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证明(三)经典讲义(1)

发布时间:2013-10-07 17:30:48  

证明(三)

主要知识点:

一、三角形

直角三角形

按角分

钝角三角形 三角形

按边分

三条边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形(正三角形)

二、四边形

1. 知识结构如下图

(1)弄清定义及四边形之间关系图1:

正方形

直角梯形(2)四边形之间关系图2:

四边形 矩形方 菱形等腰梯形 直角梯形 梯形

2

3、一些定理和推论:

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。

推论:夹在两平行线间的平行线段相等。

推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

4、一些思想方法:

⑴方程思想:运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。

⑵化归思想方法:解四边形问题时,常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。

⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成,故可将复杂图形分解成几个基本图形,从而使问题简单化。

⑷构造图形法:当直接证明题目有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。

⑸解证明题的基本方法:①从已知条件出发探索解题途径的综合法;②从结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直至已知条件的分析法;③两头凑的方法,就是综合运用以上两种方法找到证明的思路(又叫分析—综合法)。

⑹转化思想:就是将复杂问题转化,分解为简单的问题,或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。

5、注意:

⑴四边形中基本图形

⑵梯形问题中作辅助线的常用方法

(

⑶菱形的面积公式:

S=两条对角线积的一半。

典型例题分析

例1.

已知:如图,在□ABCD 中,

E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥

. DB交CB的延长线于G. (1) 求证:△ADE≌△CBF; (2) 若四边形 BEDF是菱形,则四

边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论

例题2.已知:P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足,求证:AP=EF

.

例题3.如图:已知在正方形ABCD中,AC、BD交于点O,点E是BO的中点,DG?CE于点G,

交OC于点F. 如果正方形ABCD边长为10㎝.求EF的长.

A

G

C D

例4.如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,

求∠CEF的度数.

例5. 如图所示,在

BCD中,对角线AC、BD交于点O,BE平分?ABC的外角,且

AE?BE;求证:OE?

1

?AB?BC? 2

E

B

A

D

C

例6.如图所示,P为?ABC的BC边的垂直平分线上一点,且?PBC?1?A,BP,CP的延长2

线分别交AC、AB于点D、E,BD?CE;求证:BE?CD A

D

C B G

例7. 如图所示,在正方形ABCD中,点E在AD上,点F在CD上,?EBF?45?,BG?EF于点G;求证:AB?BG

A G

B

例8.如图,在梯形ABCD中,AD‖BC, ∠BAD=90°,AD+AB=14,(AB>AD) BD=10, BD =DC,E、F分别是BC、CD上的点,且CE+CF = 4.

(1) 求BC的长;

(2) 设EC的长为x,四边形AEFD的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的

定义域;

(3)在(2)的条件下,如果四边形AEFD的面积等于40,试求EC的长 .

E A D D F C F C

训练题一:

一、填空题

1.如图,E为矩形ABCD的边CD上的一点,AB=AE=4,BC=2,则∠BEC是 度.

A B C D C A D E B B B 第1题图 第2题图 第3题图 第5题图

2.如图,P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点,且PE⊥DB,垂足为E,PFD C

⊥CA,垂足为F,则PE+PF的长是 .

3.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,对角线AC⊥BD于O,DC=3,AB=8cm,

则梯形的高= cm .

4.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=5cm,BD=12cm,则该梯形

的中位线的长等于___________ cm .

5.如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,

那么阴影部分的面积为________ .

第5题图

6.等腰三角形的两边长为6㎝、8㎝, 则这个等腰三角形的周长为__________㎝.

7.梯形上、下底的比是a : b(a<b),它的中位线长为m,中位线与对角线交于M、N两点,

则MN的长为 ___________.

8.已知 在?ABC中,m为BC边上的中线的长,AB=8,AC=6,那么m的取值范围是________.

9.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和17㎝两部分,那么此三角形

的底边长是________㎝

二、选择题(前四题为单选,其余为多选)

1. 如图,O为□ABCD对角线AC、BD的交点,EF经过点O,且与边AD、BC分别交于

点E、F.若BF=DE,则图中的全等三角形最多有( )

A. 2对 B. 3对 C. 5对 D. 6对

2. 已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C=120°,

AB=8,则CD的长为 ( ) A. C 86 3

82 3B. 46 C. D. 42

3. 直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,E是CD中点,且AB=AD+BC,则△ABE是 ( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

4. 在□ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在

△ABC所在平面内的点E处.若AE过BC的中点,则□ABCD的面积等于 ( )

A. 48 B. 106 C. 127 D. 24

2

5.下列各组长度的线段中,可以组成三角形的是( )

A.6 , 2 , 7 B.6 , 2 , 8 C.5 , 6 , 7 D.6 , 2 , 10

6.如图,把直角三角形纸片,沿过顶点B的直线BE折叠,直角顶点C落在AB上。如果C?EBA是等腰三角形,那么下列结论正确的是??????( )

?A.?A?30 B.点C与AB中点重合

C. 点E到AB的距离等于CE的长 7.下列命题中,正确的是( )

A.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合

C.两个成轴对称的图形一定全等

D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形

8.如图,点C是?MON内一点,且CA=CB.下面说法正确的是?????( )

M A.点C在?MON的角平分线上

B.点C在线段AB的垂直平分线上

C.OC是AB的垂直平分线

D.OC是?MON的角平分线

9.如图:已知在?ABC中,AB=AC,?BAC?90?,直角?EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当?EPF在?ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),A下列结论始终正确的是( )

A.AE=CF B.?EPF是等腰三角形 E

C.S四边形ARPF

三、证明题

1.如图:在梯形ABCD中,AB//CD,中位线EF=7㎝,对角线AC?BD,?BDC=30?,求梯形的高AH.

D.AB=AE BB N 1=S?ABC 2CD.EF=AP BPBEC

2.如图:已知在平行四边形ABCD中,AE?BC于点E,BE:EC=1:3,点F、G、H分别是AB、AE、CD的中点,EF=5,GH=21 求(1)AD的长 (2)梯形AECD的面积

B

AEG

C

HD

3. 如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点M为CD上一动点(与点C不重合),将矩

形沿某一直线对折,使点B与点M重合,折痕与AD交于点E,与BC交于点F.

(1)写出图中全等的三角形(不包括虚线所在三角形);

(2)设CM=x,AE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围; (3)是否存在点M的位置使∠BEM=90,若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.

训练题二

1如图1,已知BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需要增加的一个条件是________(填上一个即可)。

2.如图2:四边形ABCD是正方形,?ABE是等边三角形,点E在正方形外部,那么

B

A

D M

C

?AED=_______度。

3如图3:在Rt?ABC中,?C=90?,BD平分?ABC交AC于D,DE是斜边AB的垂直平分线,且DE=1㎝,则AC=_______㎝.

4.如图4:在?ABC中,有一正方形DECF,如果AD=29㎝,DB=19㎝,那么S?ADE+S?BDF=_______㎝.

A

F

D

E

2

F

D

B

AEBABCD

(图

1) (图2) (图3) (图4)

5. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形

6. 已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较短的对角线是 ( ) A. 3 OE=OF. 求证:AE⊥BF.

6.如图:已知正方形ABCD的边长为5,E是BC上一点,BE : EC=2 : 3,M、N分别在CD、AB上,以M、N为折痕,使点A与AC上的点E重合.求(1)BN的长(2)S四边形ANEM

DE B B. 63 C. 3 D. 6 5 已知:如图,在正方形ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F分别在OB、OC上,且A F C

D AN单元评估试卷

1.下面给出的条件中,能判定一个四边形是平行四边形的是 ( )。

A.一组邻角互补,一组对角相等。 B.一组对边平行,一组邻角相等。

C.一组对边相等,一组对角相等。 D.一组对边相等,一组邻角相等。

2.顺次连接矩形四条边的中点,所得到的四边形一定是 ( )。

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形

3.下列说法错误的是 ( )。

A.有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。B.有一个角是直角的梯形是直角梯形。

C.等腰梯形的两底角相等。 D.直角梯形的两条对角线不相等。

4.如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置。 若∠EFB =65°,则∠AED′等于 ( )。

A.50° B.55° C.60° D.65°

5

ABCD中,O是对角线的交点,不能判定这个平行四边

形是正方形的是 ( )。

A.∠BAD=90°,AB=AD B.∠BAD=90°,AC⊥BD

C.AC⊥BD,AC=BD D.AB=AC,∠BAD=∠BCD

6.如图2,□ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则四边形BCEF的周长为 ( )

A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6

7.给出下列命题:①四条边相等的四边形是正方形;②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形;③有一个角是直角的平行四边形是矩形;④矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

A

PFD

如图2 如图3 C

8、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是( )

A 2 对 B 3对 C 4对 D 5 对

9、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( )

A .内角和是360°; B. 对角相等; C. 对边平行且相等; D. 对角线互相垂直.

10、如图3,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为 ( )

A.13 5B.5 2 C.2 D.12 5

二、耐心填一填:(把答案填放相应的空格里。每小题3分,共24分)

11.在ABCD中,已知∠ABC=60°,则∠BCD=____________。

12.任意四边形的四边中点依次相连构成的四边形是__________

矩形四边中点依次相连构成的四边形是_____________________

菱形四边中点依次相连构成的四边形_______________________

对角线互相垂直的四边形四边中点依次相连构成的四边形________________-

13.已知△ABC中,AB=12㎝,BC=10㎝,AC=8㎝,D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点,则△DEF的周长为___________cm。

14.菱形ABCD中,对角线AC、BD的长分别为6㎝和10㎝,则菱形的面积是______㎝2。

15.如图2,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O且AC=8,如果∠AOD=60°,那么AD=_________ 。

图4 D 16.已知正方形ABCD的对角线长为9㎝,则正方形ABCD的面积为_________㎝2。

17.菱形ABCD中,若周长是20㎝,对角线AC=6㎝,则对角线BD=__________㎝。

18.如图3,直线l是四边形ABCD的对称轴,若AB=CD,则下面的结论:①AO=CO;②AB∥CD;③AC⊥BD;④AB⊥BC。其中正确的结论有:________。

19、如图4,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只须补充条件__________________,

就可以判定它是一个菱形

三、细心做一做:(本大题共5小题,每小题6分,共30分)

20、求以长为8,宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长。

21、矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F是AC的三等分点,求△BEF的面积。

22、矩形ABCD的周长是56 cm,它的两条对角线相交于O,△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm,求(1)AB,(2)BC的长?

23、若等腰梯形两底的差等于一腰的长,求最小的内角是。

24、如图8,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOD=60°,AB=2,AE⊥BD于点E,求OE的长?

四、勇敢闯一闯:(本大题共 2小题,每小题 8分,共16分)

25、如图9,点D是△ABC中 BC边上的中点,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为E、F,且BE=CF。

(1)求证:△ABC是等腰三角形;

(2)当∠A=90°时,试判断四边形AEDF是怎样的四边形,证明你的结论。

26、如图10,正方形ABCD边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H。

(1)求证:①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE。

(2)当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?请说明理由。

综合题

1.如图四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B、C不重合),AE⊥DG于E,CF∥AE交DG于F.

(1) 在图中找出一对全等三角形,并加以证明;

(2) 求证:AE=FC+EF.

2. 如图在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.

求证:PM = QM

3.如图在梯形ABCD中,AB∥DC,过对角线AC的中点O作EF?AC,分别交边 AB,CD于点E,F,连接CE,AF.

(1)求证:四边形AECF是菱形;

(2),若EF?4,OF:AO=2:5求四边形AECF的面积

4.如图△ABC中,∠ACB=90度,AC=2,BC=3.D是BC边上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于点E,CF//AB交直线DE于F.设CD=x.

(1) 当x取何值时,四边形EACF是菱形?请说明理由;

(2) 当x取何值时,四边形EACD的面积等于2 ?

AB

5.如图①,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE。(不需要证明)

(1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF,则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如图③,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由。

(3)如图④,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程。

6.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以每秒1厘米的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒3厘米的速度运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达端点时,0另外一点也随机停止运动。设运动的时间为t秒。

(1) 当t等于多少时,四边形PQCD为平行四边形?

(2) 当t等于多少时,四边形PQCD变为等腰梯形?

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