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有理数巧算教师版

发布时间:2013-10-06 10:02:12  

2013-10-7七年级上 第五讲 有理数的巧算

一、知识梳理:

1、有理数的相关概念和性质法则

有理数的运算法则

① 加法法则:同号相加一边倒,异号相加大减小,符号跟着大的跑。

② 减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

③ 乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 ④ 除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。

⑤ 有理数的乘方运算:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

2、运算顺序及注意事项:

① 有理数的加、减、乘、除四则混合运算,一定要先把减法改成加法,除法改成乘法。这样可以防止出错。

② 对含有三级运算的情况,按先乘方、开方,再乘除,最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行,有时也可灵活去括号。 ③ 应注意灵活运用运算律,使计算简便化,对互为相反数其和为零的要优先解决。

3、常用运算技巧

⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法(裂项相消) ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法

二、【典型例题】

(一). 符号与括号

有理数运算是代数入门的重点,又是难点,怎样突破这一难点,除了要正确理解概念和掌握运算法则外,还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号,因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,从而使复杂问题变得较简单,在此应特别注意去添括号时符号的变化。

例1. 计算

1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12???1997?1998?1999?2000?2001 解法1 :原式

?(1?2?3?4)?(5?6?7?8)?(9?10?22?12)????(1997?1998?1999?2000)?2002?(?4)×500?2001

??2000?2000

解法2: 原式

(二). 巧用运算律

例2. 计算

思路分析 本题既有分数又有小数,把小数化成分数较易,本题还可运用运算律使运算更简便.

解;原式=

例3计算:

分析:先将小数化成分数,并将原式写成省略括号的和的形式,根据运算律,进行简化计算,在加减混合运算时,一般把互为相反数的两数相加;同分母的分数相加;两分数和为整数的相加;同号相加.

解:原式=

=()+(8-1)+(-2)

=0+7-2=5

注意:如加数中有分数、小数时,要视情况把小数化为分数或把分数化成小数,依题而定,能用运算律的要用运算律,使计算简便.

(三). 巧用添项法凑整 例4 计算

分析:观察算式的特征,发现将算式添上9,8,7,6,5的和,利用加法结合律可以使运算简便快捷.

解:原式

(四). 巧用拆项法

例5. 计算:

分析:利用 一般地,当n>m时,

解:原式=

说明:形如的分数,可以拆成的形式.

例6. (第六届“祖冲之杯”数学竞赛题)

计算 1?1111?????1?21?2?31?2?3?41?2?3??100=________

,而,那么本题就不难解分析:直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项,从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法,不难求得最后两项为,同理,

决了。

解:原式=1?22222?????? 61220990010100

111111111=2(1???????

????) 2233499100100101

1111(?)的形式。 说明:形如n(n?a)的分数,可以拆成ann?a

例7.

1111(?)来进行“拆项”。 =解:应用关系式n(n?a)ann?a

原式

(五). 巧用反序相加减的方法

例8. 计算

_____分析:把括号中的各项倒序排列后,再与原式相加,把分数相加变为整数相加,运算变得简单易行.

解:

设 又

两式相加得又上面两式相加得

故S=612.5

(六). 巧用整体换元法

例9. 计算

分析:本题目从结构上看相当繁琐,因此要选择恰当的方法进行计算.不妨巧用整体换元法,那么本题就不难解决了,计算就简便了.

解:令

则原式

(七)、巧用错位相减

例10. ;

分析:用下面的“错位相减法”求和。

令将这两式错位相减得 ,则

再将这两式错位后式减去前式得

(八). 巧用倒数法

例11、计算

分析:因为而与 互为倒数,比较容易计算,故此题只需先计算出后部分的结果即可。

解:因为

∴ 原式

(九)、等比数列

例12. 计算:

(十)、巧用整体

例13. 购买5种物品, ,,,的件数和用钱总数列成下表:

那么,购买每种物品各一件共需多少元?

解:由已知表格:购买1件

以购买2件

5件,7件,6件,9件,8件,3件,10件,4件,12件,5件,6件共需1995元;所,共需2×1995元;又因为购买1件,11件共需2984元;所以购买每种物品各一件共需 2×1995-2984=1006(元)

说明:设购买物品

i=1,2,3,4,5 ,①

由 2×①-② 得

需要指出的是:我们无法计算每个,但我们能巧算出这个整体,整体思维常常会帮助我们算对,算快和算得巧妙。

(十一)、巧相约

例14、 计算:

解:原式

例15 、计算(

分析原式=(?

11111?1)?(?1)???(?1)?(?1)?(?1)? 20042003100210011000200320022001999999999)(?)(?).......(?)=(?1)1005?=? 200420032002100020042004

三、培优训练

251233?(1)?()3?43?(?)3 372544

33332537334?()?()3?43?(?)3=0+?43?()3 解:原式= ?()?0.75?0.25??()?4437254431、 (?)?0.75?0.5?(?)?3233434

= - 4096/27

122、 (?0.125)?(?1)?(?8)?(?) 2

37133

59

(2) 因为 负数的偶次方 是正

原式可变形为 (1/8)^12 * (-5/3)^7 *( -8)^13 *(-3/5)^9

先定 符号 7+13+9=29 所以为 负

分子分母约分 可得 -(8) ?(3^2)/ (5^2)=?72 25

3、 计算:?112411?2?4?5?1?3.8 63536

(分析:本题六个数中有两个是同分母的分数,有两个互为相反数,有两个相加和为整数,可用“凑整”法。) 解:原式

4. 计算:

解:原式?(20?9)?200?8?

?(200000000?2)

5、 计算:

解:设(1) 234860则2a?2?2?2......?2(2) 则即

(含整体思想)

6、

计算:

解:令

则原式

得:

7、计算:

等差数列解:设 ,把等式右边倒序排列,得

将两式相加,得

即∴ 原式=4005 ,

8、计算

分析:不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1,如果按照将第一与第二项,第三与第四项,??,分别配对的方式计算,就能得到一系列的-1。 解:

下面需对n的奇偶性进行讨论:

当n为偶数时,上式是

当n为奇数时,上式是个(-1)的和, ; 个(-1)的和,再加上最后一项

说明:两种情况可以合并为:

9、 已知0为数轴的原点,A、B两点对应的数分别为1、2,设P1为AB的中点,P2为AP1的中点,?,P100为P99的中点,求P1,P2,P3,?,P100所对应的各数之和。 ,所以有

1a(1?i?100),则a?1?,i?1,2,?100 i 解:设对应的数为i2i

?a?a???a??1?2100所以,1?

1??1?1?1??101????1?2?????1???2??2?200100?2100

10、111111 ???????261220309900

反思说明:一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。

① 1111111 ② ???(?) n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k

11111111?[?] ④ ?(?) n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)(n?1)2n?1n?1

1111111199?????......???1?? 2233499100100100③ 解原式=1?

11、

1111122222333335859(??????)?(??????)?(??????)???(?)2345960345596045659605960 (分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计算。) 解:原式

?11212312359?(?)?(??)???(?????)23344460606060

123459??????22222

1?(1?2?3???59) 2

1(1?59)×59?×22?

12、计算:

原式= 111????? 11?13?1513?15?1729?31?33111????11?13?1513?15?1729?31?33

1111111?(??????)411?1313?1513?1515?1729?3131?33

111?(?)411?1331?33

18020???433?31?1333?31?13

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