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【教案三】24.1圆

发布时间:2013-10-05 12:35:35  

24.1.3 弧、弦、圆心角

教学过程设计

一、 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容

活动1

1.按下面的步骤做一做:

(1)在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O和⊙O′,沿圆周分别将两圆剪下;

(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,如图1所示,圆心固定. 注意:在画∠AOB与∠A′O′B′时,要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致,否则当OA与OA′重合时,OB与O′B′不能重合.

图1

(3)将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA与O′A′重合.

通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由. (课件:探究三量关系)

师生活动设计:

教师叙述步骤,同学们一起动手操作. 由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′;由两圆的半径相等,可以得到∠OAB=∠OBA=∠O′A′B′=∠O′B′A′;由△AOB≌△A′O′B′,可得到AB=A′B′;由旋转法可知?AB??A'B'.

在学生分析完毕后,教师指出在上述做一做的过程中发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度,使半径OA与O′A′重合时,由于∠AOB=∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合.因为点A和点A′重合,点B和点B′重合,所以?AB和?A'B'重合,弦AB与弦A′B′重合,即?AB??A'B',AB=A′B′.

进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理:

在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

2.根据对上述定理的理解,你能证明下列命题是正确的吗?

(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;

(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优(劣)弧相等.

师生活动设计:

本问题由学生在思考的基础上讨论解决,可以证明上述命题是真命题.

二、主体活动,巩固新知,进一步理解三量关系定理.

活动2:

?,∠ACB=60°,AB?AC1.如图2,在⊙O中,?

求证∠AOB=∠AOC=∠BOC.

学生活动设计:

学生独立思考,根据对三量定理的理解加以分析.由?AB??AC,得到AB?AC,△ABC是等腰三角形,由

∠ACB=60°,得到△ABC是等边三角形,AB=AC=BC,

所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC.

教师活动设计:

这个问题是对三量关系定理的简单应用,因此应当让学生独立解决,在必要时教师可以进行适当的启发和提醒,最后学生交流自己的做法. 图2

AB??AC〔证明〕∵ ?

∴ AB=AC,△ABC是等腰三角形.

又 ∠ACB=60°,

∴ △ABC是等边三角形,AB=BC=CA.

∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC.

2.如图3,AB是⊙O的直径,BC、CD、DA是⊙O的弦,且

BC=CD=DA,求∠BOD的度数.

学生活动设计:

学生分析,由BC=CD=DA可以得到这三条弦所对的圆心角图3

相等,所以考虑连接OC,得到∠AOD=∠DOC=∠BOC,而AB是直径,于是得到∠BOD=2×180°=120°. 3

教师活动设计:

此问题的解决方式和活动3类似,不过要注意学生对辅助线OC的理解,添加辅助线OC的原因.

三、拓展创新、应用提高,培养学生的应用意识和创新能力

活动3:定理“在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?

师生活动设计:

小组讨论,可以在教师的引导下,举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉,比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.

如图4所示,虽然∠AOB=∠A′O′B′,但AB≠A′B′,弧AB≠弧A′B′.

教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题:(1)在同圆或

等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的

弦相等;(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对

的圆心角相等,所对的优(劣)弧相等中的条件“在同圆和等圆

中”是否能够去掉.

四、归纳小结、布置作业

活动4:

小结:弦、圆心角、弧三量关系.

作业:习题24.1 第2、3题,第10题.

4

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