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证明(二)经典讲义(1)

发布时间:2013-10-07 17:30:48  

证明(二)

1.你能证明它们吗

一、主要知识点

1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等,对应角相等。

2、 等腰三角形的有关知识点。

等边对等角;等角对等边;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)

3、 等边三角形的有关知识点。

判定:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;

三条边都相等的三角形是等边三角形;

三个角都是60°的三角形是等边三角形;

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质:等边三角形的三边相等,三个角都是60°。

4、反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条

件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1: 如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:MD=MA.

例2 如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.

例3: 如图:已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,

求证: ① AC=AD; ②CF=DF。

例4 如图1、图2,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90o,

(1)在图1中,AC与BD相等吗?请说明理由(4分)

(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达力2的位置,请问AC与BD还相等吗?为什么?(8分)

BB

CD

D

OOC

图2 图1

例5 如图,在△ABC中,AB=AC、D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且CE=BD,连结DE交BC于F。(1)猜想DF与EF的大小关系;(2)请证明你的猜想。

2.直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

二、典型例题分析

例1 :说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:

(1)四边形是多边形;

(2)两直线平行,同旁内角互补;

(3)如果ab=0,那么a=0,b=0;

(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等

例2:如图,?ABC中,?C?90?,?1??2,CD?35,BD?,求AC的长。

22

例3 :如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。

例4:如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?

例5

:如图2-5所示.在等边三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P点,BQ⊥AD于Q.求证:BP=2PQ.

3.线段的垂直平分线 4.角平分线

一、主要知识点

1、 线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、 角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

3、 逆命题、互逆命题的概念,及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例1:(1)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=40,求∠NMB的大小

(2)如果将(1)中∠A的度数改为70,其余条件不变,再求∠NMB的大小

(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.

(4)将(1)中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

A

C

例2:在△ABC中,AB的中垂线DE交AC于F,垂足为D,若AC=6,BC=4,求△BCF的周长。

00

例3:如图所示,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于点E。求证:直线AB是线段CD的垂直平分线。

A

D

E

B

0 例4:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120,D、F分别为AB、AC的中点,

DE?AB,FG?AC,E、G在BC上,BC=15cm,求EG的长度。

A

例5::如图所示,Rt△ABC中,,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。求证:BE垂直平分CD。

C

E

A D B

例7、如图所示,AB>AC,?A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE?AB于E,DF?AC于F,求证:BE=CF。

A

C

F

相应练习

1、 如图,在△ABC中,AB=AC=BC,于Q。求证:

BP=2PQ

2、 如图,△ABC中,AB= AC,P、Q、R分别在

求证:点Q在PR的垂直平分线上。

3、 如图,△ABC中,AD为∠BACF,连

接AF。 求证:∠B=∠CAF

4、 已知:如图,AB∥CD,∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M,经过M的直

线EF与AB垂直,垂足为F,且EF与CD交于E

求证:点M为EF的中点

单元训练题

一、精心选一选,慧眼识金(每小题3分,共30分)

1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

2.下列说法中,正确的是( ).

A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D.面积相等的两个三角形全等

3.如图2,AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰三角形,如果CD=8cm,BE=3cm,那么AC长为( ).

A.4cm B.5cm C.8cm D.34cm

4.如图3,在等边?ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且BD?CE,AD与BE相交于点P,则?1??2的度数是( ).

A.45 B.55 C.60 D.75

5.如图4,在?ABC中,AB=AC,?A?36,BD和CE分别是?ABC和?ACB的平分线,且相交于点P. 在图4中,等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为( ).

A.9个 B.8个 C.7个 D.6个

00000

6.如图5,l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ).

A.1处 B.2处 C.3处 D.4处

7.如图6,A、C、E三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是

等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结

论:① △ACE≌△DCB;② CM=CN;③ AC=DN. 其中,

正确结论的个数是( ).

A.3个 B.2个 C. 1个 D.0个

8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,E 在同一条直线上(如图7),

可以证明?ABC≌?EDC,得ED=AB. 因此,测得DE的长就

是AB的长,在这里判定?ABC≌?EDC的条件是( ).

A.ASA B.SAS C.SSS D.HL

9.如图8,将长方形ABCD沿对角线BD翻折,点C落在点E的

位置,BE交AD于点F.

求证:重叠部分(即?BDF)是等腰三角形.

证明:∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥

BC

图8

又∵?BDE与?BDC关于BD对称,

∴ ?2??3. ∴?BDF是等腰三角形.

请思考:以上证明过程中,涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项?( ). ①?1??2;②?1??3;③?3??4;④?BDC??BDE

A.①③ B.②③ C.②① D.③④

10.如图9,已知线段a,h作等腰△ABC,使AB=AC,且

BC=a,BC边上的高AD=h. 张红的作法是:(1)作线段

BC=a;(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相

交于点D;(3)在直线MN上截取线段h;(4)连结AB,

AC,则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中,有错误的一步你认为是( ).

A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)

二、细心填一填,一锤定音(每小题3分,共30分)

1.如图10,已知,在△ABC和△DCB中,AC=DB,若不增加任何字母与辅助线,要使 △ABC≌△DCB,则还需增加一个条件是____________.

2.如图11,在Rt?ABC中,?BAC?90,AB?AC,分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD,CE,若BD=3厘米,CE=4厘米,则DE的长为

_______. 0

3.如图12,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠ABC等于_________度.

4.如图13,在等腰?ABC中,AB=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若?BCE 的周长为50,则底边BC的长为_________.

5.在?ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50,则 底角B的大小为________.

6.在《证明二》一章中,我们学习了很多定理,例如:①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方;②全等三角形的对应角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中,存在逆定理的是________.(填序号)

7.如图14,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠,点B 与点A重合,折痕为DE,则CD的长为________.

8.如图15,在?ABC中,AB=AC,?A?120,D是BC上任意一点,分别做DE⊥AB00

于E,DF⊥AC于F,如果BC=20cm,那么

DE+DF= _______cm.

9.如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线,垂足为D,交BC 于点E,若BE?4,则AC?_______ .

10.如图17,有一块边长为24m的长方形绿地,在绿地旁边B处有健身

器材, 由于居住在A处的居民践踏了绿地,小颖想在A处立一个标

牌“少走_____步,踏之何忍?”但小颖不知在“_____”处应填什么

数字,请你帮助她填上好吗?(假设两步为1米)?

三、耐心做一做,马到成功(本大题共48分)

1.(7分)如图18,在?ABC中,?ACB?90,CD是AB边上的高, 0

?A?300. 求证:AB= 4BD.

2.(7分)如图19,在?ABC中,?C?90,AC=BC,AD平分?CAB

交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6cm. 你能否求出?BDE的

周长?若能,请求出;若不能,请说明理由.

3.(10分)如图20,D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点,

BE与CD相交于O点. 现有四个条件:①AB=AC;②OB=OC;

③∠ABE=∠ACD;④BE=CD.

(1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正确的命..

题:

命题的条件是 和 ,命题的结论是 和 (均填序号).

(2)证明你写出的命题.

已知:

求证:

证明:

4.(8分)如图21,在?ABC中,?A?90,AB=AC,?ABC的

平分线BD交AC于D,CE⊥BD的延长线于点E. 求证:CE?

5.(8分)如图22,在?ABC中,?C?90.

(1)用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等.

(保留作图痕迹,不写作法和证明);

(2)当满足(1)的点P到AB、BC的距离相等时,求∠A的度数.

6.(8分)如图23,?AOB?90,OM平分?AOB,将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问 PC与PD相等吗?试说明理由.

四、拓广探索(本大题12分)

如图24,在?ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,

交BC的延长线于点M,若?A?40.

(1)求?NMB的度数;

(2)如果将(1)中?A的度数改为70,其余条件不变,再求 000001BD. 2图21 图23

?NMB的度数; 图24

(3)你发现有什么样的规律性,试证明之;

(4)若将(1)中的?A改为钝角,你对这个规律性的认识是否需要加以修改?

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