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苏教版数学九年级上学期期末复习

发布时间:2013-10-07 10:23:15  

1.1 等腰三角形的性质和判定

▲知识点1:等腰三角形的性质定理1

等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)。

▲知识点2:等腰三角形的性质定理2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)。 ▲知识点3:等腰三角形的判定定理

如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。 ▲知识点4:等边三角形的性质与判定

等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形只有一条对称轴。

1.2 直角三角形全等的判定

▲知识点1:直角三角形全等的判定定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL”)。

▲知识点2:角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

▲知识点3:角平分线性质定理的逆定理

角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。

▲知识点4:三角形角平分线的性质定理

三角形的三条角平分线交于一点,这点到三角形三边的距离相等。

▲知识点5:一个内角为30°的直角三角形中的定理

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

▲知识点1:平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边相等;

(2)平行四边形的对角相等;

(3)平行四边形的对角线互相平分。

1

▲知识点2:矩形的性质

(1)矩形的4个角都是直角;

(2)矩形的对角线相等。

▲知识点3:直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

▲知识点4:菱形的性质

(1)菱形的4条边都相等;

(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

(3)当a,b分别表示两条对角线的长时,菱形的面积S=1

2ab。

▲知识点5:正方形的性质

(1)正方形的4个角都是直角,4条边都相等;

(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。▲知识点6:平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

▲知识点7:平行四边形的判定

方法1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

方法3:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

方法4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

▲知识点8:矩形的判定

方法1:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

方法2:对角线相等的平行四边形是矩形。

方法3:有3个角是直角的四边形是矩形。

▲知识点9:菱形的判定

方法1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2

方法2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

方法3:4边都相等的四边形是菱形。

▲知识点10:正方形的判定

方法1:有一组邻边相等的矩形是正方形。

方法2:有一个角是直角的菱形是正方形。

▲知识点11:反证法

在证明时,不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立,而是先提出与结论相反 的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立, 这种证明的方法称为反证法。

运用反证法证明命题的一般步骤:

(1)提出与结论相反的假设;

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确。

1.4 等腰梯形的性质和判定

▲知识点1:等腰梯形的判定

1.两腰相等的梯形是等腰梯形。(定义)

2.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

▲知识点2:等腰梯形的性质

1.等腰梯形的两腰相等,两底平行。(定义)

2.等腰梯形同一底上的两底角相等。

3.等腰梯形的两条对角线相等。

▲知识点3:解决梯形问题的基本思路

转化 分割、拼接

1.5 中位线

▲知识点1:三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

▲知识点2:梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

3

注:(1)已知条件中有中点,常取另一边中点,构造三角形或梯形中位线,运用三角形

或梯形中位线的性质说明某些线段相等或角相等。

(2)顺次连接任意四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形;

如果原四边形对角线相等,则得到的四边形是菱形;

如果原四边形对角线互相垂直,则得到的四边形是矩形;

如果原四边形对角线互相垂直且相等,则得到的四边形是正方形。

2.1 极差

▲知识点:极差

1.定义:一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范围,我们就把这

样的差叫做极差。

2.公式:极差=最大值-最小值。

3.特征:通常,一组数据的极差越小,这组数据的波动幅度也越小。

注:(1)极差反映了一组数据的波动范围,是刻画数据离散程度的最简单的统计量。 ..........

(2)极差的单位与原数据的单位一致。

2.2 & 2.3 方差与标准差

▲知识点1:方差的概念和计算

在一组数据x1,x2,?,xn中,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2, (x2-x)2,?,(xn-x)2,我们用它们的平均数,即

1[(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] n

2来描述这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差,记作s。 ....s2=

注:方差的单位是原数据单位的平方。

▲知识点2:标准差的概念和计算

通常,我们也用方差的算术平方根,即s=1[(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] n

来描述一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差,记作s。 ....

注:标准差的单位与原数据的单位是一致的。

▲知识点3:方差和标准差的意义

4

方差和标准差是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况。 ..............

通常,一组数据的方差或标准差越小,这组数据的离散程度或波动越小,这组数据就越.................................稳定。 ..

注:平均数、众数、中位数是反映一组数据集中趋势的统计量,极差、方差和标准差是衡量

一组数据离散程度的统计量。了解这些数量的统计意义,初步理解统计学的思想方法。

3.1 二次根式

▲知识点1:二次根式的定义 一般地,式子a(a≥0)叫做二次根式,a叫做被开方数。

注:(1)被开方数a可以是数字,也可以是单项式或多项式,但a必须是非负数。

(2)a≥0(a≥0),即一个非负数的算术平方根仍是一个非负数。

(3)如果几个非负数的和为零,则每个非负数都为零。

▲知识点2:二次根式的性质1 (a)2=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

▲知识点3:二次根式的性质2 a(a≥0),

a2=|a|=

-a(a<0),即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注:(1)a2中的a的取值范围是任意实数,即无论a取什么数,a2都有意义。

(2)在化简a2时,先将它化简成|a|,再根据绝对值的意义进行化简,一定要

弄清a是正数、零还是负数。

▲知识点4:a2与(a)2的异同点

不同点:(a)2中的a必须取非负数,a才有意义;a2中的a可以取任意实数。 相同点:当a为非负数时,a2=(a)2=a。

3.2 二次根式的乘除

▲知识点1:二次根式的乘法法则

5

a2=ab(a≥0,b≥0)。

▲知识点2:积的算术平方根的性质

ab=a2b(a≥0,b≥0),利用这个性质可以化简一些二次根式。 ▲知识点3:二次根式的除法法则

a=a

b(a≥0,b>0)。

▲知识点4:二次根式商的算术平方根的性质

aa

b=(a≥0,b>0),利用这个性质可以化简一些二次根式。 b

注:如果被开方数是带分数,应先化成假分数。

▲知识点5:二次根式的化简

(1)把被开方数中的分母化去

a=a?bababab

bb?b=b2==b(a≥0,b>0)

b2

(2)把分母中的根号化去

a=a?=ab

b(a≥0,b>0) bb?b

注意:一般地,二次根式运算的结果中

(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;

(2)被开方数中不含分母;

(3)分母中不含有根号。

3.3 二次根式的加减

▲知识点1:同类二次根式

注意:判断同类二次根式,必须先化为最简二次根式,再看被开方数是否相同。▲知识点2:二次根式的加减 一般地,二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式。 注意:合并同类二次根式,即把根式的系数相加减,根指数与被开方数不变。 6

▲知识点3:二次根式的混合运算

1.运算顺序与整式相同:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号内的。

2.在进行二次根式的混合运算时,整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。

3.二次根式混合运算的结果应写成最简形式。

(1)a(++d)=a2+a2c+a2d

(2)(a+)(c+d)=a2c+a2d+b2c+2d

(3)(a+)(a-)=(a)2-(b)2=a-b

(4)(a±)2=a+b±2ab

(5)(a+)÷(a-b)=a+b

a-b=(a)(a)

(a)(a)=a+b+2ab

a-b

4.1 一元二次方程

▲知识点1:一元二次方程的定义

经过化简后的整式方程,如果只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,这样的方 程叫做一元二次方程。

▲知识点2:一元二次方程的一般形式

任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式:

ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项,a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。

4x2-3x-2=0,二次项为4x2,二次项系数为4,一次项为-3x,一次项系数为-3,常数项为-2。

4.2 一元二次方程的解法

▲知识点1:直接开平方法

如果一个一元二次方程具有(x+h)2=k(k≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求

7

解,x=-h±k。

▲知识点2:配方法

先把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k的形式(其中h,k都是常数),如果k≥0, 再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

(1)配方法的理论依据是完全平方公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2。

(2)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤:

①移项:把常数项移到方程的右边;

②把二次项系数化为1:方程左右两边同时除以二次项系数;

③配方:方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方;

④把原方程写成(x+h)2=k的形式;

⑤当k≥0时,用直接开平方法求出方程的解。

▲知识点3:公式法

一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是 -b?b2-4acx=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式解一元二次 2a

方程的方法叫做公式法。若b2-4ac<0,则方程无实数根。

注:用公式法解一元二次方程,先要把方程化成一般形式,才能确定a,b,c的值。 ▲知识点4:一元二次方程的根的判别式

b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:

当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;

当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;

当b2-4ac<0时,方程没有实数根。

▲知识点5:因式分解法

如果一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积,那么这样的 一元二次方程就可以用因式分解法求解。

因式分解法的依据是两个因式的乘积等于0,这两个因式中至少有一个等于0。

4.3 用一元二次方程解决问题

▲知识点:列一元二次方程解决问题的一般步骤

1.审——审题,弄清已知量、未知量及问题中的等量关系。

2.设——设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异。

3.列——列方程,根据问题情境找出题中的等量关系,列出方程。

4.解——求出所列方程的解。

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5.检——检验方程的解是否正确,是否符合题意。

6.答——书写答案和答语。

注:(1)注意各类应用题中隐含的等量关系(如面积公式);

(2)注意文字语言与代数表达式的互相转化;

(3)注意单位问题:①设未知数时必须写清单位;②方程两边的单位必须一致。

5.1 圆

▲知识点1:圆的定义

1.圆的定义

如图所示,把线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着

点O在平面内旋转1周,另一个端点P运动所形成的图形叫做

圆。其中,定点O叫做圆心,线段OP叫做半径。

2.圆的表示方法

以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”。

注:确定一个圆需要两个条件:(1)圆心确定圆的位置;(2)半径确定圆的大小。 ▲知识点2:点和圆的位置关系

1.在平面内,点和圆有三种位置关系:点在圆内;点在圆上;点在圆外。

2.点和圆的位置关系的确定

如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么:

(1)点P在圆内 ?d<r;

(2)点P在圆上 ?d=r;

(3)点P在圆外 ?d>r。

注:符号“?”读作“等价于”。它表示从左端可以推出右端,从右端也可以推出左端。 ▲知识点3:与圆有关的概念

1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,如线段AC、BC。

2.直径:经过圆心的弦叫做直径,如线段AB。

3.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”

⌒ AB”表示。如以A、B为端点的弧记作AB ,读作“弧。

4.半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆。 优弧:大于半圆的弧叫做优弧,优弧一般用三个字母表示,如ABC 。 ⌒

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧,如 AC ⌒ 。

9

B

5.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角,如∠AOC、∠COB。

6.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。

7

8.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 ....

注:(1)直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径。

(2)半圆是弧,但弧不一定是半圆,半圆既不是优弧,也不是劣弧。

(3)等弧的前提条件必须是在同圆或等圆中,长度相等的两条弧不一定是等弧。

(4)注意弦与弧的区别:弦是圆上任意两点间的线段;

5.2 圆的对称性

▲知识点1:圆的对称性

1.圆的中心对称性 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

圆具有旋转对称性,即一个圆绕圆心旋转任何角度后,与它自身重合。

2.圆的轴对称性 圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

注:(1)圆的对称轴有无数条。

(2)不能说“每条直径都是圆的对称轴”,图形的对称轴是一条直线,应该说

“每条直径所在的直线都是圆的对称轴”。

▲知识点2:圆心角、弧、弦之间的关系

1⌒ =A⌒ 如图所示,若∠AOB=∠A’OB’,则AB’B ’,AB=A’B’。

2.圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注:不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,若丢掉这个条件,虽然圆心角相

等,但是其所对的弧、弦不一定相等。

▲知识点3:圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系

1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。

一般地,n°的圆心角对着n°的弧,n°的弧对着n°的圆心角。

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圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 ▲知识点4:垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 CP=DP ⌒ ⌒

如图所示,AB过圆心O,AB⊥CD,垂足为P → BC=BD ⌒ ⌒

AC=AD

(1)定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线,其本质是“过圆心”。 (2)定理中的“弦”为直径时,结论仍成立。

(3)定理中的“平分弧”意味着既平分弦所对的劣弧,又平分弦所对的优弧。

(4)由垂径定理可知,要作出弧的中点,就是要作出这条弧所对弦的垂直平分线。 (5)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。 ※ 垂径定理的应用技巧:

在求圆的弦、半径的过程中,通常利用垂径定理“垂直、平分”的特点构造直角三角形 进行解答。

如图所示,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点E,若设AB=a, OB=r,OE=d,CE=h,则这几条线段存在如下等量关系: (1)r2=d2+(

a2

);(2)r=d+h。 2

根据这两个式子,对于a,r,d,h这四个量来说,已知任 意两个量,可求出另外的两个量。

5.3 圆周角

▲知识点1:圆周角的概念

圆周角的两个条件:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都和圆相交。 ▲知识点2:圆周角定理

同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。

注:不能忽略“同弧或等弧”这个基本前提,不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。 ▲知识点3:圆周角定理的推论

直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

C

如图所示,若BC为⊙O的直径,则∠BAC=90°;

若∠BAC=90°,则BC为⊙O的直径。

圆周角定理的推论把圆的直径与90°的圆周角联系在一起,为勾股定理、全等三角形、 相似三角形等图形的应用创造了条件,是解决与圆有关的问题的常用方法。

相关知识复习

相似三角形的判定:有两个内角相等的三角形为相似三角形。

相似三角形的性质:相似三角形的三边成比例。

5.4 确定圆的条件

▲知识点1:确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

注:(1)过同一条直线上的三点不能作圆。

(2)“确定”一词应理解为“有且只有”。

▲知识点2:三角形的外接圆和外心、圆的内接三角形

三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 .......

外接圆的圆心叫做三角形的外心。 ......

这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 .......如图所示,⊙O为△ABC的外接圆,O为△ABC的外心,△ABC为⊙O

注:(1)锐角三角形的外心在三角形内部,

无论哪种三角形,它们的外心都是三角形任意两边的垂直平分线的交点。

(2)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等,等于外接圆的半径。

(3)一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形。

解题技巧:(1)掌握三角形外心的位置,常用此性质来求外接圆的半径、直径。

(2)等边三角形外接圆的半径是边长的3倍。 3

(3)根据已知弧作它所在圆的圆心,只需在已知弧上任取两条弦(这两条弦不互相平行),分别作它们的垂直平分线,垂直平分线的交点即为圆心。

5.5 直线与圆的位置关系▲知识点1:直线与圆的位置关系

1.直线与圆有3种位置关系:

12

直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交; ..

直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共 ..点叫做切点。

直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。 ..

l

l

l

相交 相切 相离

2.直线与圆的位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: (1)直线l与⊙O相交 ? d<r; (2)直线l与⊙O相切 ?d=r; (3)直线l与⊙O相离 ?d>r。

d<rd=rd>r

▲知识点2:切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如图所示,在⊙O中,经过半径OA的外端点A,作直 线l⊥OA,则直线l是⊙O的切线。

l

13

l

l

l

▲知识点3:切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

如图所示,已知直线l与⊙O相切于点A,OA为半径, 则l⊥OA。

l

注:有圆的切线时,常常连接圆心和切点,得切线垂直于半径,这是圆中常用的一种辅助线。 ▲知识点4:三角形的内切圆、三角形的内心的概念

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 .......内切圆的圆心叫做三角形的内心。 ......这个三角形叫做圆的外切三角形。 .......如图所示,△ABC的各边都与⊙O相切, ⊙O为△ABC的内切圆,点O为△ABC的内心。

注:(1)任意三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形。 (2)三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。

(3)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部。 (4▲知识点5:三角形的内心与外心的区别

▲知识点6:切线长的概念

P

在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的 线段的长,叫做这点到圆的切线长。 如图所示,PA和PB都为P点到圆的切线长。 注:切线和切线长是两个不同的概念,

切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,可以度量。

▲知识点7:切线长定理

如图所示,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B 是切点,那么PA=PB,∠APO=∠BPO。

P

注:(1)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例以及垂直关系的重要依据。

(2)常作的辅助线——如图所示,连接OA,OB,即连接圆心与切点。

5.6 圆与圆的位置关系

▲知识点1:圆与圆的位置关系

在同一平面内,两个不重合的圆有下列五种位置关系 两圆外离、两圆外切、两圆相交、两圆内切、两圆内含

(1)两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。 .. (2)两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切。 ..

(3)两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交。 ..

(4)两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切。 ..

(5)两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含。 ..

两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切

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注:(1)两圆同心是两圆内含的一种特例。

(2)外离和内含可归为一类,即相离,此时两圆无公共点。 (3)外切和内切可归为一类,即相切。两圆外切和两圆内切

统称为两圆相切,唯一的公共点叫做切点。 两圆同心

▲知识点2:圆与圆的位置关系的性质和判定

可以从两圆的半径与两圆圆心距的数量关系来说明两圆的位置关系。 如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,那么 1.两圆外离 ? d>R+r; 2.两圆外切 ? d=R+r;

3.两圆相交 ?R-r<d<R+r(R≥r); 4.两圆内切 ? d=R-r(R>r); 5.两圆内含 ? d<R-r(R>r)。

注:由两个圆组成的图形是轴对称图形,通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴。 ▲知识点3:相切的两圆的性质定理

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。 如图所示, 已知⊙O1与⊙O2相切(包括外切 与内切),切点为T,若连接O1O2,则切点T 一定在连心线O1O2上。

注:(1)两圆相切时,连心线是常见的一条辅助线。

(2)注意区分连心线和圆心距。连心线是一条直线,而圆心距是指线段的长度。

▲知识点4:相交的两圆的性质定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 如图所示,已知⊙O1,⊙O2相交于A,B两点,连接 AB和O1O2,则O1O2⊥AB,O1O2平分AB。

注:解决有关相交的两圆的问题时,常常要作出公共弦或连接交点与圆心,从而把两圆

的半径、公共弦的一半、圆心距转化到同一个三角形中,利用三角形的有关知识进 行解决。

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5.7 正多边形与圆

▲知识点1:正多边形的概念

1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

注:边数n=3的多边形(即三角形)中,“各边相等”和“各角相等”这两个条件 可以互相推出,满足其中任何一个条件都可以判定它是正三角形。

边数n>3的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件才

能判定它是正多边形。

2.正多边形和圆

将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 ........

这个圆是这个正多边形的外接圆。 ........

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 .......

▲知识点2:用量角器等分圆 先用量角器画一个等于360?1的圆心角,这个角所对的弧就是圆的,然后在圆上依次nn

截取这个圆心角所对的弧的等弧,就得到圆的n等分点,依次连接各等分点,即得此圆的内接正n边形。

这一方法的理论依据是同圆中相等的圆心角所对的弧相等。

▲知识点3:正多边形的性质

(1)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。

(2)一个正多边形,如果有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形。

(3)如果一个正多边形是中心对称图形,那么它的中心就是对称中心。

(4)正n边形的每个内角都等于(n-2)?180?。 n

5.8 弧长及扇形的面积

▲知识点1:弧长

在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:l=

▲知识点2:扇形的面积

1.扇形的定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

17

nπR。 180

2.扇形的面积公式

在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积的计算公式为:S扇形=在半径为R的圆中,弧长为l的扇形面积的计算公式为:S扇形=

n

πR2。 360

1

lR。 2

5.9 圆锥的侧面积和全面积

▲知识点1:圆锥的侧面展开图

如图所示的圆锥中,把连接圆锥的顶点S和底面圆 上任意一点的线段SA,SA1,??叫做圆锥的母线, 如图所示的l。

连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高, 如图所示的h。

注:(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线长l,弧长是圆锥底 面圆的周长2πr。

(2)圆锥的母线长都相等。

(3)圆锥的母线长l、圆锥的高h、圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=l2,利用这一关系,已知其中任意两个量,可以求出第三个量。 ▲知识点2:圆锥的侧面积

母线长为l,底面圆的半径为r的圆锥的侧面积公式为

S圆锥侧=S扇形=

1

22πr2l=πrl。

2

18

l

h r

2πr

A

O A1

注:圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积(或圆锥的表面积)。

6.1 二次函数

▲知识点1:二次函数的概念

一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数称为二次函数,其中

任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式。

因此,我们又把y=ax2+bx+c(a≠0)称为二次函数的一般形式。

▲知识点2:函数值

注:对于二次函数的自变量取值范围内的每一个自变量的值,都有唯一的函数值与之对 应,反之不一定成立。

▲知识点3:实际问题中二次函数的自变量的取值范围

一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x可以是任意实数。但在实际问题 中,由于受到实际问题的限制,二次函数自变量的取值范围往往不是全体实数。如表示时间、 面积、周长、边长等的自变量的取值均为非负数,表示人数的自变量的取值是正整数。 ▲知识点4:二次函数的表示方法 对于二次函数来说,其表示方法一般有三种,即数表法、图象法、关系式法。

(1)数表法:选取自变量x的值,计算对应的函数值y,并填入表格中。

(2)图象法:根据表中数据在直角坐标系中描出坐标(x,y)所对应的点,并将各点连

接起来,得到一条光滑曲线,这条曲线即是二次函数的图象。

(3)关系式法:用关系式表示二次函数时,一般表示为y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数,且a≠0)的形式,这个式子也叫做二次函数的解析式或表达式。

这三种表示方法彼此之间不但有联系,而且在某些情况下还可以互相转化。

学习二次函数的知识时,数形结合思想和转化思想是贯彻始终的基本思想。 ..........

6.2 二次函数的图象和性质

▲知识点1:二次函数y=ax2(a≠0)的图象

二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

19

▲知识点2:二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:列表 → 描点 → 连线。

注意:(1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的,由于x可取一切

实数,所以图象是向两方无限延伸的。

(2)点选的越多,图象越精确。

(3)图象必须平滑,顶点不能画成尖形的。

(4)抛物线y=ax2(a≠0)的开口大小由|a|决定:

|a|越大,抛物线的开口越窄;|a|越小,抛物线的开口越宽。 ▲知识点3:二次函数y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,且a≠0)的图象

二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,它是轴对称图形。

20

注意:(1)二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由y=ax2的图象平移得到:

当h>0时,可由y=ax2的图象沿x轴向右平移h个单位长度得到;

当h<0时,可由y=ax2的图象沿x轴向左平移|h|个单位长度得到。

当k>0时,可由y=ax2的图象沿y轴向上平移k个单位长度得到;

当k<0时,可由y=ax2的图象沿y轴向下平移|k|个单位长度得到。

(2)由于从y=a(x-h)2+k中可以直接看出抛物线的顶点坐标,所以通常把

y=a(x-h)2+k叫做二次函数的顶点式。

▲知识点4:二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它是轴对称图形。

y 21

注意:用描点法作图时,由于二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴不一定是y轴,所以取点时不宜直接在原点两侧对称取点,否则画出的图象缺乏对称性。应先确定对称轴,然后在对称轴的两侧对称取点。

▲知识点5:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的转化

利用配方法可将二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)2+k: y=ax2+bx+c=a(x2+bcbb2b2cx+)=a[x2+22x+()-()+] aa2a2a2aa

4ac-b2b24ac-b2b2=a(x+)+=a[x―(―)]+ 4a4a2a2a

▲知识点6:二次函数的最值

求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值时,要注意自变量x的取值范围:

4ac-b2b1.如果自变量x的取值范围是全体实数,则当x=―时, y最值=。 4a2a

b2.如果自变量x的取值范围是x1≤x≤x2,首先要看―是否在自变量的取值范围之内。 2a

22

4ac-b2b (1)若在此范围内,则当x=―时,y最值=。 4a2a

(2)若不在此范围内,则需进一步考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性。

① 若在x1≤x≤x2范围内时,函数y随x的增大而增大,则:

当x=x2时,y最大值=ax22+bx2+c;当x=x1时,y最小值=ax12+bx1+c。 ② 若在x1≤x≤x2范围内时,函数y随x的增大而减小,则:

当x=x1时,y最大值=ax12+bx1+c;当x=x2时,y最小值=ax22+bx2+c。 ▲知识点7:抛物线的平移问题

(1)有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k来讨论。

如果给出的是二次函数的一般式y=ax2+bx+c,应先通过配方法转化为顶点式。

(2)平移时,抛物线上所有点的移动规律都相同。所以研究抛物线的平移问题,只需

研究其顶点的移动情况,即可代表整条抛物线的移动情况。

(3)特别注意移动方向和h,k的符号之间的对应关系。

▲知识点8:确定二次函数的解析式

要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数:

(1)当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c,

列三元一次方程组求解。

(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点坐标时,通常设函数解析式为顶点式 y=a(x-h)2+k求解。

6.3 二次函数与一元二次方程

▲知识点:二次函数图象与x轴的公共点的个数情况

函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴公共点的横坐标。

因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系:

(1)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2

+bx+c=0有两个不相等的实数根,此时b2-4ac>0;

(2)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有且只有一个公共点,那么一元二次方

程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,此时b2-4ac=0;

(3)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点,那么一元二次方程ax2+

bx+c=0没有实数根,此时b2-4ac<0。

23

反之,根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,可以知道二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系。

注意:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式——b2-4ac。

-b?b2-4ac (2)一元二次方程ax+bx+c=0的两个根——x=。 2a2

(3)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴——直线x=―

2b。 2a4ac-b2b(4)二次函数y=ax+bx+c的顶点——(―,) 4a2a

以上表达式不要混淆。

6.4 二次函数的应用

▲知识点:二次函数在实际生活中的应用

函数应用题主要考查应用数学知识分析和解决实际问题的能力,求解与二次函数及其图 象相关的实际问题的一般步骤是:

1.读懂题意,弄清已知量和所求量的关系,建立适当的直角坐标系;

2.根据题意建立数学模型,设出函数解析式;

3.代入已知条件或已知点的坐标,用待定系数法求出函数解析式;

4.利用二次函数的图象和性质解决实际问题。

注意:(1)配方法的使用及数形结合思想、转化思想的运用。

(2)用二次函数解决实际问题时,函数中自变量的取值范围必须符合实际意义。

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