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一元一次不等式的解法(提高)知识讲解

发布时间:2013-10-07 12:07:59  

一元一次不等式的解法(提高)知识讲解

撰稿:孙景艳 责编:吴婷婷

【学习目标】

1.理解一元一次不等式的概念;

2.会解一元一次不等式.

【要点梳理】

【高清课堂:一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,2x?50是一个一元一次不等式. 3

要点诠释:

(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);

②只含有一个未知数;

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:

相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法:

与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:x?a(或x?a)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;

(4)化为ax?b(或ax?b)的形式(其中a?0);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.

要点诠释:

(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用.

(2)解不等式应注意:

①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;

②移项时不要忘记变号;

③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.

3.不等式的解集在数轴上表示:

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来,能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.

要点诠释: 在用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

(1)边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈;

(2)方向:大向右,小向左.

【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念

1.下列式子哪些是一元一次不等式?哪些不是一元一次不等式?为什么?

(1)x?0 (2)1??1 (3)x2?2 (4)x?y??3 (5)x??1 x

【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断.

【答案与解析】

解:(1)是一元一次不等式.(2)(3)(4)(5)不是一元一次不等式,因为:(2)中分母中含有字母,(3)未知量的最高次项不是1次,(4)不等式左边含有两个未知量,(5)不是不等式,是一元一次方程.

【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成:①不等式的左右两边分母不含未知数;②不等式中只含一个未知数;③未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可. 类型二、解一元一次不等式

2.解不等式:0.4x?0.90.03?0.02xx?5,并把解集在数轴上表示出来. ??0.50.032

【思路点拨】先用分数的基本性质,将分母变为整数,再去分母,在去分母时注意分数线兼有括号的作用.

【答案与解析】 解:将分母变为整数,得:4x?93?2xx?5 ??532

去分母,得:6(4x?9)?10(3?2x)?15(x?5)

去括号,合并同类项,得:?11x??99

系数化1,得:x?9

这个不等式的解集表示在数轴上,如下图:

【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时,必须改变不等号的方向. 举一反三: 【变式】解不等式:[(

【答案】 32x?1)?2]?x?2 234

x?1?3?x?2 4

3移项、合并同类项得:?x?6 4

系数化1,得x??8

故原不等式的解集是x?

?8 解:去括号,得

3.m为何值时,关于x的方程:x6m?15m?1的解大于1? ??x?632

【思路点拨】从概念出发,解出方程(用m表示x),然后解不等式.

【答案与解析】

解: x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1

3m?1 5

3m?1 由?1 5x?

解得m>2

【总结升华】此题亦可用x表示m,然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围. 举一反三:

【变式】已知关于x方程x?

【答案】1或2

4.已知关于x,y的方程组?2x?m2?x的解是非负数,m是正整数,则m?. ?33?3x?2y?p?1的解满足x?y,求p的取值范围.

?4x?3y?p?1

【思路点拨】先解出方程组再解不等式.

【答案与解析】

?3x?2y?p?1?x?p?5解:由?,解得:? 4x?3y?p?1y??p?7??

∵x?y

∴p?5??p?7

解得p??6

∴p的取值范围为p??6

【总结升华】有时根据具体问题,可以不必解出x,y的具体值.

类型三、解含字母的一元一次不等式

5.解关于x的不等式:(1-m)x>m-1

【思路点拨】由此不等式的结构,这里只需将未知数的系数化1即可,两边同时除以(1-m),但由不等式的基本性质我们知,若不等式两边同时除以一个负数,原不等号的方向得改变,这里1-m的符号我们不知道?故需分类讨论.

【答案与解析】 解:当1- m >0既m <1时,原不等式的解集为:x>-1;

当1- m <0既m >1时,原不等式的解集为:x<-1;

当1-m=0既m=1时,没有数能使得不等式成立,故原不等式无解.

【总结升华】不难发现,我们可以总结概括,如下:

若ax>b(a≠0), 当a?0时,不等式的解集是x?b

a;

当a?0时,不等式的解集是x?

举一反三: ba.

【变式1】解关于x的不等式m(x-2)>x-2.

【答案】

解: 化简,得(m-1)x>2(m-1),

① 当m-1>0时,x>2;

② 当m-1<0时,x<2;

③ 当m-1=0时,无解.

【高清课堂:一元一次不等式 370042 例8】

【变式2】(1)已知x<a的解集中的最大整数为3,则a的取值范围是______;

(2)已知x>a的解集中最小整数为-2,则a的取值范围是______.

【答案】(1)3<a≤4;(2)﹣3≤a<﹣2.

类型四、逆用不等式的解集

6. 若关于x的不等式mx?n的解集为x?3,则关于x的不等式5

(2m?n)x?m?5n?0的解集

【思路点拨】先根据第一个不等式确定m,n的关系或符号,再代入第二个不等式进行求解. 【答案】x?

【解析】

解:由mx?n的解集为x?10 73n33可知得:m?0,?,即n?m 5m55

将上式代入(2m?n)x?m?5n?0, 化简整理得:

所以x?7mx?2m,又m?0 510 7

【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m?0.

举一反三:

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