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分式的基本性质

发布时间:2013-10-05 12:35:37  

问题1、什么是分式?

果除式B中含有字母,那么称

A 整式A除以整式B,可以表示成 B 的形式。如 A
为分式,

其中A称为分式的分子,B为分式的分母。 问题2、在分式的概念中我们尤其要注意什么? 对于任意一个分式,分母都不能为零。 问题3、当x取什么值时,下列分式有意义:

B

3? x x ? 3 ;(3) x 2 ? 4 。 (1) x ? 4 ;(2) x 2 ? 1 ( x ? 2)( x ? 3)

小测
1、(1)在下面四个有理式中,分式为( )
2x ? 5 1 x?8 1 x A、 B、 C、 D、- + ?7 8 4 5 3x ⑵ 当x=-1时,下列分式没有意义的是( ) x ?1 x 2x x ?1 A、 B、 C、 D、 x x ?1 x ?1 x

x?2 2、⑴ 当x 时,分式 有意义。 2x ?1 x?2 时,分式 的值为零。 ⑵ 当x 2x ?1 3、已知,当x=5时,分式 2 x ? k 的值等于零, 3x ? 2 则k 。

探究新知
分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以(或除以)同 一个不为0的数,分数的值不变。

分式的基本性质:
(1)分式的分子与分母都乘以(或除以)同 一个不为0的整式,分式的值不变。 A×M A ——— A = ———,— = A÷M (2)字母表示:— B B×M B B÷M (M≠0)

分式性质应用1
下列等式的右边是怎样从左边得到的?

b bm (1) ? (m ? 0) 2a 2am
解:? m ? 0

bm b b?m ? ? ? 2a 2a ? m 2am

an a (2) ? bn b
解: ? n

?0

a an a ? n ? ? ? bn b ? n b
思考:为什么n≠0?

分式性质应用2
填空:

a?b (    2a ? b ( )    ) (1) ? , ? 2 2 2 ab a b a a b

x ? xy x ? y x (    ) (2) 2 ? , 2 ? x (    x ? 2 x x ? 2 )
2

观察

×

a
×

a ? b (a 2 ?   ab) (1) ? 2 ab a b

分母: ab

a

2b a

a ? b (a 2 ?   2a ? b (2ab ? b 2)    ab ) , (1) ? ? 2 2 2 ab a b a a b

÷x
2

×

b

x ? xy x ? y x (    1) (2) 2 ? , 2 ? x (     x ? 2 x x ? 2 x) ÷x

分式性质应用3

不改变分式的值,使下列分子与分 母都不含“-”号 ?2x ?3a 10m 2x 3a 10m , , ? , ,? 5y ?7b ?3n 5y 7b 3n
有什么发现? 变号的规则是怎样 的?

?a a ? ? b b

a ?a a ?a ?? ? b ?b b b a a a a ?? ? ? b ?b ?b b

分式的分子、分母和分式本身的 符号,同时改变其中任意两个,分式 的值不变。

练习:不改变分式的值,使下列分式的
4y ? 2b , (1) , ( 2) ? 5x ? 3a
2

分子与分母都不含“-”号

? 2b 解: 1) ( ? 3a 2b ? 3a

?n 4y ( 3) ? ( 2) 2m ? 5x 2 n 4y ?? ? 5x 2m

?n ( 3) ? 2m
2

分式性质应用4
不改变分式的值,把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。 0.01x ? 0.5 (1) 0.3x ? 0.04

解:原式

(0.01x ? 0.5) ? 100 ? (0.3 x ? 0.04) ? 100

x ? 50 ? 30 x ? 4

3 2a ? b 2 (2) 2 a?b 3 3

( 2a ? b) ? 6 12a ? 9b 2 ? 解:原式 ? 2 4a ?

6b ( a ? b) ? 6 3

分式性质应用5

化简下列分式: 2 2 5xy x y (2) 2 (1) 20x y xy xy ? xy ? xy (1)解:原式= xy 5 xy ? 1 1 (2)解:原式 ? ? 5 xy ? 4 x 4x

5xy 在化简 2 时,有些同学出现了分歧. 20x y

5xy 5x ? A生: 2 2 20x y 20x 5xy 5xy 1 ? ? B生: 2 20x y 4x ? 5xy 4x
你认为谁的化简对?为什么?



最简分式

分子和分母没有公因式的分式 称为最简分式. 注意: 化简分式和分式的计算时,通常 要使结果成为最简分式.

练习:
化简下列分式 2 a(a ? b) m ?1 (2) (2) 2 b(a ? b) m ? 2m ? 1 a (m ? 1)(m ? 1) ? = b (m ? 1)2
m ?1 ? m?1

分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值,这种变形叫做分 式的约分。 1.约分的依据是: 分式的基本性质 2.约分的基本方法是:
(1)当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再 找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式。 (2)当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解,再按(1)中方法。

整式或最简分式 3.约分的结果是:

例题 约分: 2 3 2 ? 25a bc x ?9 (1) ( 2) 2 2 15ab c x ? 6x ? 9
的公因式。

分析:为约分要先找出分子和分母

2 ? 25a 2 bc3 5abc ? 5ac2 5ac (1 ?? ?? 解: ) 2 15ab c 5abc ? 3b 3b

x2 ? 9 ( x ? 3)( x ? 3) ( 2) 2 ? 2 x ? 6x ? 9 ( x ? 3)

x?3 ? x?3

本节课你有什么收获?

1﹑分式的基本性质 2﹑分式基本性质的应用--约分 3﹑化简分式时,通常要使结 果成为最简分式或者整式


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