项式的其他因式.

把下列各式分解因式:

(1)2x2?15x?7 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6 (4) 6y2?11y?10

(5) 5a2b2?23ab?10 (6) 3a2b2?17abxy?10x2y2 (7) x2?7xy?12y2

(8) x4?7x2?18 (9) 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2

一、选择题

1.如x2?px?q?(x?a)(x?b),那么p等于

A.ab B.a+b C.-ab D.-(a+b)

2.如果x2?(a?b)?x?5b?x2?x?30,则b为 (

A.5 B.-6 C.-5 D.6

3.多项式x2?3x?a可分解为(x-5)(x-b),则a,b的值分别为

A.10和-2 B.-10和2 C.10和2 D.-10和-2

4.不能用十字相乘法分解的是

A.x2?x?2 B.3x2?10x2?3x C.4x2?x?2 D.5x2?6xy?8y2

5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是

A.2(x?y)2?13(x?y)?20 B.(2x?2y)2?13(x?y)?20

C.2(x?y)2?13(x?y)?20 D.2(x?y)2?9(x?y)?20

6.将下述多项式分解后,有相同因式x-1的多项式有

①x2?7x?6; ②3x2?2x?1; ③x2?5x?6; ④4x2?5x?9; ⑤15x2?23x?8; ⑥x4?11x2?12

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

二、填空题

7.x2?3x?10?__________.

8.m2?5m?6?(m+a)(m+b). a=__________,b=__________.

9.2x2?5x?3?(x-3)(__________).

6 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

10.x2?____?2y2?(x-y)(__________).

11.a2?na?(_____)?(____?____)2. m

12.当k=______时,多项式3x2?7x?k有一个因式为(__________).

13.若x-y=6,xy?17,则代数式x3y?2x2y2?xy3的值为__________. 36

三、解答题

14.把下列各式分解因式:

424242246336(1)x?7x?6; (2)x?5x?36; (3)4x?65xy?16y;(4)a?7ab?8b

(5)6a4?5a3?4a2; (6)4a6?37a4b2?9a2b4.

15.把下列各式分解因式:

(1)(x2?3)2?4x2;(2)x2(x?2)2?9(3)(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2

(4)(x2?x)2?17(x2?x)?60;(5)(x2?2x)2?7(x2?2x)?8;(6)(2a?b)2?14(2a?b)?48.

16.已知x+y=2,xy=a+4,x3?y3?26,求a的值.

7 ;;

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