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锐角三角函数

发布时间:2013-10-08 08:02:43  

(1)
德化六中:许瑞献

一.知识结构

脑中有“图”,心中有“式”

我们已经知道,如图:直角三角形ABC可以简 记为Rt△ABC,直角∠C所对的边AB称为斜边, 用c表示,另两条直角边分别叫∠A的对边与邻 边,用a、b表示. B

斜边c

∠A的对 边a
C

A

∠A的邻边b

如图,在Rt△MNP中,∠N=90゜. MN ∠P的对边是__________,∠P的邻边是 PN _______________; ∠M的对边是__________,∠M的邻边是 PN _______________; MN
N

P

M

B3
? 观察图中的Rt△AB1C1、 B2 B1

Rt△AB2C2和Rt△AB3C3, 它们相似吗?
A

C1 C2

C3

Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 B3C3 B2C2 B1C1 所以 AC1 =__________=__________. AC3 AC2 可见,在Rt△ABC中,对于锐角A的每一个 确定的值,其对边与邻边的比值是唯一确定 的.

B3

想一想
B1

B2

A

C1 C2

C3

对于锐角A的每一个确定的值,其对 边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边 的比值也是惟一确定的 吗?

注意:
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.

2. 三角函数的实质是一个比值,没有单位,而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.

3. sin A、cos A、tan A、cot A都是表达符号,它们是一 个整体,不能拆开来理解.
4. sin A、cos A、tan A、cot A中∠A的角的记号 “∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数 字表示的角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成 sin1.

二、知识要点回顾 1、在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B为锐角,
它们所对的边分别为 、 、b ,其中除直角 外,

c a

c

B

其余的5个元素之间有以下关系: ⑴ 三边之间的关系:a 2 ? b 2 ? c 2
⑶ 边角之间的关系: A

?A ? ?B ? 90 0 ⑵ 锐角之间的关系:

c


a
b
C

a sinA= ,cosA= b , tanA= a ,cotA= b c b a c b b a a sinB= ,cosB= ,tanB= , cotB= c a c b
正弦、余弦的取值范围:

[

0<sina<1 , 0<cosa<1

]

试一试
1、下图中∠ACB=90°, (1)指出∠A的对边、邻边。
B D

(2)CD⊥AB
(3)sinA可以表 示为 A

C

2、上题中如果CD=5,AC=10,

1 则sinA= 2

求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函 数值.
B 6 A C

8

小试身手
1.设Rt△ABC中∠ACB=90°, ∠A ∠B、 ∠C的对边分别a 、b 、c根据下列条件求 ∠B的四个三角函数值

(1)a = 3 (2)a = 5 2.猜一猜 做一做 tan A?cot A= 1

b=4 c = 13

sin A ? cos A ? 1
2 2

4、同角的三角函数关系:

sin ? ? cos ? ? 1 (2) 倒数关系: tan? ? cot? ? 1
(1)平方关系:
2 2

(3)商数关系:

sin ? cos? tan? ? ; cot? ? . cos? sin ?

(4)余角余函数之间的关系:

sinA=sin(90o_B)=cosB, cosA=cos(900_B)=sinB,
tanA=tan(900_B)=cotB, cotA=cot(900_B)=tanB

示例:
4 在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA= 5 求AC 、tanB
解:在Rt△ABC 中,∠C=90°, ,AB=10 .

B

4 ∵sinA= BC =
AB

∴BC=AB× 5 =8 AB 2 ? BC 2 =6 ∵AC=
AC ∴tanB= BC

5 4

AB=10

?

3 4

A

C

(1)在Rt△ABC 中∠ACB=90° , BC:AC=3:4 3 cos A=4/5 5 (2)( tan20o cot20o )· =1, 2 0 2 0 (3)( cos 50 )+ sin 50 =1 (4)把Rt△ABC的各边都扩大5倍得Rt△ A1B1C1 则锐角A, A1的余弦值关系是( A ) A cos A= cos A 1 B 3cos A = cos A 1 C cos A= 3cos A1 D 不能确定

在Rt△ABC 中, ∠ACB=90° , AB=5 BC=3 CD⊥AB 求 A sin∠BCD

D B C

例题4

在Rt△ABC中,∠C=90°:

c ? sin A c ? cos A ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________。
已知一锐角、斜边,求对边,用锐角的正弦; 求邻边,用锐角的余弦。

b cos A b ? tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________。
已知一锐角、邻边,求对边,用锐角的正切; 求斜边,用锐角的余弦。

a ⑶已知∠A、 a,则b=__________;c=_________。 sin A 斜边 a ? cot A
已知一锐角、对边,求邻边,用锐角的余切; 求斜边,用锐角的正弦。

B
对边

c

a

c ?a (4)已知a、c,则b=__________ 。
2 2



A

已知任意两边,求第三边,用勾股定理

邻边 b

C

布置作业 P93
1、 2

再见


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