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初中数学解直角三角形的应用

发布时间:2013-10-06 13:03:19  

解直角三角形的应用

一、选择题

1. (2012年江苏沭阳银河学校质检题)在直角三角形中不能求解的是(▲)

A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角

C、已知两边 D、已知两角

答案:D.

2. (2012年江苏沭阳银河学校质检题)在直角三角形中不能求解的是(▲)

A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角

C、已知两边 D、已知两角

答案:D.

3. (2012年江苏沭阳银河学校质检题)如图所示,从山顶A望

地面C、D两点,测得它们的俯角分别为450和300,已知CD

=100m,点C在BD上,则山高AB为(▲)

A、100m B、1003m C、503m D、50

答案:D.

4、(2012年浙江省杭州市一模)如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,

把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的

点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.

下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有4对全等三角形;

③若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;

④BD=BF;⑤S四边形DFOE?S?AOF,上述结论中正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第1题 A?1m ?DCB答案:B

二、填空题

1. (2012年江苏沭阳银河学校质检题)在Rt△ABC中,∠C=900,若cosB=

▲,若此时△ABC的周长为48,那么△ABC的面积 ▲ 。 答案:4.

2、 (海南省2012年中考数学科模拟)如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其3,则tanA=5腰的坡度为1:1.5,上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为 。

答案:18m

1

三、解答题

1、(2012年福建福州质量检查)(每小题7分,共14分)

(1) 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC中点,AE和延长线与DC的延长线相交于点F.证明:△ABE≌△FCE.

D C F E

A B

第17(1)题图

第17(2)题图

(2) 如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°,看这栋高楼底部的俯角β为60°,热气球与高楼的水平距离AD=80m,这栋高楼有多高3≈1.732,结果保留小数点后一位)?

答案:(1)证明:∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边,

∴AB∥CD, ······························································································· 2分

∴∠F=∠FAB. ·························································································· 4分

∵E是BC的中点, ∴BE=CE, ······························································ 5分

又∵ ∠AEB=∠FEC, ············································································ 6分

∴ △ABE≌△FCE. ·················································································· 7分

(2)解:如图,α=45°,β=60°,AD=80.

2

在Rt△ADB中, BD

∵tanα=

AD

∴BD=AD·tanα=80×tan45°=80.???2分 在Rt△ADC中, CD∵tanβ=,

AD

∴CD=AD·tanβ=80×tan60°=3.??5分

∴BC=BD+CD=80+3≈218.6.

答:这栋楼高约为218.6m. ??????7分

2(2012年浙江丽水一模)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进 了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪 的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取=1.732, 结果精确到1m)

答案:

解:设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m. 在Rt△AEC中,tan∠CAE=

xCE

,即tan30°= AEx?100

x,3x=3(x+100) ?

x?1003

解得x=50+503=136.6

∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)

答:该建筑物的高度约为138m.

第1题图

4、(2012年浙江金华五模)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾

角由45o降为30o,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上. (1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)

(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。

(

??

?2.449 )

3

A

B

C

答案(1)在Rt△ABC中,

BC?AB?cos45?? (1分) AC?AB?sin45??

Rt△ADC中

AC?

?sin30

ACCD?? (2分) tan30?AD?

?AD?AB≈2.07(m)

改善后的滑滑板会加长2.07m. (4分)

(2)这样改造能行.

因为CD?BC≈2.59(m),而6?3?2.59 (6分)

5、(2012山东省德州二模)如图,已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m,由地面向上依次为第1层、第2层、?、第10层,每层高度为3 m.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h,太阳光线与水平线的夹角为α .

(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围);

(2) 当α=30°时,甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°,从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 ?

答案:(1)过点E作EF⊥AB于F,由题意,四边

形ACEF为矩形. ???????1分

∴EF=AC=30,AF=CE=h, ∠BEF=α, ∴BF=3×10-h=30-h. ????????2分

BF又 在Rt△BEF中,tan∠BEF= ,?????????????????3分 EF

30?h

∴tanα=30,即30 - h=30tanα. ∴h=30-30tanα. ????????5分

(2)当α=30°时,h=30-30tan30°=30-30

×≈12.7,????????6分

∵ 12.7÷3≈4.2, ∴ B点的影子落在乙楼的第五层 . ????????7分

当B点的影子落在C处时,甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.

此时,由AB=AC=30,知△ABC是等腰直角三角形,

4

∴∠ACB=45°,?????????????????????????9分

45-30∴ = 1(小时). 15

故经过1

小时后,甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.?????????10分

6(2012山东省德州一模)观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.

在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图),

ADADbc,sinC=,即AD=csinB

,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即. ?cbsinBsinC

caababc 同理有,.所以 ????sinAsinBsinCsinCsinAsinAsinB则sinB=

即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.

A.如图,△ABC中,∠B=450,∠C=750,BC=60,

则∠A= ;AC= ;

第27题图1 C第27题图3 第27题图2

(2)如图,一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A的距离AB.

答案:解:(1)∠A=60,AC=206?????4’ 0

(2)如图,依题意:BC=60×0.5=30(海里)

∵CD∥BE

0∴∠DCB+∠CBE=180

0 ∵∠DCB=30

0∴∠CBE=150

0∵∠ABE=75

0∴∠ABC=75

0∴∠A=45???????????????????????7’ AB

BCAB30?即? 在△ABC中, ?????9’ 00sin?ACBsin?Asin60sin45

解之得:AB=156??????????????????10’

5

答:货轮距灯塔的距离AB=156海里??????????11’

7(2012上海市奉贤区调研试题)在一次对某水库大坝设计中,李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案:大坝的横截面为等腰梯形,如图,AD∥BC,坝高10m,迎水坡面AB的坡度i?5,审核组专家看后,从力学的角度对此方案提出了建议,李设计3

师决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度i?5. 6

(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号)

(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7m,求坝底将会沿AD方向加宽多少米?

答案:解:(1)过点B作BF?AD于F. (1分)

在Rt△ABF中, ∵i?BF5?,且BF?10m. AF3

∴AF?6m. (2分)

∴AB?. (2分)

(2)如图,延长EC至点M,AD至点N,连接MN,过点E作EG?AD于G. 在Rt△AEG中, ∵i?EG5?,且BF?10m, AG6

∴AG?12m,BE?GF?AG?AF?6cm. (2分)

∵方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变.

6

∴S△ABE?S梯形CMND. (1分)

11

?BE?EG??MC?ND?. 22

即 BE?MC?ND. (1分)

ND?BE?MC?6?2.7?3.3?m?.

8、(2012江苏无锡前洲中学模拟)

N PQ上点E 如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线处测得∠AEP

=74°,∠BEQ=30°;在点F处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°,EF=1km. (1)判断AB、AE的数量关系,并说明理由;

(2)求两个岛屿A和B之间的距离(结果精确到0.1km).3≈1.73, sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49,

A

sin76°≈0.97,cos76°≈0.24)

答案:(1)相等,证明:∵∠BEQ=30°,∠BFQ=60°,∴∠EBF=30°,∴EF=BF.

又∵∠AFP=60°,∴∠BFA=60°. 在△AEF与△ABF中,EF=BF,∠AFE=∠AFB,AF=AF,

∴△AEF≌△ABF,∴AB=

F

A

PE

第23题

FQ

AE. ???????????????? 4分 (2)作AH⊥PQ,垂足为H,设AE=x,

则AH=xsin74°,HE=xcos74°,HF=xcos74°+1.

Rt△AHF中,AH=HF·tan60°,∴xcos74°=(xcos74°+1)·tan60°,即0.96x=(0.28x

+1)×1.73,

∴x≈3.6,即AB≈3.6 km.答:略.????????????????8分

9(2012江苏扬州中学一模)2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示)。已知山坡的坡角 ∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折 断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4米。 (1)求∠DAC的度数;

(2)求这棵大树原来的高度是多少米?(结果精确到个位,参考数据:2?1.4,?1.7,?2.4)

答案:(1)75°???5分

(2)(26?2?2)米???10分

7

C

E

第26题

10、(2012年,辽宁省营口市)(10分)2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树, 海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示)。已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m。 (1)求∠DAC的度数;

(2)求这棵大树折断前AB的高?(结果精确到个位,参

?

1.4?

1.7?2.4).

答案:

解:(1)延长BA交EF于点G.在Rt△AGE中,

?E?23°,∴?GAE?67°.又∵?BAC?38°

∴?CAE?180°?67°?38°?75°.

C

,AD?4, 在△ADH中,?ADC?60°

cos?ADC?

DHAH

sin?ADC?

AD,∴DH?2,AD,∴

E C G

H

(2)过点A作AH⊥CD,垂足为H

,AH?,在

Rt△ACH中

AC?

,?C?180°?75°?60°?45°,

∴,

CH?AH?

AB?AC?CD?2≈10(米)

答:这棵大树折断前高约10米

11. (2012年,广东一模)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6 m, ∠ABC=45°,后考虑到安全因素,将楼梯脚B移到CB延长线上点D处,使∠ADC=30°(如图1-4所示).

(1)求调整后楼梯AD的长; (2)求BD的长(结果保留根号).

图1-

4

8

解:(1)已知AB=6 m,∠ABC=45°,

∴AC=BC=AB·sin45°=6×=3 2, 2∵∠ADC=30°,∴AD=2AC=6 2.

答:调整后楼梯AD的长为6 2m.

(2)CD=AD·cos30°=6 23=3 6, 2∴BD=CD-BC=3 6-3 2.

答:BD的长为(3 6-3 2)m.

12. (2012年,广东二模)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图2-6,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离?

?参考数据:sin 36.903tan 36.90≈3, 54?

1212

sin 67.50≈tan 67.50≈ 135

图2-6

解:如图D61,过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里,

在Rt△APC中,∵tan∠A=

PC5x

∴AC=tan67.5°12PC AC

图D61

在Rt△PCB中,∵tan∠B=

x4x∴BC=tan36.9°3

∵AC+BC=AB=21×5,

5x4x∴+21×5,解得 x=60. 123PC BC

9

PC∵sin∠B= PB

PC605∴PB==60×=100(海里). 3sin∠Bsin36.9°

∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.

13、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)(本小题满分6分)

如图,小明在楼上点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30,测得旗杆底部C的俯角为60,已知点A距地面的高AD为12 m.求旗杆的高度.

??

解:过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ??????1分

∴CE = AD=12. ?????????????????????2分

Rt△ACE中,∵?EAC?

60?,CE?12,∴AE?CE?4分 tan60?

Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴BE?AE?tan30??4.?????6分

∴BC=CE+BE=16 m. ???????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.??????????????????8分

(另解)过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ????1 分

∴CE = AD=12.???????????????????????2分

设BE?x,Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴AB?2BE?2x.????4分

同理BC?4x.∴12?x?4x,解得x?4.????????????6分

∴BC=CE+BE=16 m.?????????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.?????????????????????8分

14.(2012年江苏南通三模)如图,我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南

向北正以每小时10海里的速度逃跑,我缉私艇迅速朝A的西偏北600的方向出水拦截,

2小时后终于在B地正北方向M

处拦截住,试求缉私船的速度.(参考数据:(第1题)

??1.41)

答案:27.3海里/时.

10

第1题图

15.(2012年江苏海安县质量与反馈) 如图所示,A、B两地之间有一条河,原来从A地到

B 地需要经过DC,沿折线A→D→C→B到达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B地.已知BC=10km,∠A=45°,∠B=37°,桥DC和AB平行.

(1)求两桥之间的距离CG(CGAB);

(2)从A地到达B地可比原来少走多少路程? C D

(精确到0.1 km).(参考数据:2?1.41sin37°≈0.60,cos37°≈0.

答案:(1)CG=6km;

(2)作DH⊥AB,得到DH=HA=6,AD=6 ,

第2题图

所以少走的路程是(AD+CD+BC)-(BG+GH+AH)=62+10-14≈4.5km.

16.(2012年江苏沭阳银河学校质检题)如图,城市规划期间,要拆除一电线杆AB,已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝,背水坡的坡

度i=1:0.5,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶

A的仰角为300,D、E之间是宽为2米的人行道,请

问:在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需

要将此人行道封上?请说明理由。(在地面上,以B

为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域)

答案:AB=53+2<12,不需要将人行道封上. 第3题图 G F E B A

17、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图,小明在楼上点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30,测得旗杆底部C的俯角为60,已知点A距地面的高AD为12 m.求旗杆的高度.

??第1题图

答案:过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ????1分

∴CE = AD=12. ???????????????????2分

Rt△ACE中,∵?EAC?60?,CE?

12,∴AE?CE?4分 tan60?

Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴BE?AE?tan30??4.?????6分

∴BC=CE+BE=16 m. ???????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.??????????????????8分

(另解)过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ????1 分

∴CE = AD=12.???????????????????????2分

11

设BE?x,Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴AB?2BE?2x.????4分

同理BC?4x.∴12?x?4x,解得x?4.????????????6分

∴BC=CE+BE=16 m.?????????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.?????????????????????8分

18、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图,小明在楼上点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30,测得旗杆底部C的俯角为60,已知点A距地面的高AD为12 m.求旗杆的高度.

??第1题图

答案:过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ????1分

∴CE = AD=12. ???????????????????2分

Rt△ACE中,∵?EAC?60?,CE?

12,∴AE?CE?4分 tan60?

Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴BE?AE?tan30??4.?????6分

∴BC=CE+BE=16 m. ???????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.??????????????????8分

(另解)过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE. ????1 分

∴CE = AD=12.???????????????????????2分

设BE?x,Rt△ABE中,∵?BAE?30?,∴AB?2BE?2x.????4分

同理BC?4x.∴12?x?4x,解得x?4.????????????6分

∴BC=CE+BE=16 m.?????????????????????7分

答:旗杆的高度为16 m.?????????????????????8分

19、(2012年4月韶山市初三质量检测)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50° ≤ α ≤ 70°

(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC . (结果保留两个有效数字,sin70° ≈ 0.94,sin50° ≈ 0.77,cos70° ≈ 0.34 ,cos50° ≈ 0.64 )

12

【解】当α=70°时,梯子顶端达到的最大高度,

AC∵, AB

∴AC = sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)

答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.

20、(2012年北京中考数学模拟试卷)一条船在海面上自西向东沿直线航行,在A处测得航

标C在北偏东60°方向上,前进100米到达B处,又测得航标C北45° 方向上.

(1)请根据以上描述,画出图形.

(2)已知以航标C为圆心,120米为半径的圆形区域内有浅滩,

若这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?为什么?

答案:(1)如图

(2)答:这条船继续前进,没有被浅滩阻碍的危险。

解:作CD⊥直线AB于点D,

由已知可得∠CAD=30°, ∠CBD=45°,

AB=100米。

设CD=x米。

在Rt△ACD中 A B D 北 CD tan∠CAD= AD

∴AD=CDx??3x tan?CAD3

3

在Rt△CBD中

∵∠CBD=45°, ∴BD=CD=x,

∵AD-BD=AB, ∴x?x?100。

13

解得x?503?50?120

∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。

21、(2012年北京市延庆县一诊考试)如图,小明在楼上点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30°,测得旗杆底部C的俯角为60°,已知点A距地面的高AD为12m.求旗杆的高度.

解:过点A作AE⊥BC,垂足为E,得矩形ADCE,∴CE=AD=12.

Rt△ACE中,∵∠EAC=60°,

CE=12,

∴AE=CE? tan60?

?Rt△ABE中,∵∠BAE=30°,BE=AE?tan30?4.

∴BC=CE+BE=16m.

答:旗杆的高度为16m.

22、(2012双柏县学业水平模拟考试)小明用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗

杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得DB的距离为10米.试求旗杆AB的高度(精确到0.l米)

° EC

DB答案:

解:在Rt△AEC tan∠ACE=AEAE, ?EC10

∴ AE =tan30°×10≈5.77

∴ AB=AE+EB=5.77+1.5=7.27≈7.3(米)

23、[

淮南市洞山中学第四次质量检测,18,10分](本题10分)如图,在?ABC中,AD是 14

1BC

边上的高,tanC?,AC?AB?4. 求BD的长.(结果保留根号)

2

?解:?AD是BC边上的高 ??ADC??ADB?90

在Rt△ADC中,?tanC?1AD1,?? 2CD2

?CD?2AD?AD2?(2AD)2?(3)2 ?AD?3

∴在Rt△ADB中,BD?42?32?7

24、[淮南市洞山中学第四次质量检测,19,10分](本题10分)如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE= 55cm,且tan∠EFC=

(1)△AFB 与△FEC有什么关系? 试证明你的结论。

(2)求矩形ABCD的周长。

A 3. 4

E

C B

解:(1)△AFB∽△FEC.

证明:由题意得:∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90°

, ∠EFC+∠AFB=90° ∴∠BAF+∠AFB=90°

∴∠BAF=∠EFC ∴ AFB∽△FEC

(2)设EC=3x,FC=4x,则有DE=EF=5x ,∴AB=CD=3x+ 5x=8x

由△AFB∽△FEC得:

4x= 10x

∴在Rt△ADE中,AD=BC=10x,AE=解得 F 即:8xBF = ∴BF=6x ∴BC=BF-CF=6x+ 4x3x,则有 (舍去) ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm) 答:矩形ABCD的周长15

为36cm.

25、(2012深圳市龙城中学质量检测)如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,

启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=3,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1

2≈1.4143≈1.732)(7分)

答案:

26、[河南开封2012年中招第一次模拟](8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景,

如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300m,在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向,游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C,在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向,求此时游轮与望海楼之间的距离BC

(。

16

C

答案:

27、 (海南省2012年中考数学科模拟)(本题满分8分) 如图,为测量某塔AB的高度,在离塔底部10米处目测其塔顶A,仰角为60°,目高1.5米,试求该塔的高度。

1.41

≈1.73)

E B 第1题图

答案:(本题满分8分) y=1 解:由题意可知 CD=10米,BD=1.5米,∠ACD=60°。在Rt△ACD中, AD=CDtan60°

??????????? 5分

≈10×1.73 + 1.5 =18.8(米)??? 7分 答:该塔的高度是18.8米 。??? 8分

28. (2012年广东模拟)(本小题满分6分) 在△ABC中,已知AB=1,AC=

,∠ABC=45

2

第21题图

17

答案(本小题满分6分)

当∠C为钝角时,S=

2?2

; ---------3分 82?2

--------------3分 8

当∠C为锐角时,S=

29. (柳州市2012年中考数学模拟试题)(7分) 如图,“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅,小明和小

雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上.小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30,测得条幅端点B的俯角为45o;小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45o,测得条幅端

点B的俯角为30.若设楼层高度CD为3米,请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长.

.732)

答案:解:过D作DM⊥AE于M,过C作CN⊥AE于N,则:MN=CD=3米,设AM=x,

oo

则AN=x+3, 由题意:∠ADM =30,∠ACN =45,

在Rt△ADM中,DM=AM·cot30x,在Rt△ANC中,CN=AN=x+3,

又DM=CN=MB

+3,解之得,x=)

≈11(米)

33+1),∴AB=AM+MB=x+x+3=2×2

2

31、(徐州市2012年模拟)(8分)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽(精确到0.1m)

≈1.414

1.732

B

解:如图所示,过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F,------1分 所以△ABE、△CDF均为Rt△, 又因为CD=14,∠DCF=30°,

所以DF=7=AE,-----------------------4分

所以FC=

12.1 ------------------6

B

18

所以BC=7+6+12.1=25.1m.------8分

32. (盐城地区2011~2012学年度适应性训练)(本题满分10分)小鹏学完解直角三角形

知识后,给同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知∠α=36°,求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(结果精确到1mm)

解:作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F. ??2分

F∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,∠ADF+∠DAF=90°, E

∴∠ADF=∠α=36°.根据题意,得BE=24mm, DF=48mm. ??4分

在Rt△ABE中,sinα=BE/AB,∴AB=BE/sin36°=40(mm).??6分

在Rt△ADF中,cos∠ADF=DF/AD,∴AD=DF/COS36°=60(mm).8分

∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm). ??10分

33. (盐城市第一初级中学2011~2012学年期中考试)(本题满分10分)如图,小明家在

A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,

AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l.

小明测量出∠ACD=30o,∠ABD=45o,BC=50m. 请你

帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确

到0.1m;参考数据:2?1.414,?1.732).

解AD=25(3?1)?68.3

34、2012年普陀区二模)(本题满分10分)

已知:如图6,在△ABC中, CD⊥AB,sinA=

求AD的长和tanB的值.

C4,AB=13,CD=12, 5

ADB

图6

解: ∵CD⊥AB,

∴∠CDA=90°?????????????????????????(1分)

19

∵ sinA=CD4?,CD=12, AC5

∴ AC=15????????????????????????????(3分) ∴AD=9. ????????????????????????????(2分) ∴BD=4. ????????????????????????????(2分) ∴tanB=CD ?3 ????????????????????????(2分)BD

35(2012年南京建邺区一模)(本题6分)如图,某同学在大楼30m高的窗口看地面上两辆汽车B、C,测得俯角分别为60°和45°,如果汽车B、C在与该楼的垂直线上行使,求汽车C与汽车B之间的距离.(精确到0.1m,参考数据:?1.414,?1.732)

(第20题图)

解:依题意得,∠ACD=45°, ∠ABD=60°

AD···························································································· 1分 ?tan45?,·CD

AD30 ∴CD?. ··············································································· 3分 ??30(千米)tan45?1

ADRt△ADB中,?tan60?, BD

AD ∴BD?. ···················································································· 5分 ?103(千米)tan60?Rt△ADC中,

∴BC=30?10?12.7(千米). ······················································································ 6分 答:.汽车C与汽车B之间的距离.约为12.7千米.

36、(2012年福州模拟卷) (每小题7分,共14分)

(1) 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC中点,AE和延长线与DC的延长线相交于

点F.证明:△ABE≌△FCE.

D F E A 第17(1)题图

第17(2)题图 (2) 如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°,看这栋高 20

楼底部的俯角β为60°,热气球与高楼的水平距离AD=80m,这栋高楼有多高3≈

1.732,结果保留小数点后一位)?

(1)证明:∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边,

∴AB∥CD, ······························································································· 2分 ∴∠F=∠FAB. ·························································································· 4分 ∵E是BC的中点, ∴BE=CE, ······························································ 5分 又∵ ∠AEB=∠FEC, ············································································ 6分 ∴ △ABE≌△FCE. ·················································································· 7分

(2)解:如图,α=45°,β=60°,AD=80.

在Rt△ADB中,

∵tanα=BDAD

∴BD=AD·tanα=80×tan45°=80.???2分

在Rt△ADC中,

∵tanβ=CDAD,

∴CD=AD·tanβ=80×tan60°=3.??5分

∴BC=BD+CD=80+3≈218.6.

答:这栋楼高约为218.6m. ??????7分

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