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利用轴对称解几何最值问题

发布时间:2013-10-07 10:23:16  

利用轴对称解几何最值问题

类型一:两点与一条直线
1.两点在直线异侧:
(1)已知:如图,点A、B在直线l的异侧,在l上找点P, 使PA+PB最小(即PA与PB的和最小).

A P

l
B

解:连结AB,交直线 l于点P,点P为所求.

(2)如图,点A、B在直线l的异侧,在l上找点P,使 PA ? PB 最小(即PA与PB的差的绝对值最小) M A P

l

B N 解:作线段AB的垂直平分线MN,交直线l于P, 则P点为所求.

(3)如图,点A、B在直线l的异侧,在l上找点P,使 PA ? PB 最大(即PA与PB的差的绝对值最大) A
P A’ B 解:作点A关于直线l的对称点A’,作射线BA’交直线l 于点P,则P点为所求.

l

实际应用:
如图,“西气东输”是造福子孙后代的创世工程. 要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两城镇供 气.泵站修在什么地方,可使所用的输气管线最短?

2.两点在直线的同侧:
(1)如图,直线l两侧有两点A、B.在直线l上求一 点C,使它到A、B两点的距离之和最小? B A P A’ 解:作点A关于直线l的对称点点A’,连接A’ B交 直线l于点P,则点P为所求.

l

(2)如图,点A、B在直线l的同侧,在l上找点P,使 PA ? PB 最小(即PA与PB的差的绝对值最小) M B A P

l
N

解:作线段AB的垂直平分线MN,交直线l于P, 则P点为所求.

(3)如图,点A、B在直线l的同侧,在l上找点P,使 PA ? PB 最大(即PA与PB的差的绝对值最大)
A B P

l

解:连接AB,延长AB交直线l于点P,则点P即为所求.

思考:
1.已知:如图,直线和点A,B,试在直线上找一点P, 使△PAB的周长最小,并说明理由.

B
A

l
2.已知:如图,直线和点A,B,在直线上找两点M,N, 且MN=5,点M在N的左边,使四边形ABNM的周长最小.

类型二:一点与两条直线
1.如图,P为∠MON内一定点,分别在OM与ON上找 点A、B,使△ABP的周长最小. P1 A M

P N P2

O

B

解:作点P关于OM、 ON的对称点P1、P2, 连接P1 、P2, P1 P2 与OM、ON分别交于 A、B,点A、B即为 所求.

思考:
1.已知:如图, ∠MON=90°,∠MON内有一定点P,在 OM、ON上各找出一点A、B使△PAB的周长最小. M

P

O

N

2.如图,公园内两条小河汇合,两河形成的半岛上有一处 古迹P,现计划在两条小河上各修建一座小桥,并在半岛 上修三条小路,连通两座小桥与古迹,这两座小桥应建在 何处,使所修建的道路最短?

类型三:两点与两条直线
如图,已知∠MON内有两定点A、B,分别在OM 和ON上各点C、D,使AC+CD+BD最小. M A’ C A B O D N

B’ 解:作点A关于OM的对称点A‘,作点B关于ON的对称点 B’,连接A’B‘, A’B‘与OM、ON分别交于点C、D,则此 时AC+CD+BD最小.

思考:
如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到

草地某一处牧马,再到河边饮马,然后牵 马回到帐篷,请你帮他确定这一天所走的最短路线.


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