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二次函数课件

发布时间:2013-10-06 17:07:50  

31.1.3二次函数的图 像与性质
哈69中哈西分校 陈 渌

二次函数的图像与性质
? ? ? ?

教学内容分析 教学对象分析 教学过程分析 教学设计说明

教学内容的分析
在传统教学中,函数观点的确立,主要靠教

师语言的描述,函数图象的画法主要靠教师和学
生动手画,这样不仅费时费力,更容易出现误差

,影响学生的理解。所以,通过几何画板,可以
使学生通过操作、观察,进而归纳和发现函数图

像的规律。有利于学生建立正确的函数观点,学
好函数的基本知识,使学生很直观地理解函数的 图象及其性质。

教学对象分析
传统的函数教学,由于缺少条件,所画的函数图象很容 易失真,特别是刚刚学习函数的学生来说,在平面直角坐标 系建立、单位长度的确定及列表、描点、连线只要有一面失 误,所画的图象就不准确。另外由于条件限制,选点数目有

限,所画图象的精确程度也与要求存在一定的差异。在探索
函数的性质时由于时间限制,所画的函数的图象有限,因而 在让学生归纳总结函数的性质时也有一定的难度。所以,我 借助几何画板的功能,帮助学生突破难点,节省绘图时间, 提高课堂效率。

教学目标
知识与技能:使学生掌握二次函数y ? a( x ? h) ? k (h ? 0, k ? 0) 2
2

的图像的做法及性质,进一步了解y ? ax 与 y ? a( x ? h) 2 ? k 图像的位置关系。

过程与方法
进一步培养学生探究、合作、交流能力,培养学生的观 察、分析、归纳、概括能力,进一步向学生渗透数形结合的 数学思想

情感态度价值观:
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点;通 过本节课的教学,渗透二次函数图像的对称美,渗透二次函 数的图像可互相转化的和谐的数学美

重点与难点
? 重点: y ? a( x ? h) 2 ? k (h ? 0, k ? 0) ? 掌握二次函数 图像的做法和性质。 ? 难点: y ? 二次函数 y ? ax2 的图像向 ? a( x ? h) 2 ? k (h ? 0, k ? 0) 的图像的转化过程。

教学过程分析
创设情境 复习反馈 探究问题 寻找规律
例题讲解 学以致用 基础巩固 变式训练 小结深化 反思收获

创设情境 引出新课

要修建一个圆形喷 水池,在池中心竖直 安装一根水管,在水 管的顶端安一个喷水 头,使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的 水平距离为1米处达到 最高,高度为3米,水 柱落地处离池中心3米, 水管应多长?

复习旧知 层层铺垫
5

g(x) = 2?x2 + 3
4

画板画图 我能行

3

2

1

f(x) = 2?x2

8

6

4

2

2

4

6

8

1

2

h(x) = 2?x2 3
3

4

多媒体展示

复习旧知

探究问题 寻找规律
完成下表,并比较3x2、3(X-1)2与3(X-1)2 -1的值

由特殊到一般

继续探索

规律

由特殊到一般 继续探索规律

多媒体展示 发现规律





一般的,抛物线 y ? a( x ? h) 2 ? k 与 y ? ax2 2 形状相同,位置不同。把抛物线 y ? ax 向上(下) 向左(右)平移,可以得到抛物线 y ? a( x ? h) 2 ? k 。 平移的方向、距离要根据h,k的值来决定。

抛物线有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点坐标是(h,k)

例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的 顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x -1 )2 +3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)2+3. 解得 3 2 1 1 2 3

a??

3 4

因此 y ? ?

3 ?x ? 1?2 ? 3 4

?0 ? x ? 3?

当x = 0时,y = 2.25,也就是说,水管应长2.25m.

小试牛刀
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点: (1)y =2( x+3)2+5;(2)y = -3(x-1)2-2; (3)y = 4(x-3)2+7; (4)y = -5(x+2)2-6. 解: (1)a=2>0开口向上,对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,5); (2)a=-3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-2);

(3)a=4>0开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,7);

(2)a=-5<0开口向下,对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2, -6).

变式训练
1、y=3x2的图象向 左 平移 2 个单 位,再向 下 平移 5 个单位,就得 到函数y=3(x+2)2-5的图象。
2,已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状和 开口方向相同,顶点为(-1,3),则它的 函数解析式为 y=-2(x+1)2+3 . 3、抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点在第 二 象限。

拓展提升:

一条抛物线的形状与抛物线

y ? ?2( x ? 2)

2

相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式. 解:设函数解析式为

y ? a ( x ? h) 2 ? k

因为所求抛物线的形状与 y 相同,所以a=-2.
所以这个函数的解析式为:

? ?2( x ? 2)
2

2

又因为所求抛物线顶点坐标是(-1,3),所以h=-1,k=3

y ? ?2( x ? 1) ? 3 2 即: y ? ?2 x ? 4 x ? 1 2 拓展:如果给我们的函数形式是: y ? ?2 x ? 4 x ? 1
图像如何画?

小结深化 反思收获
(h,k)

(h,k)

抛物线 开口方向 对称轴 位置 顶点坐标 最值 增减性

y=a(x-h)2+k(a>0)
向上

y=a(x-h)2+k(a<0)
向下 直线x=h
由h和k的符号确定

直线x=h
由h和k的符号确定

(h,k)

最低点

(h,k)最高点 当x=h时,最大值为k.
X<h,y随着x的增大而增大. X>h, y随着x的增大而减小.

当x=h时,最小值为k.
X<h,y随着x的增大而减小. X>h, y随着x的增大而增大.

板书

设计
左 右 平 移

y = a( x - h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x - h )2
左右平移

y=

ax2

左 加 右 减 上 加 下 减

结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同,位置不同。∣a∣越大开口越小。

作业:
114页:5.6题

教学设计说明
本节课我首先选择一个喷泉的视频,目的有两个,一方 面与后面例题相呼应使学生体会数学来源于生活也造福于生 活,另一方面,激发学生学习兴趣,引入新课。 将几何画板融入二次函数的教学中。主要目的有两个, 一方面是突破绘图的难点,传统的函数教学中,所画的函数 图象很容易失真,特别是刚刚学习函数的学生来说,在平面 直角坐标系建立、单位长度的确定及列表、描点、连线只要 有一面失误,所画的图象就不准确。另外由于条件限制,选 点数目有限,所画图象的精确程度也与要求存在一定的差异。 另一方面是,通过动态效果,可以使学生通过操作、观察, 进而归纳和发现函数图像的规律。有利于学生建立正确的函 数观点,学好函数的基本知识,使学生很直观地理解函数的 图象及其性质。数形结合的帮助学生突破难点,提高课堂效 率和教学效果。

以上是我对本节课的设计说明, 不当之处敬请各位专家同仁批评 指正.

谢谢大家!
——哈69中哈西分校 陈渌


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