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一元二次方程知识点综合

发布时间:2013-10-07 17:30:46  

一元二次方程复习

一)一元二次方程的定义

ax2?bx?c?0(a?0)是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。ax?bx?0;ax?c?0;ax?0这三个方222

?b?b2?4ac2程都是一元二次方程。求根公式为x?b?4ac?0 2a??

二)ax2?bx?c?0(a?0)。a是二次项系数;b是一次项系数;c是常数项,注意的是系数连同符号的概念。

1、?=b?4ac当Δ>0时方程有2个不相等的实数根

2、当Δ=0时方程有两个相等的实数根

3、当Δ< 0时方程无实数根

4、当Δ≥0时方程有两个实数根(方程有实数根)

5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根

6、c=0,即缺常数项时,方程有2个不相等的实数根,且有一个根是0.另一个根为?2b a

7、当a、b、c是有理数,且方程中的Δ是一个完全平方式时,这时的一元二次方程有有理数实数根。

8若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根,

即① x1?x2??2bc x1?x2?(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 aa

2Δ≥0这个条件,否则解题就会出错。) ②一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)可变形为a?x?x1??x?x2??0的形式。可以

用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x1 x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:x2-(x1+ x2)+ x1 x2=0 10几种常见的关于x1,x2的对称式的恒等变形

①x1?x2??x1?x2??2x1x2 222

②x1?x2??x1?x2?x1?x1x2?x2332?2???x

21?x2??x1?x2??3x1x2 2??③x1?x2?x1?x2?x1?x2?x1?x2? 22④?x1?a??x2?a??x1?x2?a?x1?x2??a ⑤x?x211 ??1

x1x2x1?x2

1x1

2

?

1x2

2

?

2x1?x22

x1?x2

22

?x1?x2?2?2x1x2

?

x1?x22

?

⑦x1?x2?

x1?x22x1?x22?4x1x2

四)Δ与根的关系的综合运用(ax2

22方程ax2+bx+c =0 (a≠0)的两根之差的绝对值为:x1?x2?23 Δ=0,方程ax2+bx+c =0 (a≠0)有相等的两个实数根。 24 Δ< 0, 方程ax2+bx+c =0 (a≠0)无实数根.

25方程ax2+bx+c =0 (a≠0)一定有一根为“1”Δ≥0 ? a

?b?b2?4ac2

26方程ax+bx+c =0 (a≠0)的解为x?b?4ac?0

2a

2

??

27方程ax2+bx+c =0 (a≠0)若Δ≥0则 x1?x2??

?bc

x1?x2? x1?x2?

aaa

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