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课件三 24.1圆

发布时间:2013-10-05 12:35:34  

一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?

圆是中心对称图形,

它的对称中心是圆心.

·

圆有旋转不变性

二、概念
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A ∠AOB为圆心角
O· B

三、

探究

如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发 现哪些等量关系?为什么? A′ A′ B B B′ B′

O

·

A

O

·

A

根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然 ∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等, OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合. ⌒ 因此, 与 A′B′ 重合,AB与A′B′重合. AB ⌒ AB = A′B′





AB ? A ' B '.

A′

四、定理
这样,我们就得到下面的定理:

B

B′

·
O

A

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

∵∠AOB=∠A`OB` ∴ AB = ⌒ ′, A′ B
⌒ 同样,还可以得到:

AB ? A ' B '.

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 同圆或等圆中, 两个圆心角、两 相等 相等 圆心角_____, 所对的弦________; 条弧、两条弦中 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的 有一组量相等, 它们所对应的其 相等 相等 圆心角______,所对的弧_________. 余各组量也相 等.

A′

圆心角定理及推广定理:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、 两条弦中如果有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相等。

B

B′

·
O

A

即:同圆或等圆中
∠AOB=∠A′OB′ ⌒ ⌒ AB=A′B′

AB ? A ' B '.

知 1 得 2

六、练习
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦. ⌒ ⌒ ?AOB ? ?COD AB=CD (1)如果AB=CD,那么___________,_________________. ⌒ ⌒ ?AOB ? ?COD AB=CD (2)如果 AB=CD ,那么____________,______________. ⌒ ⌒ AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,____________. AB=CD

A

E

B

O

·
F

D

C

五、例题
⌒ ⌒ 例1 如图在⊙O中, AB=AC

,∠ACB=60°,求证
A

∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒ 证明:∵ AB=AC
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形.

O
又∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形,AB=BC=CA.

·
C

B

∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

六、练习
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦. (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么? 解:
相 等

因为AB=CD ,所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO,BO=DO, 所以△AOB≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高, 所以 OE = OF. A E B

O

·
F

D

C

2.如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE , ∠COD=35°, 求∠AOE的度数.
解: E D C















BC=CD=DE

A

O

·

? ?BOC=?COD=?DOE=35?
B

? ?AOE ? 180? ? 3 ? 35? ? 75?

3、如图,已知AD=BC、求证AB=CD
A C

.
D
O

B

变式

:如图,如果弧AD=弧BC,求证:AB=CD

4、如图,已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径,又两条弦AE、CF垂直相交与点G,
试证明:AE=CF
C P A ┌ G E

.
O

B F

D


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