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反比例函数的性质

发布时间:2013-10-05 10:50:36  

反比例函数的性质

正 比 例 函 数 和 反 比 例 函 数 的 比 较

函数
解析式 图象形状

正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 经过原点的一条直线
位 置

反比例函数
y = k ( k是常数,k≠0 ) x

双曲线

K>0

一、三 象限

y

0

x

增 从左到右上升 减 性 y随x的增大而增大 位 置 K<0 增 减 性

二、四 象限

y 0 x

从左到右下降 y随x的增大而减小

2 4 6 观察反比例函数 y ? , y ? , y ? 的图象,回答下列 x x x 问题:

(1)函数图象分别位于哪几个象限内?第一、三象限内

(2)当x取什么值时,图象在第一象限?当x取什么值时, 图象在第三象限?
x>0时,图象在第一象限;x<0 时,图象在第三象限。

(3)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
在每一个象限内,y随x的增大而减小

2 4 6 如果k=-2, -4,-6,那么 y ? ? , y ? ? , y ? ? x x x
的图象有又什么共同特征?

(1)函数图象分别位于哪几个象限内?
x>0时,图象在第四象限;x<0 时,图象在第二象限

(2)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
在每一个象限内,y随x的增大而增大

归纳总结:反比例函数的图象是双曲线学.科.


反比例函数的图象的位置与k有怎样关系?
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内, 在每一象限内,y的值随x值的增大而减小; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内, 在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
y y

o

x

o

x

观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:
y y y o o x o x

x

(1)它们会与坐标轴相交吗? 它们都不与坐标轴相交。 (2)反比例函数的图象是轴对称图形吗? 是轴对称图形,它们有两条对称轴, 也关于原点对称

与同伴进行交流总结反比例函数 的图象性质特征学.科.网
形 位 状 置 图象是与坐标轴没有交点的双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内 增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大

变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
对称性 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

认真填一填: 20 一、三 ?函数y ? 的图象在第________象限, x 在每个象限内 随x 的增大而_________. 减小 ,y

30 二、四 ? 函数y ? ? 的图象在第________象限, x
?函数 y

在每个象限内 随x 的增大而_________. 增大 ,y

?

?

减小 y随x 的增大而_________.

x

一 ,当x>0时,图象在第____象限,

应用1:
反比例函数y= - 4 的图象是 双曲 线,分布 x

在第

二、四

象限,在每个象限内, y都随x的
y p2 (x2 , y2) p1 (x1 , y1) o x

增大而 增大 ;若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第

二象限且x1<

x2 , 则y1

y2

应 用 2:
2 1.反比例函数 y ? ? 的图象位于( D ) x A、第一、二象限 B、第一、三象限

C、第二、三象限
的值为( C ) A、 3

D 、第二、四象限

6 2.若反比例函数 y ? ? x 经过点A(m,-2m),则m

B、3

? C、 3

D、±3

3.函数 此函数的图象在平面直角坐标系中的( A、第一、三象限
C、第一、二象限

k y ? (k ? 0 ) 的图象经过(2,-2),则 x

D

)

B、第三、四象限
D、第二、四象限

应用3:

如图是反比例函数 的图象一支, 根据图象回答下列问题 : (1)图象的另一支在哪个象限?常数m的 取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取 y 点A(a,b)和b(a′,b′), 如果a>a′,那 么b和b′ 有怎样的大小关系?
o x

m?5 y? x

课堂作业
1.下列函数中,其图象位于第一、三象 限的有____________; (1)(2)(3)

在其所在的象限内,y随x的增大而增大 (4) 的有___________.

1 0.3 10 ?7 (1) y ? ;(2) y ? ;(3) y ? ;(4) y ? 2x x x 100 x

3 2、函数y y ? 图像大概是( A ) x

A
3、

B
x

5 ? 3m y随x的增大而减小则m的 y? ( x ? 0) x 取值范围( C ) 5 5 5 D、m ? ? 5 A、m ? ? B、m ? C、m ? 3 3 3 3

k 4.已知反比例函数 y ? (k≠0) x

当x<0时,y随x的增大而减小,

k>0

.

则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限.
k>0 ,-k<0
y

o

x

2.若正比例函数y ? k1 x(k1 ? 0)与反比例函数 y?
k2 x

(k2 ? 0)的函数值都随x的增大而增大,

那么它们在同一直角坐标系内的大致图
D 象是 ____ .
y O

y
O

y O

y x

x B

x

x

o

A

C

D

3. 函数y=kx-k 与 y ? k ? k ? 0 ? 在同一
x

直角坐标系中的 图象可能是
y o (A) y y

D
y

:

x
(B)

o

x
(C)

o

x
(D)

o

x

1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 4 都在反比例函数 y ? 的图 x 象上,则y1与y2的大小关系(从大到 小)为
y1> y2

.

2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 都在反比例函数 小)为
y2> y1
4 y? k y ? x (k<0) x

的图

象上,则y1与y2的大小关系(从大到
.

3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1<0<x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x 则y1与y2的大小关系(从大到小)
y

k4 都在反比例函数 y y ? x(k<0) 的图象上, ? x

为 y1 >y2

.
A

o

y1

x2
x
B

x1

y2

4.已知点A(-2,y11),B(-1,y2),C(4,y3) A(-2,y ),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y3 >y1>y2
4 y? x

的图象上,

则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
.
-2

y
-1 y3

A

B

o y1 y2

C 4

x

5.老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:

甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;

丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的 一个函数: .

1 1、已知反比例函数 y ? ,若 x

X1 <o<x2 <x3 ,其对应值y1,y2 ,y3的 大小关系是 ( y1<y3<y2 )
y2
y3

利用图

像法或特殊值 y法。增减性,一定要 考虑在每一象限内。
1

4?k 1、已知反比例函数 y ? x
(1)若函数的图象位于第一、三象限, 则k______; <4 (2)若在每一象限内,y随x增大而增大, 则k______. >4

2. 反比例函数 象位于( C ) A.第一、二象限 C.第二、四象限

k2 ? 1 y?? (K为常数)图 x

B.第一、三象限 D.第三、四象限

a2 ? 1 3、在反比例函数 y ? ? 的图象上有三 x

点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3), 若x1>x2>0>x3,则下列各式中正确的是 ( A ) B、y3>y2>y1 D、y1>y3>y2

A、y3>y1>y2 C、y1>y2>y3

4.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y?? 关系式是 x .
p
y

N
o x

M

2 5.如图,点P是反比例函数 y ? 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 . S△POD

1 = OD· PD 2

y P (m,n) o D x

1 = m 2 1 = k 2

?n

3 6.如图,点A是反比例函数 y ? 图象上 x 的一点,AB⊥x轴于B.则△AOB的面积 为 .
y A o B x

6 k?2 已知函数 ? 与y ? y 的图像关于 x x x轴对称,也关于轴对称,则 ? y k 。

7.

8.如图A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)

是函数 y ? 1 的图象在第一象限分支上的三个点, x 且x1 < x2 < x3 ,过A、B、C三点分别作坐标

轴的垂线,得矩形ADOH、BEON、CFOP,它们的面
积分别为S1、S2、S3,则下列结论中正确的是



) D A. S1<S2<S3 B. S3 <S2< S1 C. S2< S3< S1 D. S1=S2=S3

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