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三角函数第二节

发布时间:2013-10-08 08:02:45  

0,450,600角的三角函数值 30

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活动筋骨

锐角三角函数定义

脑中有“图”, 心中有“式”
?A的对边 sin A= 斜边 ?A的对边 tan A= ?A的邻边
图 19.3.1 ?A的邻边 cos A= 斜边

cot A=

?A的邻边 ?A的对边

锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数

例题1

在Rt△ABC中,∠C=90°:

c ? sin A c ? cos A ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________。
已知一锐角、斜边,求对边,用锐角的正弦; 求邻边,用锐角的余弦。

b cos A b ? tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________。
已知一锐角、邻边,求对边,用锐角的正切; 求斜边,用锐角的余弦。

a ⑶已知∠A、 a,则b=__________;c=_________。 sin A 斜边 a ? cot A
已知一锐角、对边,求邻边,用锐角的余切; 求斜边,用锐角的正弦。

B
对边

c

a

c ?a (4)已知a、c,则b=__________ 。
2 2



A

已知任意两边,求第三边,用勾股定理

邻边 b

C

4、同角的三角函数关系:

(1)平方关系:
(2) 倒数关系:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? cos ? ; cot ? ? . (3)商数关系: tan ? ? cos ? sin ?
(4)余角余函数之间的关系:

tan ? ? cot ? ? 1

sinA=sin(90o_B)=cosB, cosA=cos(900_B)=sinB,
tanA=tan(900_B)=cotB, cotA=cot(900_B)=tanB

8 1、在Rt△ABC中,∠C=900,AB=10,

?

A

BC=6,则sinB=________, 3 cosB=_______.

4 5

10 6

C A

B

5
2、在Rt△ABC中,∠C=900, AB=3,BC=2,求tanA、cotA的 值。
5 t an A ? 2

5
C
2

3

2 5 cot A ? 5

B

?如图,观察一副三角板: ?它们其中有几个锐角?分别是多少度? ?(1)sin300等于多少? ?(2)cos300等于多少? ?(3)tan300等于多少? ?(4)cot300等于多少?
300
450

450



600



300角的各类三角函数值的探索
2
30°

B 1

1 sin30°= 2
cos30°=
3

A

3

C

在直角三角形 中,如果一个锐角等 于300,那么它所对 的直角边等于斜边的 一半。

2

tan30°=

3
3

cot30°=

3

请同桌之间展开讨论
?(5)sin450,sin600等于多少? ?(6)cos450,cos600等于多少?
300 450 450

?(7)tan450,tan600等于多少?
?(8)cot450,cot600等于多少?



600



450角的各类三角函数值的探索
Sin45 ° =
B

2
2

2
45°

1 C

cos45°=

2
2

A 1

tan45°=

1

cot45°=

1

600角的各类三角函数值的探索
B
2
60°

sin60°=

3 2

3
C 1

cos60°=

1 2

A

tan60°=

3
3
3

cot60°=

三角函数 正弦sinα 锐角α

余弦 cosα

余切 正切tanα cotα

300 450 600

1 2 2 2 3 2

3 2 2 2 1 2

3 3
1 1

3

3

3 3

2、
à
sina cosa tana cota

00
0 1 0

300
1 2 3 2
3 3

450
2 2
2 2

600
3 2
1 2

900
1 0 不存在 0

1 1

3
3 3

不存 在

3

3、正弦、余弦和正切、余切的性质
(1)

正弦值和正切值随着它们的角度增大而增大。 (2)余弦值和余切值随着它们的角度增大而减小。

例: 计算:
(1)sin300+cos450; (2) sin2600+cos2600-tan450.

?老师提示:

Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.

请在三分钟内完成以下两小题
2 ?1? sin 450 ? sin 600 ? 2 cos450. 2
2 2 0 ?2? sin 30 ? cos2 600 ? 2 cos2 450. 2

☆ 例题1
1.已知角,求值

求下列各式的值

1. 2sin30°+3tan30°+cot45°

=2 + d 3

2. cos245°+ tan60°cos30°

=2
=3- 2 2 o

cos 45o ? sin 30o 3. cos 45o ? sin 30o

☆ 例题2
1.已知角,求值 2.已知值,求角
2.

求锐角A的值
1. 已知 tanA= 已知2cosA -

3 ,求锐角A . 3
=0,

∠A=60° ∠A=30°

求锐角A的度数 . 解:∵ 2cosA -

3

=0

∴ 2cosA =
∴cosA=

3

3 ∴∠A= 30° 2

确定值、角的范围

☆ 例题3
1.已知角,求值 2.已知值,求角 3. 确定值、角的 范围
1. 在Rt△ABC中∠C=90°,当 锐角 A>45°时,sinA的值( D)

3 3 (A)0<sinA< 2 (B) 2 <sinA<1 (C) 0<sinA< 2 (D) 2 <sinA<1 2 2 2. 当∠A为锐角,且cotA的值小于 3 时,
∠A( B)
(A)0°<∠A<30° (B)30°<∠A<90° (C) 0°<∠A<60°(D)60°<∠A<90°

3 1. 在△ABC中∠C=90° ,∠B=2∠A . 则cosA=______ 2

练习

2. 若tan(β+20°)=

40° 3 ,为锐角.则β=______

sin A?cos A 3.已A是锐角且tanA=3,则 2 cos A? 2 sin A
4. 在Rt△ABC中,∠C=90°,cosB= 5 _______.
3

?

2 ,则sinB的值为 3

1 __ 4

cosa-sina 5.已知 0°<a< 45 °锐角,化简 1? 2 sin acosa =______

6. tana.tan20°=1,则a=

70°



如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600, 且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置 时与其摆至最低位置时的高度之差 ( 3 ? 1.7 结果精确到0. 1m).
O ?老师提示: 将实际问 题数学化.

B ┌C D A

1、300,450,600角的三角函数值 2、三角函数值的计算与应用

P91页练习
3. 设Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c,根据下列所给条件求 ∠B的四个三角函数值: (1) a=3,b=4;(2) a=5,c=13. 4. 求值: 2cos60°+2sin30°+4tan45°.


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