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初中数学相似形的应用

发布时间:2013-10-06 13:03:21  

相似的应用

一、选择题

1、10.如图,△ABC中,点DE分别是ABC的中点,则下列结论:①BC=2DE;

A

②△ADE∽△ABC;③

ADAB

.其中正确的有【 】 ?

AEAC

DE

(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个

答案:A

2、如图,AB∥CD,AD,BC相交于O点,∠BAD=35°,

A

B

B

C

(第10题)

∠BOD=76°,则∠C 的度数是 ( ) A.31° B.35°

答案:C

3、平面直角坐标系中,已知点O(0,0)、A(0,2)、B(1,0),点P是反比例函数y??

C.41° D.76°

(第4题)

D

1

图 象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O、P、x

Q为顶点的三角形与△OAB相似, 则相应的点P共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:D

4、(2012年中考数学新编及改编题试卷)图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知; 甲的路线为:A?C?B。

乙的路线为:A?D?E?F?B,其中E为AB的中点。 丙的路线为:A?G?H?K?B,其中H在AB上,且AH>HB。 若符号「?」表示「直线前进」,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据, 则三人行进路线长度的大小关系为( )

(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 图(1)

图(2)

图(3)

答案:A

1

5、(2012广西贵港)小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把

手臂竖直举起,测得影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶

A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m

答案:A

二、填空题

1、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.

此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为_________m.

答案: 7

2、[淮南市洞山中学第四次质量检测,12,5分] 将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长和宽的比应为 答案:2:1

3、(杭州市2012年中考数学模拟)已知△ABC与△DEF相似且相似比为3︰5,则△ABC

与△DEF的面积比为 .

答案:9︰25;

4、(盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM= 时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相第1题图

似。答案CM=25或CM=; 55

5、(2012年,瑞安市模考)如图,在半圆O中,直径AE=10,四边形ABCD是平行四边形,

且顶点A、B、C在半圆上,点D在直径AE上,连接CE,若AD=8,则CE长为

答案:

2

6、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为_________m.

答案15. 7

(第1题)

三、解答题

1、(海南省2012年中考数学科模拟)(本题满分13分)如图,抛物线y=ax + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。

2(1)求抛物线y= ax + bx + c 的解析式;

(2)求△AOC和△BOC的面积比;

(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。

第24题图

答案:解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1,∴点B的坐标为(3,0),∴可设抛物线的解析式为y= a(x+1)(x-3) ………… 2分

又∵抛物线经过点C(0,-3),∴ -3=a(0+1)(0-3)

∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),

2即y=x-2x-3 ………………………… 4分 (2)依题意,得OA=1,OB=3,

11∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB 22=1∶3 ………………………………… 8分

(3)在抛物线y=x-2x-3上,存在符合条件的点P 。… 9分

解法1:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。

第24题图 ∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。

2∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,

3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。………… 11分

设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B(3,0)代入得 3k-3=0 ∴k=1。

∴y=x-3 ∴当x=1时,y=-2 .∴点P的坐标为(1,-2) …………… 13分

解法2:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D 22

3

∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。

2∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,

3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。………… 11分 DPBDDP2?,即 ? ∴DP=2 …… 12分 OCBO33

∴点P的坐标为(1,-2)……………………………………………… 13分 ∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴

2、(盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)(本题满分14分)

如图12,在△ABC中,∠ACB=90?,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H.

(1)试求sin∠MCH的值;

(2)求证:∠ABM=∠CAH;

(3)若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,请直接写出AD的长为________.

解:(1)在△MBC中,∠MCB=90?,BC=2,

又∵M是边AC的中点,

∴AM=MC=

2C H B (图12) 1BC=1,——————————————————(1分) 22 ∴MB=?2?5, ————————————————(1分)

又CH⊥BM于H,则∠MHC=90?,

∴∠MCH=∠MBC,——————————————————(1分)

∴sin

∠MCH=CM.————————————————(1分) ?BM———————(1分) (

2)在△MHC中,MH?CM?sin?MCH?

∴AM=MC=MH?MB,即22MAMB,————————(2分) ?MHMA

又∵∠AMH=∠BMA,

∴△AMH∽△BMA,——————————————————(1分)

∴∠ABM=∠CAH. ——————————————————(1分)

(3)2282、、.—————————————————(5分) 552

4

3.(2012年江苏南通三模)小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子

的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以下尝试.

(1)如图①,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .

图①

图②

图③

第1题图

(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,请计算此时横向影子A′B,D′C的长度和为多少?

(3)有n个边长为a的正方形按图③摆放,测得横向影子A′B,D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)

答案:27.(1)180cm.

(2)12 cm.

(3)记灯泡为点P,如图

∵AD∥A′D′,∴∠PAD=∠PA′D′,∠PDA=∠P D′A′.

∴△PAD∽△PA′D′. 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质,可得ADPN ???ADPM

设灯泡离地面距离为x,由题意,得 PM=x,PN=x?a,AD= na,A′D′= na?b,

5

nax?a

?

na?bx

4、(2012江苏无锡前洲中学模拟)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于

点O.

(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由; (第1题图1)

Q (2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BD,垂足为点R. ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?

若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;

②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似?

(第1题图2)

答案:(1)菱形(证明略)---------------3分

M D

H

(2)①四边形PQED的面积不发生变化,理由如下:

由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,∴S△PBO= S△F G E

图 ②

QEO,

∵△ECD是由△ABC平移得到得,∴ED∥AC,ED=AC=6, 又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,

∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED

11

=×BE×ED=×8×6=24. ---------------6分 22

Q Q

H P

(第28题1)

D 6

C

(备用图)

D

C

P G (第28题2)

D

②如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,

∵∠2是△OBP的外角,∴∠2>∠3,∴∠2不与∠3对应,∴∠2与∠1对应,

即∠2=∠1,∴OP=OC=3, 过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,△OGC∽△BOC,

9∴CG:CO=CO:BC,即:CG:3=3:5,∴CG=, 5

97∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×. 55

18187∴BD=PB+PR+RF+DF=x+x10,x分 555

5. (2012荆门东宝区模拟)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C

顺时针旋转,旋转角为?(0°<?<180°),得到△A1B1C.

AAA

E

B C CB CPB

1图1

(第2题图) 1 1图2 图3

(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;

(2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.

求证:S1∶S2=1∶3;

(3)如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当?等于多少度时,

EP的长度最大,最大值是多少?

答案:(1)易求得?A?CD?60, A?C?DC, 因此得证. ?

(2)易证得?ACA?∽?BCB?,且相似比为1:,得证.

(3)120°, 3a(当E,C,P三点在一条直线上时,即可求解)

2

7

6、(2012山东省德州一模)一天晚上,身高1.6米的张雅婷发现:当她离路灯底脚(B)12米时,自己的影长(CD)刚好为3米,当她继续背离路灯的方向再前进2米(到达点F)时,她说自己的影长是(FH)5米。你认为张雅婷说的对吗?若她说的对,请你说明理由;若她说的不对,请你帮她求出她的影长

答案: 解:张雅婷说的不对…………1’

如图,∵AB⊥BD,GC⊥BD

∴GC∥AB∴△DGC∽△DAB

∴GCDC1.63……5’ ?即?ABDBAB3?12

EFHF1.6HF …………9’ ?即?ABHB812?2?HF解之得:AB=8………………………7’ 同理可证:

解之得:HF=3.5……………………………………………11’

即张雅婷再继续沿背离灯光的方向前进2米,她的影长应为3.5米……………12’

8

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