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13.3 乘法公式(第4课时 两数和的平方)

发布时间:2013-10-04 17:33:55  

标题 华东师大版八年级(上册) 第13章 整式的乘除

标题

13.3 乘法公式(第4课时)

复习巩固
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a?b)2 = a2 ?2ab+b2
语言表述: 两数和 (差)的平方 等于 这两数的平方和 加上 (减去)这两数乘积的两倍.
几 b 何 意 义 a

ab

b2 ab
b

a2
a

a?b

b

a?b (a?b)2 b(a?b)

a

b

ab
a

学一学 ? 例1 利用完全平方公式计算: (1) 0.982 (2) 10012 解:(1) 原式 = ( 1 ? 0.02)2 = 12 ? 2 ×1×0.02 + 0.022 = 1 ? 0.04 + 0.0004 = 0.9964

(2)原式 = ( 1000 + 1 )2 = 10002 + 2 × 1000×1 + 12 = 1000000 + 2000 + 1 =1002001

随堂练习

(二)
1. 填空: 4xy (1) ( 2x + y)2 = 4x2 + ( ____________ ) + y2 5y 10 x y (2) (x ? ______)2 = x2 – (_________) + 25y2 3a b 6ab (3) (_____ ? b )2 = 9 a2 ?(__________) + (____)2 0.25 0.5 (4) x 2 + x +(_______) = ( x +_____)2 2、计算:
(1) ( x+ 2y)2 ; (2) ( n – 3m)2 ; 1 __Z)2 ; (3) (2xy – 5

例2 一花农有4块正方形花苗圃,边长分别 为30.1m ,29.5m,30m,27m.现将这4块苗圃 的边长都增加1.5m后,求各苗圃的面积分别 增加了多少m2? 设原正方形苗圃的边长为a m,边长增加 解答: 1.5 m后,新正方形的边长为 (a+1.5) m 则 (a+1.5)2-a2= a2+3a+2.25-a2=3a+2.25 当a=30.1时, 3a+2.25=3×30.1+2.25= 92.55 当a=29.5时, 3a+2.25=3×29.5+2.25= 90.75

类似地,当a=30,a=27时, 3a+2.25的值分别为 92.25,83.25.所以4块花苗圃 的面积分别增加了 92.55m2,90.75m2,92.25m2,83.25m2.

注意完全平方公式和平方差公式不同: 完全平方公式的结果 是三项,即 (a ± b)2=a2 ± 2ab + b2. 平方差公式的结果 是两项,即 (a+b)(a?b)=a2?b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形 的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少 乘2. 有时需要进行变形,使变形后的式子符合应 用完全平方公式的条件,即为“两数和(或差) 的平方”,然后应用公式计算.

知识小园地
利用贾宪三角对完全平方公式进行推广
(a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

知识小园地(贾宪三角)
贾宪最著名的数学成就,是他创制了 一幅数字图式,即“开方作法本源图” 。这幅图现见于杨辉的书中,但杨辉在 引用了这幅图后特意说明:“贾宪用此 术”。所以过去我国数学界把这幅图称 为“杨辉三角”,实际上是不妥当的, 应该称为“贾宪三角”才最为恰当。 由于史书没有贾宪的传记,所以我们 今天对这位数学家的生平事迹已经无法 搞清楚了。只知道他曾经当过宋代”左 班殿直”的小官,是当时天文数学家楚 衍的学生,还写过两部数学著作,可惜 这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数 学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多 数学思想资料,才使我们今天得以了解 贾宪在数学上的重大贡献。

小组抢答

1. 下列

等式是否成立? 说明理由. (1) (?4a+1)2=(1?4a)2; 成立 (2) (?4a?1)2=(4a+1)2; 成立 (3) (4a?1)(1?4a)=(4a?1)(4a?1)=(4a?1)2; 不成立. (4) (4a?1)(?1?4a)=(4a?1)(4a+1). 不成立. 理由: (1) 由加法交换律 ?4a+l=l?4a。 (2) ∵ ?4a?1=?(4a+1), ∴(?4a?1)2=[?(4a+1)]2=(4a+1)2. (3) ∵ (1?4a)=?(?1+4a) =?(4a?1), (4) 右边应改为: 即 (1?4a)=?(4a?1) ?(4a?1)(4a+1)。 ∴ (4a?1)(1?4a)=(4a?1)· [?(4a?1)] =?(4a?1)(4a?1)=?(4a?1)2。

试一试
你能由两数和的完全 平方公式的几何意义推 想到两数差的完全平方 公式的几何意义吗? a?b
(a+b)2 = a2+2ab+b2

a?b
(a?b)2 ab

b
b(a?b)

a

b
b
a

ab

b2 ab
b

a (a?b)2 = a2? ab ? b(a?b) 即 (a?b)2 = a2?2ab+b2

a2
a

拓 展 练 习
试一试:计算 ( m ?2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用: (1) 已知:x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2


(a+b+c) 2 可以用完全平方公式进行计算吗? 1.思考:

(x ?y)2 的值

(2)已知:a ?b =1 ; a2 +b2 =25 求 ab 的值 (3)已知:(x +y )2 =9 ; ( x ? y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值


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