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初中数学相似三角形

发布时间:2013-10-06 13:03:21  

相似形

一、选择题

1(2012荆州中考模拟).在直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案:C

2、如图1,△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形,图中相似三角形(不包括全等)共有

( )

B.2对D.4对E

G (图1)

C

A

A.1对 C.3对 答案:C

3、(杭州市2012年中考数学模拟)如图,在Rt?ABC中,AB?AC,D、E是斜边BC上两点,且?DAE?45,将?ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到?AFB,连接EF,下列结

论:

?

AEAD

?; BECD

③?ABC的面积等于四边形AFBD的面积;

①?AED??AEF; ②

④BE?DC?DE; ⑤BE?DC?DE 其中正确的是( ) A.①②④ C.①③④

2

2

2

B

E D

(10题图)

B.③④⑤ D.①③⑤

答案:C

4、如图,在⊿ABC中,点D、E分别在AB、AC上,AD=3,DB=2,DE∥BC,则DE:BC的值是

A

32(A); (B);

2393(C); (D).

54

答案:D

二、填空题 1、(2012山东省德州四模)如图,△ABC,

A

第5题图

EC

G

1

S3

S1C

S2

E

F

△DCE,△GEF都是正三角形,且B,C,E,F在同一直线上,A,D,G也在同一直线上, 设△ABC, △DCE,△GEF的面积分别为S1,S2,S3.当S1?4,S2?6时,S3? _____________

答案:9

3、(2012上海市奉贤区调研试题)已知△ABC中,点G是△ABC的重心,过点G作DE∥BC,与AB相交于点D,与AC相交于点E,如果△ABC的面积为9.那么△ADE的面积是 .

答案:4

4、2012江西高安)长为1,宽为a的矩形纸片(1,如图那样折一下,剪下一个?a?1)2

边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为_____________.

答案:

第一次操作

第二次操作

5、(2012年,瑞安市模考)如图,△ABC中,AB?AC,D,E两点分别在边AC,AB

上,且DE与BC不平行.请填上一.个.你认为合适的条件: ,使

.(不再添加其他的字母和线段) △ADE∽△ABC

A E D AEAD??2??CACAB 答案: ?B??1或或

6、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,在△ABC中,DE∥BC,如果DE=1,BC=4,那么△ADE与△ABC面积的比是.

2

答案:1:16

7马鞍山六中2012中考一模).如图,△ABC中,CD⊥AB于D,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角形的是__________________.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)一定能确定△ABC

① ACD=∠B; ②∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶5;

② ③AC·BC=AB·CD; ④

CDDB

. ?

ADCD

A

B答案:①③④ D

8(2012年上海金山区中考模拟)如果线段AB=4cm,点P是线段AB的黄金分割点,那么较长的线段BP= cm.

答案:2;

9、(2012年上海金山区中考模拟如图,已知AD为△ABC的角平分线,DE//AB交AC于E,如果 答案:

AE2AB

?,那么ACEC3

A

E

D

第17题图

10、(盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD的边长为2,AE=EB线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM= 时,△AED与以M、N、C2 3

B

D

相似。答案CM=2或CM=;

55

三、解答题 1、(2012广西贵港)(本题满分12分)

图4

如图所示,在平面直角坐标系中,顶点为(4,?1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧), 已知A点坐标为(0,3).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D, 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物 线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;

(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,

C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,?PAC的 面积最大?并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积.

2

答案:解:(1)设抛物线为y?a(x?4)?1.……………1分

x

3

∵抛物线经过点A(0,3),∴3?a(0?4)?1.∴a?

∴抛物线为y?21.……………2分 411(x?4)2?1?x2?2x?3. ……………………………3分 44

(2) 答:与⊙C相交 …………………………………………………………………4分 证明:当1(x?4)2?1?0时,x1?2,x2?6. 4

∴B为(2,0),C为(6,0).

∴AB??…………………5分

设⊙C与BD相切于点E,连接CE,则?BEC?90???AOB.

∵?ABD?90?,∴?CBE?90???ABO.

又∵?BAO?90???ABO,∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC.……6分 ∴CECEBC??2.…………………………7分 .

∴.

∴CE??2OBAB ∵抛物线的对称轴为x?4,∴C点到的距离为2.

∴抛物线的对称轴与⊙C相交. ……………………………………………8分

(3) 解:如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q。

1x?3.…………………………………………9分 2

121设P点的坐标为(m,m?2m?3),则Q点的坐标为(m,?m?3). 42

112123 ∴PQ??m?3?(m?2m?3)??m?m.……………10分 2442

11233272 ∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m?m)?6??(m?3)?, 24244

27 ∴当m?3时,?PAC的面积最大为. ……………11分 4

3此时,P点的坐标为(3,?). ………12

4可求出AC的解析式为y??

x

2、(2012年上海市黄浦二模)如图9,已知?ABC中,?C?90?,AC?BC,AB?6,

,M是OB边上的点,且MN∥O是BC边上的中点,N是AB边上的点(不与端点重合)

延长CA与直线MN相交于点D,G点是AB延长线上的点,且BG?AN,联结MG,AO,

设AN?x,BM?y.

(1)求y关于x的函数关系式及其定义域;

4

(2)联结CN,当以DN为半径的?D和以MG为半径的?M外切时,求?ACN的正切值; (3)当?ADN与?MBG相似时,求AN的长.

图9

A

备用图a

BO

AB

A

备用图b

MBBN答案:解:(1)∵MN∥AO,∴,……………………………………(2分) ?

∵?C?90?,AC?BC,AB?

6,∴BC?, ∵O是BC

边上的中点,∴BO?

,………………………………………(1分) 6?x?6?x

,∴y??0?x?6?.………(2分)

46

∵AN?x,BM?

y?

(2)∵以DN为半径的?D和以MG为半径的?M外切,

∴DN?MG?DM,又DN?MN?DM,∴MG?MN,…………………(1分) ∴?MNG??G, 又?MNG??AND,∴?AND??G, ∵AC?BC,∴?CAB??CBA,∴?DAN??MBG,

又AN?BG,∴?AND≌?BGM, ∴DN?MG?MN,…………………(1分) ∵?ACB?90?,∴CN?DN,∴?ACN??D, …………………………(1分)

CO1

(1分) ?,

AC21

∵MN∥AO,∴?CAO??D,∴?CAO??ACN,∴tan?ACN?,…(1分)

2

∵?ACB?90?,AC?BC,O是BC边上的中点,∴tan?CAO?(3)∵?DAN??MBG,当?ADN与?MBG相似时, ①若?D??BMG时,过点G作GE?CB,垂足为点E. ∴tan?BMG?

GE1

x,………………………(1分)

?,∴BM?

BE,∴y?2ME2

,∴x?2.………………………………………………………(1分)

又y?

6?x?4

②若?D??G时,过点M作MF?AB,垂足为点F.

5

∴tan?G?1,∴BF?

BG,∴x?,……………………………………(1分)

22

,∴x?又y?6?x?

46.………………………………………………………(1分) 5

6. 5

(以上各题,若有其他解法,请参照评分标准酌情给分)

3、(2011年上海市浦东新区中考预测)已知:如图,点D、E综上所述,当?ADN与?MBG相似时,AN的长为2或

分别在线段AC、AB上,AD?AC?AE?AB.

(1)求证:⊿AEC∽⊿ADB;

(2)AB=4,DB=5,sinC= C1,求S?ABD. 3D

第21题图EB答案:证明:(1)∵AD?AC?AE?AB ADAE∴ ……………………………………(2分) ?ABAC

又∵∠DAB=∠EAC,

∴⊿AEC∽⊿ADB. ……………………………………(2分)

解 (2)∵⊿AEC∽⊿ADB,

∴∠B=∠C.…………………………………………(2分)

过点A作BD的垂线,垂足为F, 则AF?AB?sinB?4?

∴S?ABD

14?………………………(2分) 3311410??DB?AF??5??……………(2分) 2233

4、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,四边形ABCD中,AD//BC,点E在CB的延长线上,联结DE,交AB于点F,联结DB ,?AFD??DBE,且DE2?BE?

CE.

(1) 求证:?DBE??CDE;

(2)当BD平分?ABC时,求证:四边形ABCD是菱形.

答案:(1)证明:∵DE2?BE?CE,

6

∴DEBE. …………………………………………(2分) ?CEDE∵?E??E, …………………………………………(1分)

∴?DBE∽?CDE.……………………………………… (1分)

∴?DBE??CDE. ……………………………………………(1分)

(2) ∵?DBE??CDE,

又∵?DBE??AFD,

∴?CDE??AFD.………………………………………………(1分)

∴AB//DC. ………………………………………………(1分)

又∵AD//BC,

∴四边形ABCD是平行四边形 ………………………………………(1分)

∵AD//BC,

∴?ADB??1. ……………………………………………(1分)

∵DB平分?ABC,

∴?1??2. …………………………………………(1分)

∴?ADB??2.

∴AB?AD. ……………………………………………(1分)

∴四边形ABCD是菱形. ……………………………………………………(1分)

5、(2012石家庄市42中二模)操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C

、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E. ABC

探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,(找出两对即可);并选择其中一组说明理由;

②当点P位于CD的中点时,直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比. 答案:分两种情况:

①如图(1),

7

∵∠BPE=90°,

∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,

∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,

∴△BPC∽△PED.

如图(2),同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE.

②如图(1),∵△BPC∽△PED,

∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与BC的比,

∵点P位于CD的中点,

∴PD与BC的比为1:2,

∴△PED与△BPC的周长比1:2,

△PED与△BPC的面积比1:4

如图(2),

∵△BPC∽△BEP,

∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比,

∵点P位于CD的中点,

设BC=2k,则PC=k,BP=5k,

∴BP与BC的比为5:2,

△BEP与△BPC的周长比为:2,△BEP与△BPC的面积比为5:4.

同理:△PCE∽△BPC,周长比1:2,面积比1:4.

66、(2012年江西南昌十五校联考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2;

(1)先作△ABC关于直线成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;

(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到 8

△A2B2C2.

答案:解:如图:(1)…………………2分

(2)……………………………4分

7、(2012年上海黄浦二模)(本题满分14分)

如图,已知△ABC中,?C?90?,AC?BC,AB?6,O是BC边上的中点,N是

,M是OB边上的点,且MN∥AO,延长CA与直线MN相AB边上的点(不与端点重合)

交于点D,G点是AB延长线上的点,且BG?AN,联结MG,设AN?x,BM?y.

(1)求y关于x的函数关系式及其定义域;

(2)联结CN,当以DN为半径的?D和以MG为半径的?M外切时,求?ACN的正切值;

(3)当?ADN与?MBG相似时,求AN的长.

9

C

A

A

备用图a 备用图b

答案:解:(1)∵MN∥AO, MBBN, (2分) ?BOAB

∵?C?90?,AC?BC,AB?6,

∴BC?,

∵O是BC边上的中点,

, (1分) ∵AN?x,BM?y,

∴BO?6?x,

6

∴y?6?x?

4?0?x?6? (2

分)

解:(2)∵以DN为半径的?D和以MG为半径的?M外切,

∴DN?MG?DM,又DN?MN?DM,

∴MG?MN, (1分) ∴?MNG??G, 又?MNG??AND,

∴?AND??G,

∵AC?BC,

∴?CAB??CBA,

∴?DAN??MBG,

又AN?BG,

∴?AND≌?BGM,

∴DN?MG?MN, (1分) ∵?ACB?90?,

10

∴CN?DN,

∴?ACN??D, (1分) ∵?ACB?90?,AC?BC,O是BC边上的中点, ∴tan?CAO?CO1 ?, (1分)AC2

∵MN∥AO,

∴?CAO??D,

∴?CAO??ACN, 1, (1分) 2

(3)∵?DAN??MBG,当?ADN与?MBG相似时,

①若?D??BMG时,过点G作GE?CB,垂足为点E. GE1∴tan?BMG??, ME2

∴BM?BE,

∴tan?ACN?

∴y? (1分)

x,2

又y?6?x?

4,

∴x?2 (1分) ②若?D??G时,过点M作MF?AB,垂足为点F. ∴tan?G?1, 2

∴BF?BG,

∴x?, (1分)

2

又y?

∴x?6?x?4, 6 (1分) 5

6综上所述,当?ADN与?MBG相似时,AN的长为2或. 5

(以上各题,若有其他解法,请参照评分标准酌情给分)

8(2012山东省德州四模)在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.

⑴ 求tan∠FOB的值;

⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S;

⑶是否存在点C, 使以B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似,若存在,请求出所有满

足要求的B点的坐标;若不存在,请说明理由.

11

答案:解:(1)∵A(2,2) ∴∠AOB=45°

∴CD=OD=DE=EF=t ∴tan?FOB?t1?……………………(2分) 2t2

(2)由△ACF~△AOBt? OB∴OB?2t2t ∴S?OAB?(0?t?2)……………………(4分) 2?t2?t

(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°

∴只要OEEFOEEF或 ??EBEFEFEB

1t 2即:BE?2t或EB?

① 当BE?2t时, BO?4t,

∴32t?4t ∴t?0(舍去)或t? ∴B(6,0) …………………(2分) 22?t

② 当EB?1t时, 2

3t, 2(ⅰ)当B在E的左侧时,OB?OE?EB?

∴22t3?t ∴t?0(舍去)或t? ∴B(1,0) ……………(2分) 32?t2

(ⅱ)当B在E的右侧时,OB?OE?EB?

∴5t, 262t5?t ∴t?0(舍去)或t? ∴B(3,0) ……………(2分) 52?t2

9、(2012山东省德州四模)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC = 4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.

⑴当x为何值时,△APD是等腰三角形?

⑵若设BE=y,求y关于x的函数关系式;

⑶若BC的长可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.

C

Q

A 12 A B A

答案:解:(1)过D点作DH⊥AB于H ,则四边形DHBC为矩形, ∴DH=BC=4,HB=CD=6 ∴AH=2,AD=2…………………1分

∵AP=x, ∴PH=x-2,

情况①:当AP=AD时,即x=2……………………………2分

情况②:当AD=PD时,则AH=PH A H P ∴2=x-2,解得x= 4………………………………………………………·3分 情况③:当AP=PD时,

则Rt△DPH中,x2=42+(x-2)2,解得x=5…………………………………4分

∵2<x<8,∴当x为25、4、5时,△APD是等腰三角形…………………………5分 ⑵易证:△DPH∽△PEB ………………………………………………………………7分

48?x∴DH?PB,∴ 整理得:y=(x-2)(8-x)=-x2+x-4………8分 ?x?2yPHEB

⑶若存在,则此时BE=BC=4,即y=-x2+x-4=4,整理得: x2-10x+32=0

∵△=(-10)-4×32<0,∴原方程无解,……………………………………………9分 ∴不存在点P,使得PQ经过点C……………………………………………………10分 当BC满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过点C……………………………12分

2C Q B 13

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