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初中数学平行四边形

发布时间:2013-10-06 13:03:20  

平行四边形

一、选择题

1、(2012苏州市吴中区教学质量调研)如图,在平行四边形ABCD中,BD=4cm,将平行四

边形ABCD绕其对称中心O旋转90°,则点D经过的路径长为( )

(A)4πcm (B)3πcm (C)2πcm (D) πcm

答案:D

2、(2012双柏县学业水平模拟考试)已知□ABCD的周长为32,AB=4,则BC等于【 】

A.4 B.12 C.24 D.28

答案:B

3、(海南省2012年中考数学科模拟)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( ) A D

A. AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D .AC=BD

答案:D

4、(2012年福州模拟卷)下列四边形中,对角线不可能相等的是 B C

A.直角梯形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形 第1题图 答案: A

二、填空题

1、如图,平行四边形ABCD中,AB=6,BC=4,∠A=60°,

要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形,使废料最少,

则所需铝板的面积最小应是_______

答案:

203

2(2012年南岗初中升学调研).在?ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,点E在边AD上,且AE:DE=1:3,连结BE,BE与AC相

交于点M,若

AC=6

,则M0的长 是 1

3、(2012广西贵港)如图所示,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD ?15cm2,S△BQC ?25cm2,则阴影部分

2

4、(盐城地区2011~2012学年度适应性训练)如图,□ABCD中,∠A=120°,则∠1= ▲ AD

° °.答案60

BC

5、(2012年香坊区一模)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,点E是CD的中点,?ABD的周长为l6cm,则?DOE的周长是 cm

答案:8

三、解答题

1(西城2012年初三一模).如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、

等边△ABE.已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.

(1)求证:AC=EF;

(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.

E 答案:略

2、(2012年上海青浦二模)如图,在平行四边形ABCD中,AB?5,BC?8,AE?BC,垂足为E,cosB? 3. 5

(1)求BE、DE的长;

(2)求?CDE的正切值.

2

答案:解:(1) ∵Rt△ABE中,cosB?

∴BE=ABcosB?5?

∴AE=BE, AB3?3. 552?32?4, AB2?BE2?

∵□ABCD 中,AD//BC,∴∠DAE=∠AEB=90o,AD=BC=8,

∴DE=AE2?AD2?42?82?4.

(2)∵CD=AB=5,CE=BC–BE=8–3=5,

∴CD=CE,

∴∠CDE=∠CED=∠ADE.

∴tan∠CDE=tan∠ADE=AE41??. AD82

3、(2012年浙江丽水一模)如图,已知平行四边形ABCD中,

点E为BC边的中点,延长DE,AB相交于点F.

求证:CD?BF.

答案:

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

?DC∥AB,即DC∥AF.

??1??F,?C??2.

∵E为BC的中点,?CE?BE.

?△DCE≌△FBE(SAS).?CD?BF 4、(2012年浙江金华一模)(本题8分)已知:如图,在□ABCD中,E是CA延长线上的点,F是AC延长线上的点,且AE=CF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)BE∥DF.

答案:

第1题答图

3

(1)共5分

?四边形ABCD是平行四边形

?AB?CD,AB?CD(2')

??BAC??DCA(1')

??BAC??BAE??DCA??DCF?180

??BAE??DCF(1')

?AE?CF

??ABE??CDF(1')

(2)共3分

??ABE??CDF

??E??F(2')

?BE?DF(1')

5、已知:如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF?BD于点O,

与AD,BC分别交于点E,F.

求证:⑴?BOF≌?DOE.

⑵DE?DF D 0

答案:略 F C

6、如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和

B’C相交于点O,连接BB’.

(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母); (2)求证:△AB’O≌△CDO.

A

7(2012山东省德州一模)已知:如图,在△ABC中,D、E、F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的∠DHF与∠DEF相等吗?为什么?

答案:解:∠DHF=∠DEF……………………………1’

如图. ∵AH⊥BC于

H

4 B

又∵D为AB的中点

∴DH=1AB=AD 2

∴∠1=∠2,同理可证:∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠DHF=∠DAF……… 4’

∵E、F分别为BC、AC的中点

∴EF∥AB且EF=1AB即EF//AD且EF=AD 2

∴四边形ADEF是平行四边形………………7’

∴∠DAF=∠DEF∴∠DHF=∠DEF……………8’

8、 (2012兴仁中学一模)(10分)如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.

E C

C

E B

【答案】解:由□ABCD得AB∥CD,

∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.

又∵E为BC的中点,

∴△DEC≌△FEB.

∴DC=FB.

由□ABCD得AB=CD,

∵DC=FB,AB=CD,

∴AB=BF.

9、(2012年北京市延庆县一诊考试)已知:如图,□ABCD中,点E是AD的中点,延长CE交BA的延长线于点F.

求证:AB=AF.

5 AFED

B

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD且AB=CD.

∴∠F=∠2, ∠1=∠D

∵E为AD中点,

∴AE=ED.

在△AEF和△DEC中

??F??2,? ??1??D,

?AE?ED,?

∴△AEF≌△DEC.

∴AF=CD.

∴AB=AF.

10、(杭州市2012年中考数学模拟)如图:在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,与两坐标轴交点为点A和点C,与抛物线y?ax2?ax?b交于点B,其中点A(0,2),点B(– 3,1),抛物线

与y轴交点D(0,– 2).

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 求点C的坐标;

(3) 在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是

以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案:

1?1?9a?3a?ba????2 解得?解:(1) 将(–3,1),(0,–2)代入得:???2?b?b??2??

∴ 抛物线的解析式为:y?121x?x?2 22

(2) 过B作BE⊥x轴于E,则E(–3,0),易证△BEC≌△COA

∴ BE = AO = 2 CO = 1

∴ C(–1,0)

(3) 延长BC到P,使CP = BC,连结AP,

6

则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形

过P作PF⊥x轴于F,易证△BEC≌△DFC

∴ CF = CE = 2 PF= BE = 1

∴ P(1,– 1)

将(1,– 1)代入抛物线的解析式满足

若?CAP?90?,AC = AP

则四边形ABCP为平行四边形

过P作PG⊥y轴于G,易证△PGA≌△CEB

∴ PG = 2 AG = 1

∴ P(2,1)在抛物线上

∴ 存在P(1,– 1),(2,1)满足条件

11.(2012广西贵港)(本题满分7分)

如图所示,在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点

K、L、M、N,使AK?CM、BL?DN.

答案:证明:∵四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形KLMN为平行四边形. M C AK ∴AD?BC,AB?CD,?A??C,?B??D……………1分

∵AK?CM,BL?DN,

∴BK?DM,CL?AN ……………2分

∴△AKN≌△CML,△BKL≌△DMN ………………………… 4分

∴KN?ML,KL?MN …………………………6分 ∴四边形KLMN是平行四边形. ………………………………………7分

12(柳州市2012年中考数学模拟试题)

(12分)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y?x?m与该二次函数的图

象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.

(1)求m的值及这个二次函数的关系式;

(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次

函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使

得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

7

答案:(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上,∴ 4=3+m. ∴ m=1.

2 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1).

22 ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)的图象上, ∴ 4=a(3-1), ∴ a=1.

22∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1). 即y=x-2x+1.

(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .

222∴ PE=h=yP-yE =(x+1)-(x-2x+1) =-x+3x. 即h=-x+3x (0<x<3).

(3) 存在.

解法1:要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC.

2∵ 点D在直线y=x+1上,∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x+3x=2 .

2即x-3x+2=0 .解之,得 x1=2,x2=1 (不合题意,舍去)

∴ 当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.

解法2:要使四边形DCEP是平行四边形,必需有BP∥CE.

设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵ 直线CE 经过点C(1,0),

∴ 0=1+b,∴ b=-1 .∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .

?y?x?12∴ ? 得x-3x+2=0. 2?y?x?2x?1解之,得 x1=2,x2=1 (不合题意,舍去)

∴ 当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.

13、(2012年上海市静安区调研)已知:如图,在□ABCD中,AB=5,BC=8,AE⊥BC,垂足为E,cosB?3. 5

求:(1)DE的长; (2)∠CDE的正弦值.

答案:

BE(第1

题图) 解:(1) ∵Rt△ABE中,cosB?,…………………………………………………(1分) AB

∴BE=ABcosB?5?

分)

8 3?3. ……………………………………………………(15

∴AE=

分) AB2?BE2?52?32?4,…………………………………………(2

∵□ABCD 中,AD//BC,∴∠DAE=∠AEB=90o,AD=BC=8,………………(1

分)

∴DE=AE2?AD2?

分)

(2)∵CD=AB=5,CE=BC–BE=8–3=5,∴CD=CE,………………………………(1分)

∴∠CDE=∠CED=∠ADE.………………………………………………………(1

分)

∴sin∠CDE=sin∠ADE=

分)

………………………………………(142?82?45.AE4.……………………………………(2??DE45

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