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2013年9月16号初二潜能班第一讲:勾股定理(1)教师

发布时间:2013-10-04 17:33:58  

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 1 页 共 9 页

雨露八年级上数学创造性学习潜能开发班 第一讲 勾股定理(一)(教师用)

【核心内容】

【思维体验】

一、图形拼接与勾股定理证明 【例1】【说明】 观察图2,

A

例1图2

S?DFM?S?DGF?S?DGM?S?FGM

b

M

11

而S?DFM?DF?FM?c2, BC

22

例1图1 11

S?DGF?DH?FG?a2,

22

11

S?DGM?S?FGM?GH?GM?FG?GM

22

1

=GM(HG?FG) 21

=GM?FH 21=b2 2

121212

所以c?a?b

222

所以c?a?b 【举一反三】【说明】 可证明:

△EFG≌△MHF, 进一步证明得到: MF⊥EG,

2

2

2

E

A

Hb

E

1

观察S?EFM?S?GFM?FM?EG

2

1112则EF?HM?FG?NM?c 222121212则b?a?c 222

则b?a?c 所以c?a?b

2

2

2

2

2

2

b

BC

举一反三图1

M举一反三图2

C

二、勾股定理及其应用 【例2】【解答】

解答一:过点A作AE⊥BC于E,

∵AE⊥BC,AB=AC=10,BC=12,BD⊥AC于D,

1

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 2 页 共 9 页

∴BE=CE=6,

AE=AB2?BE2=2?62=8,

11AE?BC?BD?AC 22

11即: S?ABC?AE?BC??12?8=48; 22

12?848, BD??105

48504814AD2?AB2?BD2=102?()2=()2?()2=()2, 5555S?ABC?

AD?C4814AB?BD=?()2= 55222

CD?AB2?BD2=122?(48236)=. 55解答二:设AD?x,则CD?10?x,

∵AB=AC=10,BC=12,BD⊥AC于D,

∴BD?AB?AD,BD?BC?AD 即:10?x?12?(10?x) 解得,x?222222222214, 5

1448AB?AD=?()2=, 5522如果核心知识中的勾股定理的推广2可以作为一个 数学模型的话,讲解此解法时,首先应引导学生联想 这个模型 尤其是举一反三,引垂线建立这个模型,得 AC2?AD2?CE2?DE22则BD?BD?CD2CD?BD2 ?()?()22

代人已知,化简即得结果

下面的拓展也可以利用这个模型 1148S?ABC?BD?AC???10=48; 225

1436CD?AC?AD=10?=, 55

144836所以AD?,BD?,CD?; 555

【举一反三】【解答】过点A作AE⊥BC于E, ∵AB=AC=5,AE⊥BC于E,

∴BE=CE,

∴AD?DE?AE,AB?AE?BE, 则AD?BD?CD

=DE?AE?(BE?DE)(BE?DE)

=DE?AE?BE?DE

2222222222222

C

2

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 3 页 共 9 页

=AE2?BE2 =AB2 =25

拓展一:当点D在CB的延长线上时,上述结论变为AD?BD?CD?AB; 过点A作AE⊥BC于E, ∵AB=AC=5,AE⊥BC于E, ∴BE=CE,

∴AD2?DE2?AE2,AB2?AE2?BE2, 则AD?BD?CD

=DE?AE?(DE?BE)(DE?BE) =DE?AE?DE?BE =AE?BE =AB =25

拓展二:当点D在BC的延长线上时,上述结论变为AD?BD?CD?AB; 过点A作AE⊥BC于E, ∵AB=AC=5,AE⊥BC于E, ∴BE=CE,

∴AD?DE?AE,AB?AE?BE=AE?CE,

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

A

D

E

拓展一

C

2

2222

22

2

A

则AD?BD?CD

=DE?AE?(DE?CE)(DE?CE) =DE?AE?DE?CE =AE?CE =AC=AB

22

2

2

2

2

2

2

2

2

E

C拓展二

2

=25

【例3】 【解答】∵正方形ABCD的边长为17,正方形EFGH内接于ABCD, AE=a,AF=b,且SEFGH=169.

?a2?b2?169∴? ?a?b?17

3

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 4 页 共 9 页

则2ab?(a?b)?(a?b)=172?169;

222

A

D(a?b)2?2(a2?b2)?(a?b)2=49,

所以b?a?7

EB

F

例3题图

C

【举一反三】【解答】

三、勾股定理的拓展

1、非直角三角形中勾股定理的构造应用 【例4】【解答】对于钝角△ABC,作BD⊥AC于D,(因为AB为最长边,则BD在△ABC外部) 设CD=x,BD=h

∵BD⊥AC于D,

22222222222

∴a?b=BD?CD?AC=h?x?b=b?h?x;

B

c2?AD2?BD2=(b?x)2?h2=b2?2bx?x2?h2=b2?

h2?x2?2bx显然a?b?c

对于锐角△ABC,作BD⊥AC于D,则BD在△ABC内部,

设CD=x,BD=h ∵BD⊥AC于D, ∴a?b

=BD?CD?AC =h?x?b

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

B

c2?BD2?AD2=h2?(b?x)2=h2?b2?x2?2bx

显然a?b?c;

【例5】【证明】(1)图中有三个直角三角形分别是:Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BCD; ∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

∴AC?CD?AD,BC?CD?BD,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

AB2?AC2?BC2,

(2)由(1)以及AB?AD?BD得到:

2

2

2

2

2

2

B

∴(AD?BD)?AB=AC?BC=CD?AD?BD?CD

4

22

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 5 页 共 9 页

∴AD2?2AD?BD?BD2?CD2?AD2?BD2?CD2 ∴2AD?BD?2CD2

∴CD2?AD?BD

将CD2?AD?BD代入AC2?CD2?AD2得到: AC2?AD?BD?AD2=AD(BD?AD)=AD?AB, ∴AC2?AD?AB

(3)∵CD⊥AB于D,

∴AC2?CD2?AD2,

BC2?CD2?BD2

根据(1)中,CD2?AD?BD

∴AC2?AD?BD?AD2=AD(AD?BD)?AD?AB,BC2?AD?BD?BD2=BD(AD?BD)=BD?BA ∴AC2?AD?AB,BC2?BD?BA;

【例6】【解答】(1)∵CD⊥AB于D,CD2?DA?DB, ∴AC2?AD2?CD2=AD2?DA?DB?AD?AB, BC2?BD2?CD2=BD2?DA?DB?BD?AB, ∴AC2?BC2?AD?AB?BD?AB=AB2,

∴∠ACB=90°.

(2)∵CD⊥AB于D,AC2?DA?AB,

∴CD2?AC2?AD2=DA?AB?AD2=AD?BD BC2?BD2?CD2=BD2?DA?DB?BD?AB, ∴AC2?BC2?AD?AB?BD?AB=AB2,

∴∠ACB=90°.

(3)∵CD⊥AB于D,BC2?DB?AB,

5 AD

B例6图

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 6 页 共 9 页

∴CD2?BC2?BD2=DB?AB?BD2=AD?BD

AC2?AD2?CD2=AD2?DA?DB?AD?AB,

∴AC?BC?AD?AB?BD?AB=AB2,

∴∠ACB=90°. 【例7】【解答】(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC?b,BC?a,AB?c,CD?h, ∴a?b?c,

2

22

222

11

ab?ch, 22

2

2

c111b?a===, ?

c2h2h2a2b2a2b2

A

111∴2?2?2 abh

(2)结论:以c?h、a?b、h的长度为边的三角形是直角三角形.

∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC?b,BC?a,AB?c,CD?h,

D例7图

B

∴(a?b)?h=a?b?2ab?h=c?2ch?h,

2222222

(c?h)2=c2?2ch?h2,

显然c?h?a?b?h,且(c?h)?(a?b)?h

所以以a?b、c?h、h的长度为边的三角形是直角三角形. 【例8】【解答】

(1)设正方形CDEF的边长为x C则S?ABC?S?ADE?SDEBC 则

A

例8图1

2

2

2

111

ab?(b?x)x?(x?a)?x 222

2

2

B

则ab?bx?x?x?ax 所以x?

ab

a?b

4824

?

147aba2?b2

,设c?

当b?8,a?6时,x?(2)斜边AB上的高为

a2?b2

CA

B设正方形DEFG的边长为y, 则S?ABC?S?CDG?SDGBA

11ab1

?y)?(y?a2?b2)?y

则ab?y?(

222a2?b2

例8图2

6

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 7 页 共 9 页

则ab?aby?y2?y2?cy c

abcabc2

则?y?y ccc

abcaba2?b2

?则y? ab?c2ab?a2?b2

当b?8,a?6时,y?48?10480120 ??48?10014837

【自主选择】

1.48;2.126;3.15; 8

224.解答:∵∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a?m?1,b?2m,c?m?1,

∴a?b=(m?1)?(2m)=m?2m?1?4m=m?2m?1=(m?1)?c, ∴∠ACB=90°,

∴△ABC是直角三角形; 2222242242222

【挑战自我】

5.6和8;6.2.5

7. 解答:

∵AD⊥BC,M为BC的中点,

∴AB?AD?BD, 222

AC2?AD2?CD2,

BM=CM,

∴AB?AC?BD?CD=(BD?CD)(BD?CD)

=BC?[(BM?DM)?(CM?DM)] 2222

=BC?2DM

=2BC?DM

2 2∴AB?AC?2DM?BC

8. 证明:设AB=n,则BC=n?1,AC=n?2,

(1)∵AD⊥BC于D,

∴AB?BD?AD,则BD?AB?AD; 222222

AC2?AD2?CD2,则CD2?AC2?AD2;

∴AC?AB=(CD?AD)?(BD?AD) 222222

7

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 8 页 共 9 页

=CD2?AD2?BD2?AD2

=CD?BD

∴AC?AB?CD?BD

(2)由(1)得到:AC?AB?CD?BD

则CD?BD=(n?2)?n=4n?4,

而CD?BD?(CD?BD)(CD?BD)?BC?(CD?BD)

则(n?1)(CD?BD)?4(n?1)

则CD?BD?4; 2222222222222222

第一讲 勾股定理(一) 成就测试(答案)

一、选择题

1.B;2.D;

解答:

∵∠ACB=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,其中a、b、c都是正整数,若a?12, ∴12?b?c,

∴c?b?144,

∴(c?b)(c?b)?144?1?72?2?48?3?36?4?24?6?18?8?16?9?12?12,

∵c?b与c?b同时为奇数或同时为偶数,且c?b,

∴c?b?72或c?b?36或c?b?24或c?b?18,

∴c?b?a?72?12?84或c?b?a?36?12?48或c?b?a?24?12?36

或c?b?a?18?12?30;

∴△ABC的周长不可能是60; ...

选D;

2.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,其中a、b、c都是正整数,

3.A;

二、填空题

4.9;5.24;6.=

三、解答题

7.证明:过点A作AE⊥BC于E,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴BE=CE,

222AD?DE?AE,

∠B=∠C=45°,∠BAE=∠CAE=45°,

∴∠B=∠C=∠BAE=∠CAE=45°,

∴BE=AE=CE,

8 22222BC

《2013年9月第一讲:勾股定理(1)教师》第 9 页 共 9 页

∴BD2?CD2

=(BE?DE)?(CE?DE)

=(BE?DE)?(BE?DE)

=2BE2?2DE2

=2(BE?DE)

=2AD2

222222

9

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