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2013年中考平面几何探究试题

发布时间:2013-09-17 17:45:51  

2013年中考平面几何探究试题

(2013?绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:

(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:

(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足; ,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;

(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.

(自贡市)将两块全等的三角板如图①摆放,其中?ACB11??ACB?90°,

?A1??A?30°.

(1)将图①中的?A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是AC与AB的交点,点Q是A1B11

与BC的交点,求证:CP1?CQ;

(2)在图②中,若AP1?2,则CQ等于多少?

(3)如图③,在B1C上取一点E,连接BE、PE,设BC?1,当B时,求?PBEE?PB1

11

面积的最大值.

(1)证明:??B1CB?45°,?B1CA1?90° ??B1CQ??BCP(1′) 1?45° ····

又B1C?BC,?B1??B ?(2′) ?CQ?CP··· (3′) ?B1CQ??BCP1(ASA) ·· 1 1(2)作PD·········· (4′) ?CA于D, ??A?30°,?PD?AP111?1 2

PD

1

??

sin45° ° ···· (5′) ?CP·· (6′) ??PCD?45?1?11

CP1

························· 又CP(7′) 1?CQ,?CQ?

(3)解:??

PBE(8′) ?90°,?ABC?60° ??A??CBE?30° ?AC · 1

由旋转的性质可知 ?ACP∽?BEC ··········· (9′

) ?APC1??BCE ?1

?AP1?x ?BE?1:BE?AC:BC 设AP (10′) ·············· 在Rt?ABC中,

?A?30° ?AB?2BC?2

12

?S?PBE? ······· (11′) x(2?

x

)?

??x?1)2?12

······················· (12′)

1(2013?衢州)【提出问题】

(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】 ?x?1时 S?PBE(max)?

(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

(北京市)阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a?2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。

小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)

请回答:

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无

缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为

__________;

(2)求正方形MNPQ的面积。

参考小明思考问题的方法,解决问题:

如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S?RPQ?

解析:

3,则AD的长为__________。 3

(乐山市)阅读下列材料:

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,点M、N分别在边AB、BC上,且MN∥AD,记AD=a,BC=b,若AMmbm?an。

?,则有结论:MN?MBnm?n

请根据以上结论,解答下列问题:

如图2,3,BE、CF是△ABC的两条角平分线,过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3,交BC于点P1,交AB于点P2,交AC于点P3。

(1)若点P为线段EF的中点,求证:PP1=PP2+PP3;

(2)若点P在线段..EF上任意位置时,试探究PP1、PP2、PP3的数量关系,给出证明。

(2013?达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.

原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.

根据 SAS ,易证△AFG≌ △AEF ,得EF=BE+DF.

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D=180° 时,仍有EF=BE+DF.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

(2013?淄博)分别以?ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,△ABE,

△CDG,△ADF.

(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系(只写结论,不需证明);

(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

(2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;

(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;

(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.

(潍坊市)如图1所示,将一个边长为2

的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD,旋转角为?.

(1)当点D恰好落在EF边上时,求旋转角?的值;

(2)如图2,G为BC的中点,且0°<?<90°,求证:GD?ED;

(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,?DCD与?CBD能否全等?若能,直接写出旋转角?的值;若不能,说明理由. ''''''''

答案:(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=CECE1??,∴αCD'CD2=30°

(2) ∵G为BC中点,∴GC=CE′=CE=1,

∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α, ∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D

(3) 能. α=135°或α=315°

考点:图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定

点评:本题依据学生的认知规律,从简单特殊的问题入手,将问题向一般进行拓展、变式,通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强,要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.

(2013?黑龙江龙东地区)正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.

(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)

(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.

(2013?绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF

(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

(2013?本溪)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A<45°,点O为AB中点,一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合,一边OE经过点C,另一边OD与AC交于点M.

222(1)如图1,当∠A=30°时,求证:MC=AM+BC;

(2)如图2,当∠A≠30°时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出你认为正确的结论,并说明理由;

(3)将三角形ODE绕点O旋转,若直线OD与直线AC相交于点M,直线OE与直线BC相交于点N,连接MN,则MN=AM+BN成立吗?

答: 不成立 (填“成立”或“不成立”) 222

此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.

(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;

(2)在图1中,过点A作AM⊥EF于点

M,请直接写出AM和AB的数量关系;

(3)如图2,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△

ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.

(2013?营口)如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.

(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;

②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.

(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD+AF的值.

22

(2013? 德州)(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹);

(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?简单说明理由;

(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.

(2013.江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: ●操作发现:

在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三

角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是

①AF=AG=1AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB. 2

●数学思考:

在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如..

图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;

●类比探索:

在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.

答:.

【答案】 解: ●操作发现:①②③④

●数学思考:

答:MD=ME,MD⊥ME,

1、MD=ME;

如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG, ∵M是BC的中点,

∴MF∥AC,MF=1AC. 2

1AC, 2又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线, ∴EG⊥AC且EG=

∴MF=EG.

同理可证DF=MG.

∵MF∥AC,

∴∠MFA+∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°,

∴∠MFA=∠MGA.

又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°,

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,

即∠DFM=∠MEG,又MF=EG,DF=MG,

∴△DFM≌△MGE(SAS),

∴MD=ME.

2、MD⊥ME;

证法一:∵MG∥AB,

∴∠MFA+∠FMG=180°,

又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,

其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,

∴∠DME=90°.

即MD⊥ME;

证法二:如图2,MD与AB交于点H,

∵AB∥MG,

∴∠DHA=∠DMG,

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH

,

即∠DHA=∠FDM+90°,

∵∠DMG=∠DME+∠GME,

∴∠DME=90°

即MD⊥ME;

●类比探究

答:等腰直角三解形

【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高.

【解题思路】 (1) 由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DMB=45°也正确;(2)直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图1△DFM≌△MGE的启发,应想到取中点构造全等来证MD=ME,证MD⊥ME就是要证∠DME=90°,由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°,∠FMG可看成三个角的和,通过变形计算可得∠DME=90°. (3)只要结论,不要过程,在(2)的基础易知为等腰直角三解形.

【解答过程】 略.

【方法规律】 由特殊到一般,形变但本质不变(仍然全等)

【关键词】 课题学习 全等 开放探究

(2013?临沂)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.

(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为

的值;

的(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,

值是否变化?证明你的结论.

(2013鞍山)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF;

(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;探究型.

分析:(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.

(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.

解答:(1)证明:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF(SAS).

∴CE=CF.(3分)

(2)解:GE=BE+GD成立.(4分)

理由是:∵由(1)得:△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF,(5分)

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,(6分)

又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG(SAS).

∴GE=GF.(7分)

∴GE=DF+GD=BE+GD.(8分)

点评:本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.

(2013?包头)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.

(1)如图①,当时,求的值;

OA; (2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=

(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

(2013济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F

分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.

(1)求证:AF=BE;

(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可;

(2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥

NQ交AD于E,然后与(1)相同. 解答:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,

∴∠DAF+∠BAF=90°,

∵AF⊥BE,

∴∠ABE+∠BAF=90°,

∴∠ABE=∠DAF,

∵在△ABE和△DAF中,

∴△ABE≌△DAF(ASA),

∴AF=BE;

(2)解:MP与NQ相等.

理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,

则与(1)的情况完全相同.

点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,主要利用了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质,利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.

(2013?资阳)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.

(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;

(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);

①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由. ②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.

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