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一元一次不等式的解法(基础)知识讲解

发布时间:2013-10-07 12:07:58  

一元一次不等式的解法(基础)知识讲解

撰稿:孙景艳 责编:吴婷婷

【学习目标】

1.理解一元一次不等式的概念;

2.会解一元一次不等式.

【要点梳理】

【高清课堂:一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】

要点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,2x?50是一个一元一次不等式. 3

要点诠释:

(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);

②只含有一个未知数;

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:

相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法:

与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:x?a(或x?a)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;

(4)化为ax?b(或ax?b)的形式(其中a?0);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.

要点诠释:

(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用.

(2)解不等式应注意:

①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;

②移项时不要忘记变号;

③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.

3.不等式的解集在数轴上表示:

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来,能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.

要点诠释: 在用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

(1)边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈;

(2)方向:大向右,小向左.

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念

1.下列不等式是一元一次不等式的有哪些?

(1)3x+5=0 (2)2x+3>5 (3)31x?8 (4)≥2 (5)2x+y≤8 4x

【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,(1)是等式;(4)不等式的左边不是整式;(5)含有两个未知数.

【答案与解析】

解:(2)、(3)是一元一次不等式.

【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成:①不等式的左右两边分母不含未知数;②不等式中只含一个未知数;③未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可. 类型二、解一元一次不等式

2.解不等式:2(x?1)?3(x?1)?2,并把解集在数轴上表示出来.

【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的.

【答案与解析】 解:去括号,得:2x?2?3x?3?2

移项、合并同类项,得:?x?3

系数化1得:x??3

这个不等式的解集在数轴上表示如图:

【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时,必须改变不等号的方向. 举一反三:

【变式】不等式2(x+1)<3x+1的解集在数轴上表示出来应为 (

)

【答案】C

3.解不等式:2x?12x?1,并把它的解集在数轴上表示出来. ?1?32

【思路点拨】按基本步骤进行,注意避免漏乘、移项变号,特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时,不等号的方向要改变..

【答案与解析】 解:2x?12x?1 ?1?32

去分母,得2(2x-1)≤6-3(2x+1)

去括号,得4x-2≤6-6x-3

移项, 得4x+6x≤6-3+2

合并同类项,得10x≤5

系数化为1,得x≤1 2

这个不等式的解集在数轴上表示如图:

【总结升华】去分母时,不要漏乘没有分母的项.

举一反三: 【变式】若y1?

【答案】

解:∵y1?x?12x?5?3,y2??1,问x取何值时,y1?y2. 54x?12x?5?3,y2??1, 54

若y1?y2,

x?12x?5?3??1 54

101 即 x? 6

101 ∴当x?时,y1?y2.

6 则有

4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1,则a的值是_________.

【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集,然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a的方程,解方程即可求解.

【答案】-1

【解析】由已知得:x?a?1a?1,由??1,得a??1. 22

【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质,注意移项要改变符号.

举一反三:

【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x<a+1的解集是x>l,则a的取值范围是________.

【答案】a??1

【高清课堂:一元一次不等式 370042 例6】

【变式2】已知关于x的方程x?【答案】

解:由x?2x?m2?x的解是非负数,m是正整数,求m的值. ?332?m2x?m2?x,得x=, ?332

2?m≥0,即m≤2, 2因为x为非负数,所以

m是正整数,

所以m的值为1或2.

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