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立方根

发布时间:2013-10-07 17:30:46  

这是由8个同样大小的小立方体组成的魔方, 它的体积为8。 请问,它的棱长是多少呢?

已知一个立方体的棱长为2 , 求立方 体的体积。
3 体积V ? (棱长) ? 23 ? 8

已知一个立方体的体积为8 , 立方体的棱长是多少?

2 ?8
3

如果体积为27呢?

3 3 ? 27
103=1000

如果体积为1000呢?

回顾:

同理:

( ±3 ) ? 9
2

( 2 ) ?8
3

括号里的±3叫做9的 平方根(二次方根)

括号里的 2 叫做 8 的 立方根(三次方根)

3.3 立方根

平方根的定义: 若X2=a,则X就
叫做a的平方根。 立方根的定义: 若X3=a,则X就

叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

一般地,如果一个数的立方等于 a , 那么这个数就叫

a

的立方根,也叫做 a

的三次方根 ,记做 3


a

,读做“ 三次根

a ”。

根指数

3

a

表示

a 的立方根

被开方数
注意:根指数是3 时,绝对不能省略不写,且 —————— 一定要写在根号的左上角,不能写成 3 a 。

开平方:求一个数的平方根的运 算,叫做开平方。 开立方:求一个数的立方根的运 算,叫做开立方。

求一个数的立方的运算 , 叫做立方 运算。 求一个数的立方根的运算 , 叫做开立方 运算。

开立方与立方这两种运算有什么关系?
我们可以运用开立方和立方运算的互逆关系, 来求一个数立方根的值。

例1求下列各数的立方根:
1 (1)27 (2)-27 (3) 27

(4)-0.008
3

(5) 0

(1)解: 3 ? 27 ?
? 27的立方 根是3,即 27 ? 3
3

(2)解:( ? 3)? ?27 ?
3

? ?27的立方根是 ? 3,即 ? 27 ? ?3
3

1 3 1 (3)解 : ? )? ( 3 27 1 1 ? 的立方根是 ,即 27 3
(4)解: ? 0.2) ? ?0.008 ? (
3

3

1 1 ? 27 3

? ?0.008的立方根是 ? 0.2,即 3 ? 0.008 ? ?0.2

(5)解? 0 ? 0
3

? 0的立方根是0,即 0 ? 0
3

结合例1思考: 正数有立方根吗?有几个呢 负数呢? 零呢?

一般地,我们有以下事实:

一个正数有一个正的立方根; 一个负数有一个负的立方根; 0 的立方根是 0

讨论:归纳平方根和立方根的 异同点 被开方数 平方根 立方根

正数
负数 被开放数 是本身
两个,互 为相反数 没有平方根 一个,正立 方根 一个,负立 方根

0 0,1,-1 注意:平方根符号中的根指数省略不写,而立 方根不能省略。

从上面的例题可知:
3

? 27 ? -3

3

27 ? 3

由-3与3是互为相反数
3 可得: ? 27 与 3 27 是互为相反数



3

? 27 ? ? 27
3

这个做法其实就是把根号里的负号直 接从根号里面提到了根号外面 。

由此得出求一个负数的立方根的一般方法:

3

?a ? ? a
3

3

求一个负数的立方根,可以先求出这个负 数绝对值的立方根,然后再取它的相反数。 化简:
3


?0 平方根能不能这样? 不能!

3 ? - 3 ? 3 3 ? - 3 3) ( 3 3 ? 3- 3

3

a 表示 a 的立方根,则
于什么? 3

a

3

? a? 等 等于什么?
3 3

? a? = a
3 3

3

a

3

=

a

例2、求下例各式的值:
(1) 3

27 8

3 (2)

?(?3)

3

(3) 3

?64 ? 16

解:
(1) 3

(4)

?9?
3

3

27 3 ? 8 2
3

(3)

3

?64 ? 16 ? ?4 ? 4 ? 0

(2) 3

?(?3) ? 3 ?(?27)

? 3 27 ? 3

课内练习1:
判断下列说法是否正确,并说明理由:
8 (1) 27 的立方根是

±2/3

; ×

(2)负数不能开立方。×

课内练习2:求1,-1,-1/27的立方根

课内练习3:
分别求下列各式的值。
1 9 ? (1) 125 ;(2) -0.008 , (3) 64 16
3 3

3

练一练:
1、判断下列说法是否正确,并说明理由:

× (2)-8没有立方根;× (3)8的立方根是±2; × (4)-8的立方根是-2。√
(1)4的平方根是2;

2、填空:
3 (1)∵( -5 )3 = -125, ∴ -125 =

4 3 64 (2)∵( ) = ,∴ 27 3

3

64 27

=

-5 ; 4 ; 3

4、求下列各数的立方根

125 (1)0; (2)- 0.027; (3) - 8 (4)343.
5、计算
(1)3



- 8 - 25

3 (2)

0.001 + 0.01

3、判断下列说法是否正确,并说明理由:

(1)两个互为相反数的立方根也是互为相反数。



(2)平方根是它本身的数只有0。


(3)立方根是它本身的数只有0。 × 立方根是它本身的数有-1、1和0。


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