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三元一次方程组消元八法

发布时间:2013-10-04 10:53:22  

三元一次方程组消元八法

消元是解三元一次方程组的关键,若能根据各未知数系数的特点,灵活地进行消元,则可以提高解题速度。下面以教材《代数》第一册(下)中的题目为例,介绍几种消元方法。

一、先消系数最简单的未知数

3x?y?2z?3, ①

1 例1 解方程组 2x?y?3z?1,②

x?y?z?12。 ③

分析 三个方程中,y的系数的绝对值都是1,所以先消去y比较简单。 解 ①+②,得5x?z?14。 ④

②?③,得x?4z??1。 ⑤

④?⑤?5,得19z?19,∴ z?1。

把z?1代入④,得x?3。

把x?3,z?1代入③,得y?8。

二、先消某个方程中缺少的未知数

7 ① 4x?9z?1,

8 ② 例2 解方程组3x?y?15z?1,

?2y?3z?2。 ③

分析 因为方程①中缺少y,所以由②③先消去y比较简单。

解 ②?2?③得5x?27z?34。 ④

再解由①、④组成的方程组,得x?5,z?

把x?5,z?1代入③,解得y??2。 31。 3

三、先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数

2x?4y?3z?9, ①

1 ② 例3 解方程组3x?2y?5z?1,

z?1。3 ③ 5x?6y?7

1 / 3

分析 三个方程中y的系数成倍数关系,因此先消去y比较简单。 解 ①+②?2,得8x?13z?31。 ④

②?3?③,得4x?8z?20。 ⑤

④、⑤两个方程中x的系数成倍数关系,易消去x,由⑤?2?④,得3z?9,∴ z?3。把z?3代入⑤,得x??1。

把x??1,z?3代入①,得y?

四、整体代入消元

x?y?z?26, ①

例4 解方程组x?y?1, ②

2x?z?y?18, ③

分析 将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式,作整体代入便可消元求解。

解 方程③变形为: 1。 2

?x?y?z???x?y??y?18。 ④

把①、②代入④,得26?1?y?18。∴ y?9。

把y?9代入②,得x?9?1。∴ x?10。

把x?10,y?9代入①,得z?7。

五、整体加减消元

3x?2y?z?13, ①

例5 解方程组x?y?2z?7, ②

2x?3y?z?12。 ③

分析 观察三个方程中未知数x、z的系数特点,可用整体加减消元法来解。 解 ②?③?①,得2y?6,∴ y?3。

①?③并化简,得x?y?5。 ④

把y?3代入④,得x?2。

2 / 3

把④代入②,得5?2z?7。∴ z?1。

六、设比值参数消元

x∶y=3∶2, ①

例6 解方程组 y∶z=5∶4, ②

x?y?z?66。 ③

分析 方程组中前两个方程是比例式,可用设比值参数法消元求解。 解 设每一份为k,则

x?3k,y?2k,z?1.6k。 ④

把④代入③得3k?2k?1.6k?66。

∴k?10。则x?3?10?30,y?2?10?20,

z?1.6?10?16。

七、轮换相加法

x?y?z?11, ①

5, ② 例7 解方程组y?z?x?

1。 ③ z?x?y?

分析 观察发现每两个方程都有两对互为相反数,故两两相加均可同时消去两个元。

解 将三个方程两两相加再除以2,即得x?6,y?8,z?3。

八、巧选主元法

x?y?z?0, ①

例8 解方程组x?y?3z?4, ②

4 ③ 2x?3y?5z?1。

分析 选x、y为主元,由①、②能迅速解出x、y,从而可使问题获得巧解。 解 选x、y为主元,联立①、②,解得x?2z?2,y?z?2,将它们代入③,解得z?2,进而得x?6,y?4。

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