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知识精讲

发布时间:2013-10-05 18:15:58  

【知识精讲】

(一)本节课知识点

1.圆的有关概念

(1)定义:如图1,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

A

图1图2

(2)弦和直径:连接圆上任意两点的线段(如图2中的线段AB,AC)叫做弦,经过圆心的弦(如图2中的AB)叫做直径.

AB,(3)弧和半圆:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B为端点的弧记作?

读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

(4)等圆与等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出,半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

(5)圆心角和圆周角:我们把顶点在圆心的角,叫做圆心角(如图3中的∠AOB).像图4中的∠ECF这样的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

AC

2.圆的主要性质 图3图4

(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,圆具有旋转不变性.

(2)垂径定理及其推论:

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的结构:

题设有两个:①过圆心(CD是直径);

②垂直于弦(CD?AB);

结论有三个:③平分弦(AE=BE);

?)④平分弦所对的优弧(?; AC?BC

?)⑤平分弦所对的劣弧(?. AD?BD

在具体运用时,常这样表述:因为CD是⊙O的直径,且CD⊥AB,

?,??. AC?BC所以AE=BE,?AD?BD

总之,理解圆的轴对称性是理解垂径定理的关键.

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 垂径定理及推论可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:

①过圆心O;

②垂直于弦;

③平分弦(不是直径);

④平分弦所对的优弧;

⑤平分弦所对的劣弧.

(3)弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等.

(4)圆周角定理及其推论

圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论1 半径(或直径)所对的圆周角是直角,90o的圆周角所对的弦是直径. 推论2 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

(5)圆内接四边形的对角互补.

(二)本节课的重、难点

1.重点:垂径定理、圆周角定理及其应用.

2.难点:圆的有关性质的灵活运用.

(三)本节课的易错点

1.忽视垂径定理的两个条件,三个结论,乱用垂径定理,造成错误.

2.圆周角概念不清楚及定理没有掌握好,圆周角找不准,定理不会用或用错.

3.忽视弧、弦、圆心角之间的关系转化时“在同圆或等圆中”这一前提条件,导致判断错误.

【典例剖析】

例1(1)如图1,OC为⊙O的半径,M是OC的中点,弦AB⊥OC于M,如果OC= 4 , 则AB的长是_______.

图1图2

(2)如图2,M是⊙O中弦CD的中点,EM经过点O,若CD=4,EM=6,求⊙O的半径长.

例2 (1)如图3,已知点C、D在以AB为直径的⊙O上,若∠ADC=26o,则∠BAC=______度.

图3图4

(2) 如图4,在⊙O中,弦AB=5cm,圆周角∠ACB=30o.求⊙O的直径.

【王牌例题】

例1 如图1,A、B、C、D为⊙O的四等分点,动点P从圆心O出发,沿O?C?D?O路线作匀速运动,设运动时间为t(秒),

图1

C ∠APB=y(度),则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是

( )

A.

B

C.

D

例2 如图2,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)

(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2,则a的值是( )

A.22 B.2?2

C.23 D.2? x

例3 已知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中,如

果底边BC的长为8,求△ABC的面积.

例4 如图3,AB是半圆O的直径,过点O作弦AD

的垂线交半圆O于点E,交AC于点C垂足为F.若

∠CAB=90o,

(1)求证:∠BED=∠C;

(2)若AC=8,AC∶OC=4∶5,求AD的长.

【课堂回顾】

1.圆的有关概念:

圆、弦与直径、弧与半圆、圆心角与圆周角.

2.主要性质: 图3

垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、弧、弦、圆心角之间的关系.

3.主要题型:

垂径定理、圆周角定理.

4.主要的辅助线

(1)作半径,利用同圆半径相等;

(2)过圆心作弦的垂线(弦心距)(如图①),利用垂径定理进行计算或推理;

(3)连半径(如图②)与弦心距构造直角三角形进行计算;

(4)连接圆上有关的点,构成直径上的圆周角(直角)(如图③);

(5)连接圆上有关的点,构造同弧或等弧所对的圆周角(如图④);

(6)连接圆上有关的点,构成圆内接四边形(如图⑤).

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