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【教案二】24.1圆

发布时间:2013-10-05 12:35:36  

24.1.2 垂直于弦的直径

由此你能得到什么结论?(课件:探究圆的性质)

学生活动设计:

学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,由此可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

教学过程设计 一、 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容 活动1:用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?

教师活动设计:

在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.

二、问题引申,探究垂直于弦的直径的性质,培养学生的探究精神

活动2:按下面的步骤做一做:

第一步,在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合;

第二步,得到一条折痕CD;

第三步,在⊙O上任取一点A,过点

A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其

中点M是两条折痕的交点,即垂足;

第四步,将纸打开,新的折痕与圆

交于另一点B,如图1. 图1 图

2

在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?

(课件:探究垂径定理)

学生活动设计:如图2所示,连接OA、OB,得到等腰△OAB,即OA=OB.因CD⊥AB,故△OAM与△OBM都是直角三角形,又OM为公共边,所以两个直角三角形全等,则AM=BM.又⊙O关于直径CD对称,所以A点和B点关于CD对称,当圆沿着直径CD

?重合.?,?.AC与BCAC=BC对折时,点A与点B重合,?因此AM=BM,?同理得到? AD?BD

教师活动设计:

在学生操作、分析、归纳的基础上,引导学生归纳垂直于弦的直径的性质:

(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

AB所在圆的圆心是点O,过O作活动3:如图3,?

OC⊥AB于点D,若CD=4 m,弦AB=16 m,求此圆的半

径.

学生活动设计:

学生观察图形,利用垂直于弦的直径的性质分析图

形条件,发现若OC⊥AB,则有AD=BD,且△ADO是直

角三角形,在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程. 图3

教师活动设计:

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳:弦长、半径、拱形高、弦心距(圆心到弦的距离)四个量中,只需要知道两个量,其余两个量就可以求出来.

〔解答〕设圆的半径为R,由条件得到OD=R-4,AD=8,

在Rt△ADO中 AO?OD?AD,

即 R?(R?4)?8.

解得 R=10(m).

答:此圆的半径是10 m.

活动4:如图4,已知?AB,请你利用尺规

作图的方法作出?AB的中点,说出你的作法.

师生活动设计:

根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点,但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线,垂直平分线与弧的交点就是弧的中点.

三、拓展创新,培养学生思维的灵活性以及创新意识.

活动5 解决下列问题

1.如图5,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2米,桥的最高处点C离水面的高度2.4米.现在有一艘宽3米,船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,问:这艘船是否能够通过这座拱桥?说明理

由.

学生活动:学生根据实际问题,首先分析题意,然后采

取一定的策略来说明能否通过这座拱桥,这时要采取一定的

比较量,才能说明能否通过,比如,计算一下在上述条件下,

在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较,若大于2米说

明不能经过,否则就可以经过这座拱桥.

〔解答〕如图6,连接AO、GO、CO,由于弧的最

高点C是弧AB的中点,则 OC⊥AB,OC⊥GF,

根据勾股定理计算得:OE=1.5米,OM=3.6米.

所以ME=2.1米,因此可以通过这座拱桥. AB222222图

4 A图5 B

AO图6

B

2.银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图7所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?

师生活动设计:让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图,进而发展学生的思维.

〔解答〕 如图8所示,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,则AE=1

2AB = 30 cm.

令⊙O的半径为R,则OA=R,OE=OF-EF=R-10.

在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.

解得R =50 cm.则修理人员应准备内径为100 cm的管道.

四、归纳小结、布置作业

小结:垂直于弦的直径的性质,圆对称性.

作业:习题24.1 第1题,第8题,第9题.

图7 图

8

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