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初中数学矩形、菱形、正方形

发布时间:2013-10-06 13:03:19  

矩形、菱形、正方形

一、选择题

1、(2012年上海青浦二模)对角线互相平分且相等的四边形是( )

A .菱形; B.矩形; C.正方形; D.等腰梯形.

答案:B

2、(2012兴仁中学一模)若一个菱形的一条边长为4cm,则这个菱形的周长为 ( )

(A)20cm (B)18cm (C)16cm (D)12cm

答案:C

3 (2012年江苏海安县质量与反馈)如图,将边长为12cm

的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,

折痕为MN.若CE的长为8cm,则MN的长为 A.12cm B.12.5cm

C.4 cm

答案:C. D.13.5cm M D E C 4(2012年江苏通州兴仁中学一模)若一个菱形的一条边长为4cm,则这个菱形的周长为 第1题图

( )

(A)20cm (B)18cm (C)16cm (D)12cm

答案:C.

5(西城2012年初三一模).如图,顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH,要使四边形

EFGH为矩形,应添加的条件是( )

A.AB∥DC

答案:C

6、图①是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图②

铺成了一个2×2的近似正方形,其中完整菱形共有

5个;若铺成3×3的近似正方形图案③,其中完整

的菱形有13个;铺成4×4的近似正方形图案④,其中完整的菱形有25个;如此下去,可铺

成一个n?n的近似正方形图案.当得到完整的菱形共221个时,n的值为( )

A.12 B.11 C.10 D.9

答案:B

2、如图,四边形ABCD是正方形,AG与BD、CD

1

B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD 相

交于点E和F,如果AE=5,EF=3,则FG=( )

A.16

3 B.8

3 C.4 D.5

7(2012山东省德州二模)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确...的有( ) ○1当AB=BC时,它是菱形 ○2当AC⊥BD时,它是菱形

○3当∠ABC=900时,它是矩形 ○4当AC=BD时,它是正方形

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

答案:A

8、(2012江苏扬州中学一模)下列命题中,真命题是( ▲ )

A.矩形的对角线相互垂直

B.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形

C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

答案:D

9、(2012荆门东宝区模拟)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,过对角线交点O作OE

⊥AC交AD于E,则AE的长是( ).

A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4

答案:

D

第2题

10(2012荆门东宝区模拟)如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,过点P

垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN

的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是( ).

答案:C

11 (2012荆门东宝区模拟) 如图,在正方形纸片ABCD中,E,F分别是AD、BC的中点,

沿过点B的直线折叠,使点C落在EF上,落点为N,折痕交CD边于点M,BM

与 2 题)

EF交于点P,再展开.则下列结论中:①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等边三角形.正确的有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:

C

(第4题)

12、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研) 已知四边形ABCD中,∠A?∠B?∠C?90?,如果添加一个条件,即可判定该四边形是正方形,那么所添加的这个条件可以是( ).

(A)∠D?90?;

答案:D

13、(盐城地区2011~2012学年度适应性训练)菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为( ★ )

A.2 B.23 C.4 D.43

答案C

?14、(2012年普陀区二模)已知四边形ABCD中,∠A?∠B?∠C?90,如果添加一个(B)AB?CD; (C)AD?BC; (D)BC?CD.

条件,即可判定该四边形是正方形,那么所添加的这个条件可以是( ▲ ).

(A)∠D?90;

答案:D

15、(2012年金山区二模)在下列命题中,真命题是( )

(A)两条对角线相等的四边形是矩形

(B)两条对角线互相垂直的四边形是菱形

(C)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

答案:C

3 ?(B)AB?CD; (C)AD?BC; (D)BC?CD.

二、填空题

1、(2012山东省德州三模)在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,

PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为.

答案:2.4

A ? 2、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)在矩形ABCD中,

BC?1,

????????那么AB?BC= .

3、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,那么四边形BCFE的面积等于

答案:6

4、(2012石家庄市42中二模)如图,甲,乙,丙,丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形,已知,甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32

cm2,四边形ABCD的面积是20cm2.问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______.

答案:48

5、(2012年北京中考数学模拟试卷)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,分别以

A、C为圆心,AO、CO为半径画圆弧,交菱形各边于点E、F、G、H,若AC=2,BD=2, 4

则图中阴影部分的面积是 .6(2012年浙江省金华市一模)如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,

DA的中点.请你添加一个条件,使四边形EFGH为矩形, 应添加的条件是 . 答案:AC⊥BD

D G 第1题

7、(2011年上海市浦东新区中考预测)如图,在矩形ABCD中,点F为边CD上一点,沿AF折叠,点D恰好落在BC边上的E点处,若AB=3,BC=5,则tan?EFC的值为

3答案:

4

y

A

D

y=

F

B

第17题图

E

O第

x

8、(盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM= 时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相

D

52似。答案CM=或CM=;

5

5

图4

9、(2012上海市奉贤区调研试题)矩形ABCD中,AD?4,CD?2,边AD绕A旋转使得点D落在射线CB上P处,那么?DPC的度数为 . 答案:75°或15°

10、(2012昆山一模)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1

5

(如图所示),把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线

BC上的点F处,则F、C两点的距离为

答案:5或1

(第1题)

11、(2012年普陀区二模)如图4,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时,弧BC的长度等于?).

AD

F

E

BC图4

答案:

????????????????12、(2012年普陀区二模)在矩形ABCD中,如果AB?2,BC?1,那么AB?BC=

▲ .

答案

13、(2012年普陀区二模)如图5,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,那么四边形BCFE的面积等于 ▲ .

A

E

HBFCGD? 3

图5

答案:6

6

三、解答题

1、(2012年上海黄浦二模)(本题满分12分)

如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,联结EB、ED,延长BE交AD于点F.

(1)求证:?BEC??DEC;

2(2)当CE?CD时,求证:DF?EF?BF.

A

D

B

C

答案:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC?CD,且?BCE??DCE (2分)

又∵CE是公共边,∴△BEC≌△DEC, (2分) ∴∠BEC =∠DEC (1分)

(2)联结BD (1分)

∵CE?CD,

∴∠DEC =∠EDC (1分) ∵∠BEC=∠DEC,∠BEC =∠AEF,

∴∠EDC=∠AEF.

∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD,

∴∠FED=∠ECD (1分) ∵四边形ABCD是正方形,

11∴∠ECD=∠BCD =45°,∠ADB=∠ADC= 45°, 22

∴∠ECD=∠ADB (1分) ∴∠FED=∠ADB. (1分) 又∵∠BFD是公共角,∴△FED∽△FBD, (1分) EFDFF2?EFBF? (1分)?,即D DFBF

2、(2012年浙江丽水一模)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数

7

量关系: ;

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由.如果成立请证明;

(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.

(可利用(2)得到的结论)

解:(1)如图①AH=AB

(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN

∵ABCD是正方形

∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND

∴AE=AN,∠EAB=∠NAD

第1题图

∴∠EAM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,

∴AB=AH

(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,

得到△ABM和△AND 图①

∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE. 由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x?2, NC=x?3 图②

8

在Rt⊿MCN中,由勾股定理,得

MN2?

MC2?NC2∴5?(x?2)?(x?3)

解得x1?6,x2??1.(不符合题意,舍去) ∴AH=6.

2

2

2

3(2012年浙江金华五模)矩形纸片ABCD中,AD?12cm式折叠,AE是折痕.

(1)如图1,P,Q分别为AD,BC的中点,点D的对应点F在PQ上,求PF和AE的长;

(2)如图2,DP?(3)如图3,DP?

11

AD,CQ?BC,点D的对应点F在PQ上,求AE的长; 3311

AD,CQ?BC,点D的对应点F在PQ上. nn

①直接写出AE的长(用含n的代数式表示); ②当n越来越大时,AE的长越来越接近于 ▲ .

D

C

DPA

F

CDPA

F

C

QQ

PA

F

(第23题图1)

Q

B

(第23题图2)

BB

(第23题图3)

答案:

(1)?PQ是矩形ABCD中AD,BC的中点,

?AP?

11

AD?AF,?APF?90?, 22

DPA

C

Q

??AFP?30?, ?PF?3?AP?63

??FAD?60?,??DAE?

1

?FAD?30?, 2

B

?AE?

AD

?83cm (3分)

cos30?

12

AD?4,?AP?AD?8 33

(2)?DP?

?FP?2?82?45

9

DPA

EG

F

C

Q

B

作FG?CD于点G,??AFE?90?,

??AFP??EFG, ??AFP∽?EFG

?

PFGF

, ?GF?DP?4 ?

AFEF

125

,?AE?5

AD2?DE2?

1230

(3分) 5

?DE?EF?

(3)?DP?

12(n?1)112

,?AP? AD?

nnn

DP

A

2n

2n?1

F

C

Q

122n?1

?FP?AF2?PF2?

n

PFGF

同理?AFP∽?EFG ? ?

AFEF

B

?DE?EF?

122n?1

?AE?

AD2?DE2?12

当n越来越大时,AE越来越接近于12. (4分)

4、(2012年浙江金华五模)已知:如图,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且CE=CF.

求证:AE?AF. 答案:

证明:(1)∵ABCD是菱形

∴AB=AD,BC=CD,∠B=∠D (2分) 又 CE=CF

∴BC—CE=CD—CF

即BE=DF (4分) ∴△ABE≌△ADF

10

A

B

E

C

F

D

∴AE=AF (6分)

5、

如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以每秒3cm的速度向B移动,一直达到B止,点Q以每秒2cm的速度向D移动.

(1)P、Q两点出发后多少秒时,四边形PBCQ的面积为36cm;

(2)是否存在某一时刻,使PBCQ为正方形?.

6、(本小题满分8分)如图,如下图均为2?2的正方形网格,每个小正方形的边长均为1.请分别在三个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上,且位置不同的三角形.

2

答案:略

如图,⊙O的直径AB=8,C为圆周上一点,AC=4,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E.

(1) 求∠AEC的度数;

(2)求证:四边形OBEC是菱形. 答案: (1)解:在△AOC中,AC=4, ∵ AO=OC=4, ∴ △AOC是等边三角形.………1分

∴ ∠AOC=60°,

∴∠AEC=30°.…………………3分 (2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.

∴ OC∥BD. ……………………4分

∴ ∠ABD=∠AOC=60°.

∵ AB为⊙O的直径,

∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°. …………………………7分

∴∠EAB=∠AEC.

∴ 四边形OBEC 为平行四边形. …………………………………6分

又∵ OB=OC=4.

∴ 四边形OBEC是菱形. …………………………………………7 分

7、在正方形ABCD中,O是AD的中点,点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动,移动到点D时停止。

(1)如图1,若正方形的边长为12,点P的运动速度为2单位长度/秒,设t

秒时,正方形

11

ABCD与∠POD重叠部分的面积为y。

①求当t=4,8,14时,y的值。

②求y关于t的函数解析式。

(2)如图2,若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动,移动到点A时停止。P、Q两点同时出发,点P的速度大于点Q的速度。设t秒时,正方形ABCD与∠POD(包括边缘及内部)重叠部分的面积为S,S与t的函数图像如图3所示。

①P,Q两点在第 秒相遇;正方形ABCD的边长是

②点P的速度为 单位长度/秒;点Q的速度为

③当t

S等于9?

答案:

?144?6t(0?t?6)???(1)①120,84,24 (3分) ②

y??180?12t(6?t?12)? (6分)

?108?6t(12?t?18)???

(2)①4,4 (8分)

②2,1 (10分)

解释:只有当P,Q相遇于C点时图像分为5段,其余情况图像分为6段,所以甲的速度为乙的速度的2倍。

③1113或 (12分) 52

?8、(2012上海市奉贤区调研试题)如图,?ABC中,?ABC?90,E为AC的中点.

操作:过点C做BE的垂线,过点A作BE的平行线,两直线相交于点D,在AD的延长线上截取DF?BE,联结EF、BD.

(1)试判断EF与BD之间有怎样的关系,并证明你所得的结论;

(2)如果AF?13,CD?6,求AC的长.

12

答案:解:(1)如图,EF与BD互相垂直平分. (1分)

证明如下:连结DE、BF,

∵,

∴四边形BEDF是平行四边形. (2分)

CD⊥BE,

∴CD⊥AD,

∵∠ABC=90o,E为AC的中点,

∴BE?DE?1AC, (2分) 2

∴四边形BEDF是菱形. (1分)

∴EF与BD互相垂直平分.

解:(2)设DF?BE?x,则AC?2x,AD?AF?DF?13?x. (2分)

在Rt△ACD中,∵AD2?CD2?AC2, (1分) ∴(13?x)2?62?(2x)2. (1分) 3x2?26x?205?0,x1??41(舍去),x2?5. (1分)

∴AC?10. (2分)

9、(2012江苏扬州中学一模)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,

过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。

(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明

理由。

答案:(1)BD=CD……………1分

证△AEF≌△DEC

∴AF=CD

∵AF=BD

第1题 ∴BD=CD……………5分

(2) 当△ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形………6

∵AF//BD, AF=BD

∴四边形AFBD是平行四边形

∵AB=AC,BD=CD

∴∠ADB=90°

∴□AFBD是矩形………10分

10.(2012年江苏南通三模)已知:平行四边形ABCD中,E、F 是BC、AB 的中点,DE、

DF分别交AB 、CB的延长线于H、G; 13

(1)求证:BH =AB;

(2)若四边形ABCD为菱形,试判断∠G与∠H的大小,并证明你的结论.

AF

第1题图

答案:(1)∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC=AB,DC∥AB ,∴∠C=∠EBH,∠CDE=∠H

又∵E是CB的中点,∴CE=BE

∴△CDE≌△BHE ,∴BH=DC

∴BH=AB

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ADF=∠G

∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC=CB=AB,∠A=∠C

∵E、F分别是CB、AB的中点,∴AF=CE

∴△ADF≌△CDE ,∴∠CDE=∠ADF ∴∠H=

∠G

11、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,四边形ABCD中,AD//BC,点E在CB的延长线上,联结DE,交AB于点F,联结DB ,?AFD??DBE,且DE2?BE?CE.

(1) 求证:?DBE??CDE;

(2)当BD平分?ABC时,求证:四边形ABCD是菱形.

2答案:(1)证明:∵DE?BE?CE,

DEBE?. …………………………………………(2分) CEDE

∵?E??E, …………………………………………(1分) ∴

∴?DBE∽?CDE.……………………………………… (1分)

∴?DBE??CDE. ……………………………………………(1分)

A

BC

(2) ∵?DBE??CDE,

又∵?DBE??AFD,

∴?CDE??AFD.………………………………………………(1分)

∴AB//DC. ………………………………………………(1分)

又∵AD//BC,

∴四边形ABCD是平行四边形 ………………………………………(1分)

∵AD//BC,

∴?ADB??1. ……………………………………………(1分)

∵DB平分?ABC,

∴?1??2. …………………………………………(1分)

∴?ADB??2.

∴AB?AD. ……………………………………………(1分)

∴四边形ABCD是菱形. ……………………………………………………(1分)

12、(2012苏州市吴中区教学质量调研)已知,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,试 判断线段BE与DG的数量关系,并说明理由.

答案:

第2题图

13马鞍山六中2012中考一模).如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及

其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.

(1)求证:△BDF≌△CDE;

(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.

15

答案:(1)∵CE∥BF,

∴∠DBF=∠DCE, ……………………………………2分

∵D是BC的中点,

∴BD=CD,

又∠BDF=∠CDE,

∴△BDF≌△CDE. ……………………………………5分

(2)由(1)知,△BDF≌△CDE.

∴CE=BF, …………………………………6分

∵CE∥BF,

∴四边形BFCE是平行四边形. …………………………8分

在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD,

∴AD⊥BC,即EF⊥BC,

∴四边形BFCE是菱形, ……………………………………10分

14、(2012年4月韶山市初三质量检测)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,

O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.

(1)求证:△ P O D ≌ △Q O B ;

(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1

厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时

间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边

形P B Q D是菱形.

【答案】(1)证明:?四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,

∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB,

∴△POD≌△QOB

(2)解法一: PD=8-t

∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,

∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm.

当四边形PBQD是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,

∴△ODP∽△ADB, ∴ODAD58??,

,即PDBD8?t10

16

解得t?77,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. 44

解法二:PD=8-t

当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm,

∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=6cm,

∴AP?AB?BP, ∴t2?62?(8?t)2, 解得t?22277,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. 44

15、[河南开封2012年中招第一次模拟](8分)如图,△ABC

外角的平分线, 已知∠BAC=∠ACD。 (1)求证:△ABC≌△CDA;

(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形。

答案: B16、(杭州市2012年中考数学模拟)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q,连接BQ.

⑴ 试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有?ADQ??ABQ;

⑵ 当?ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1:6时,求BQ的长度,并直接写出....DC此时点P在AB上的位置.

答案:(1) 证明:在正方形ABCD中, ABP ?AD?AB???DAQ??BAQ ∴?ADQ?ABQ

?AQ?AQ?

(2) 解:∵?ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1:6且正方形面积为36

17

∴?ADQ的面积为6

过点Q作QE?AD于E, QF?AB于F,

∵?ADQ?ABQ

∴∴QE?QF ∴QE?2?QF

E

AFPBDC1AD?QE?6 2∵?BAD??QEA??QFA?90? ∴四边形AEQF为矩形

∴AF?QE?2

在Rt?

QBF中,BQ?∴BF?6?2?4 ??此时P在AB的中点位置(或者回答此时AP?3)

17(海南省2012年中考数学科模拟)(本题满分11分)如图,在正方形ABCD中,E是AB边上任意一点,BG⊥CE,垂足为点O,交AC于点F,交AD于点G。 D C

(1) 证明:BE=AG ;

(2) 点E位于什么位置时,∠AEF=∠CEB,说明理由。

G F

A E B

第23题图

答案:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=∠BAD=90°,∴∠1+∠3=90°,

∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠2 ………………………2分

在△GAB和△EBC中,

∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2

∴△GAB≌△EBC (ASA) …………4分

∴AG=BE ………………………… 5分

(2)解:当点E位于线段AB中点时,∠AEF=∠CEB …… 6分

D C 理由如下:若当点E位于线段AB中点时,则AE=BE,

由(1)可知,AG=BE ∴AG=AE …………………… 7分

∵四边形ABCD是正方形,∴∠GAF=∠EAF=45°… 8分

又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS) G ∴∠AGF=∠AEF ………………………………………10分 A E B 18 第23题图

由(1)知,△GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,

∴∠AEF=∠CEB ………………………………… 11分 18.(2012广西贵港)(本题满分11分) 如图所示,⊙O的直径AB?6,AM和BN是它的两条切线,D为射线AM上的动点(不

M A D 与A重合),DE切⊙O于E,交BN于C,设AD?x,BC?y. (1)求y与x的函数关系式;

(2)若⊙O1与⊙O外切,且⊙O1分别与BC、CD 相切于点F、G,求x为何值时⊙O1半径为1.

B 答案:解:(1)如图所示,作DP?BN,垂足为P……………1分

∵AM和BN是⊙O的两条切线 ∴?A??B?90 ∴四边形ABPD为矩形

∴DP?AB?6,AD?BP?x

∴PC?BC?BP?y?x ……………2分

∵DE切⊙O于E

∴ DA?DE,CE?CB

∴DC?DE?CE?x?y ……………3分

由PD?PC?DC,得62?(y?x)2?(x?y)2……………4分

2

2

20

E

O

O1

F C

G

N

Q

P

O1

9

(x?0)……………5分 x

(2)连接OC则OC平分?BCD,……………6分

即 y?

∵⊙O1分别与BC、CD相切,

∴O1在?BCD的角平分线OC上,连接O1F,则O1F?BC,作O1Q?AB,

足为Q,则四边形O1QBF为矩形 ……………7分 当⊙O1半径为1时,OQ?3?1?2,OO1?3?1?4, ……………8分 ∴?FCO1??OO1Q?300,BF?O1Q?23,FC?∴BC?BF?FC?……………10分 ∴x?

3 ……………9分

99??3,即当x为时,⊙O1半径为1. ……………11分 y319、(2012年上海市黄浦二模)如图7,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,联结EB、ED,延长BE交AD于点F. AD(1)求证:∠BEC =∠DEC ;

(2)当CE=CD时,求证:DF?EF?BF.

2

答案: BC

图7

(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,且∠BCE=∠DCE. …………(2分) 又∵CE是公共边,∴△BEC≌△DEC,………………………………………… (2分)

19

∴∠BEC =∠DEC.………………………………………………………………… (1分)

(2)联结BD .………………………………………………………………………(1分) ∵CE=CD,∴∠DEC =∠EDC.…………………………………………………… (1分) ∵∠BEC =∠DEC,∠BEC =∠AEF,∴∠EDC=∠AEF.

∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD,

∴∠FED=∠ECD.………………………………………………………………… (1分) ∵四边形ABCD是正方形,

11∴∠ECD=∠BCD =45°, ∠ADB=∠ADC= 45°,∴∠ECD=∠ADB.… (1分) 22

∴∠FED=∠ADB. ……………………………………………………………… (1分) 又∵∠BFD是公共角,∴△FDE∽△FBD,…………………………………… (1分) EFDF2?∴,即DF?EF?BF. ………………………………………………(1分) DFBF

20、(徐州市2012年模拟)(6分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE?CF,AF?DE.

求证:(1)△ABF≌△DCE;

(2)四边形ABCD是矩形. A D

B C E F

(第21题) 答案:解:(1)?BE?CF,

BF?BE?EF,CE?CF?EF,

?BF?CE. ······························· 1分 ?四边形ABCD是平行四边形,

?AB?DC. ······························ 2分 在△ABF和△DCE中,

?AB?DC,BF?CE,AF?DE,

?△ABF≌△DCE. ··························· 3分

(2)解法一:?△ABF≌△DCE,

??B??C. ······························ 4分 ?四边形ABCD是平行四边形,

?AB∥CD.

??B??C?180?.

??B??C?90?. ···························· 5分

·························· 6分 ?四边形ABCD是矩形.

解法二:连接AC,DB.

?△ABF≌△DCE,

??AFB??DEC.

??AFC??DEB. ··························· 4分 20

在△AFC和△DEB中,

?AF?DE,?AFC??DEB,CF?BE,

?△AFC≌△DEB.

?AC?DB. ······························ 5分 ?四边形ABCD是平行四边形,

·························· 6分 ?四边形ABCD是矩形.

21. (盐城地区2011~2012学年度适应性训练)(本题满分12分)如图,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.

(1)求证:四边形ABCD是正方形;

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,

得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.(3)若EG=4,GF=6,BM2,求AG、MN的长.

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD, ……2分

由AB=AD,得四边形ABCD是正方形. ……3分

222(2)MN=ND+DH. ……4分

理由:连接NH,由△ABM≌△ADH,得AM=AH,BM=DH,

∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°, ……6分

再证△AMN≌△AHN,得MN=NH, ……7分

222∴MN=ND+DH. ……8分

(3)设AG=x,则EC=x-4,CF=x-6,

22由Rt△ECF,得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去) ∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,

222设NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52. ……12分

22. (盐城地区2011~2012学年度适应性训练)(本题满分8分)如图,已知E、F分别是

□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.

(1) 求证:四边形AECF是平行四边形;

(2) 若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.

AFD

BEC21

证:(1)由□ABCD ,得AD=BC,AD∥BC. ……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE. ……3分

∴四边形AECF是平行四边形; ……4分

(2)由菱形AECF,得AE=EC,∴∠EAC=∠ACE. ……5分

由∠BAC=90°,得∠BAE=∠B,∴AE=EB. ……7分

∴BE=AE=EC, BE=5. ……8分

23、(2012年普陀区二模)(本题满分12分)

如图8,四边形ABCD中,AD//BC,点E在CB的延长线上,联结DE,交AB于点F,联结DB ,?AFD??DBE,且DE2?BE?CE.

(1) 求证:?DBE??CDE;

(2)当BD平分?ABC时,求证:四边形ABCD是菱形.

ABC

图8

2(1)证明:∵DE?BE?CE, ∴

(2分)

∴DEBE?. ……………………………………………………………CEDE?E??E, ∽ ……………………………………………………………(1分) ?DBE

?CDE.……………………………………………………………(1分)

∴?DBE??CDE. ……………………………………………………………(1

分)

(2) ∵?DBE??CDE,

又∵?DBE??AFD,

∴?CDE??AFD.……………………………………………………………(1

分)

∴AB//DC. ……………………………………………………………(1

分)

又∵AD//BC,

∴四边形ABCD是平行四边形 …………………………………………………(1

分)

22

∵AD//BC,

∴?ADB??1. …………………………………………………………(1

分)

∵DB平分?ABC,

∴?1??2. ………………………………………………………(1

分)

∴?ADB??2.

∴AB?AD. …………………………………………………………(1

分)

∴四边形ABCD是菱形. ……………………………………………………(1

分)

24、(2012年香坊区一模)本题(6分)

如图,四边形ABCD为矩形。F为BC边上的一点,AF的延长线交DC

的延长线于点G,

DE?AG,垂足为E,DE=DC.求证:AF=BC ABC

23

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