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等腰三角形的性质与判定

发布时间:2013-10-06 10:48:41  

等腰三角形的性质与判定

【知识梳理】

1.等腰三角形的概念:

有 相等的三角形,叫做等腰三角形, 叫做腰,另一条边叫做 .两腰所夹的角叫做 ,底边与腰所夹的角叫做 .

2.等腰三角形性质定理:

(1)等腰三角形的两个

(2) 三线合一:即

(3)等腰三角形是 图形.

3.等腰三角形的判定:

(1)有相等的三角形是等腰三角形.

(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 也相等.简写成 .

【例题讲解】

例1等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.

变式练习:

1 BCAD

例2如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ACD.求证:△DBC是等腰三角形.

A

D

B C

1、(2013?十堰)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

例3 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E.求证:∠C=∠D.

A

BE

DC

2

例4、(2013?绍兴)如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是 .

变式练习:(2013?黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.

3

例5 有关等腰三角形的基本图形.

(1)如图3,若OD平分∠AOB,DE∥OB交OA于E.求证:EO=ED.提问:这个结论的逆命题是否正确?

(2)如图 3,若 OD平分∠AOB, EO=ED,求证: DE∥OB.

(3)如图 3,若 DE∥OB交OA于E, EO=ED,求证: OD平分∠AOB.

总结:图3是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形.以上三个小题说明:在图3中,“角平分线.平行线.等腰三角形”这三者中,若有两条成立,则第三条必成立.熟悉这个结论,对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的.

4

有关的题组练习.

(1)如图4,AD∥BC, BD平分∠ABC.求证: AB=AD.

(2)已知:如图5(a),AB=AC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.问:①图中有几个等腰三角形?②如图5(b),若过D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,图中又增加了几个等腰三角形?

(3)如图5(c),若将第(2)题中的△ABC改为不等边三角形,其它条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系?

5

(4)对第(3)题中“两内角平分线”可作怎样的推广?相应的线段和差关系如何? 推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时,如图5(d).

推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时,如图5(e).

(5)如图6,若BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,过D作DE∥AB交BC于E,作DF∥AC交BC于F.求证:BC的长等于△DEF的周长.

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中考题赏析:

2、(2013凉山州)已知实数x,y满足

腰三角形的周长是 .

3、(2013?白银)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为

4、(2013年江西省)如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为 . ,则以x,y的值为两边长的等

5、(2013?荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.

(1)求证:BE=CE;

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.

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【课后巩固】

A组 夯实基础

1.在△ABC中,AB=AC,若∠B=56o,则∠C=__________.

2. 若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为_____________.

3. 若等腰三角形的两边长分别为xcm和(2x-6)cm,且周长为17cm,则第三边的长为

________.

4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,若 ∠CAD=25°,则∠ABE=,若BC=6,则CD= .

E

B

DC

5.△ABC中,AB=AC,∠ABC=36°,D.E是BC上的点,∠BAD=∠DAE=∠EAC,则图中等

腰三角形有______个

6..如图△ABC中,AB=AC,AD、BE是△ABC的高,它们相交于H,且AE=BE.

求证:AH=2BD.

7.△ABC为非等腰三角形,分别以AB、AC为向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,且∠DAB=∠EAC=90°. 求证:(1)BE=CD;(2)BE⊥CD.

8

8.如图,点D、E在?ABC的边BC上,AB?AC,AD?AE. 求证:BD?CE

9.如图,AB?AC,

?BAD?30?,且AD?AE.求?EDC的度数. 9

B组 巩固提升

1 等腰 三角形一腰上的高与底边夹角为20°,则其顶角的大小为___________.

2.如图,∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长CB到D,使BD=AB,延长BC到E,使CE=CA,连

接AD.AE,则∠DAE=_______.

A

Q

DBCEM N G

第2题图 第3题图

3.如图,△MNP中, ∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,

若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是 .

4.△ABC中,∠C=∠B,D.E分别是AB.AC上的点,?AE=?2cm,?且DE??∥BC,?则

AD=______

钢管EF,FG,GH,…,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管______根.

6.如图,?ABC中,?ACB?90?,CD?BA于 D,AE平分?BAC交CD于F,交BC于E,求证:?CEF是等腰三角形.

10 5.如图,∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°,为了使钢架更加牢固,需在内部添加一些

7 Rt?ABC中,AB?AC,?BAC?90?,O 为 AB中点,若点M.N分别在线段AB.AC 上移 动,且在移动过程中保持AN?BM,试判断 ?OMN的形状,并证明你的结论.

8.已知:如图,△ABC中,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,DE交BC于M,MD=ME,求证:△ABC是等腰三角形.

A

ME

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9、(2013?嘉兴)小明在做课本“目标与评定”中的一道题:如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?小明的做法是:如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即直线a,b所成角的度数.

(1)请写出这种做法的理由;

(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图3):①以P为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线b,PC于点A,D;②连结AD并延长交直线a于点B,请写出图3中所有与∠PAB相等的角,并说明理由;

(3)请在图3画板内作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.

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