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有理数的乘方龙潭一中1

发布时间:2013-10-08 11:37:40  

有理数的乘方

龙潭一中 陆继宽

传说,在古代印度,有一位聪明 的大臣发明了国际象棋,献给了国王, 国王非常喜欢。为了对聪明的大臣表 示感谢,国王答应满足这个大臣的一 个要求。这位聪明的大臣,胃口看起 来并不大,他跪在国王面前说:“陛 下,就在这个棋盘上放一些麦粒吧! 第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3 格放4粒米,然后是8粒、16粒、32 粒?,一直到第64格。”“爱卿,你 所求的并不多啊!”国王说道,接着 吩咐手下开始了数麦粒的工作。可是 数着数着,国王就发现上当了!亲爱

的同学们,你知道这是为什么吗?

聪明的同学们, 你能猜想出第64 格的米粒是多少 吗



第1格: 1
第2格: 2
2 3 4

第3格: 4 =2×2 =2

第4格: 8 =2 ×2 ×2 =2

第5格: 16 =2 ×2 ×2 ×2 =2

……

63个2
63

第64格: =2×2×··×2 =2 ·· ··

数学故事

国王总共要给大臣多少

粒米呢?如果一粒米的 传说,在古代印度,有一位聪明 的大臣,发明了国际象棋,献给了国 质量大约是0.0167g,本 王,国王非常喜欢。为了对聪明的 题的结果又是怎样的一 大臣表示感谢,国王答应满足这个 大臣的一个要求。这位聪明的大臣, 个概念呢? 胃口看起来并不大,他跪在国王面 263=9223372036854775808粒 前说:“陛下,就在这个棋盘上放 一些麦粒吧!第1格放1粒米,第2格 147573952589676413g 放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒、 约等于1476亿吨 16粒、32粒?,一直到第64 格。”“爱卿,你所求的并不多 啊!”国王说道,接着吩咐手下开 始了数麦粒的工作。可是数着数着, 国王就发现上当了!

龙潭一中

陆继宽

教学目标 知识与能力
在现实背景中,理解有理数乘方的
意义.能进行有理数的乘方运算,并会用

计算器进行乘方运算.掌握幂的符号法则.

教学目标 过程与方法
经历“做数学”和“用数学”的过 程,感受数学的奇妙性,领会重要的数 学建模思想、归纳思想,形成数感、符 号感,发展抽象思维.

教学目标
情感态度与价值观
认识数学与生活的密切联系,体验数学 活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性, 提高数学素养.通过参与数学学习活动,对 数学有好奇心和求知欲,形成主动学习态度, 培养科学探索精神.

教学重难点

重点
有理数乘方的意义.

难点
幂、底数、指数的概念及其表示,理 解有理数乘法运算与乘方间的联系,处理 好负数的乘方运算.

(1)边长为6的正方形的面积记为:
6×6 (2)棱长为6的正方体的体积可记为: 6×6×6

6

6 6

若正方形的边长为a,则面积是多少?

a· a 若正方体的棱长为a,则正方体的体积 为多少? a· a a·

a

a

· · · · · · 细 胞 分 裂 示 意 图 ·

· · · · ·

· · ·
· · ·

2 2×2

· · ·

· · ·

2×2×2

1个细胞30分钟后分裂成2个, 经过5小时,这种细胞由1个能分裂 成多少个?

2×2×··· ··×2×2 ··
10个2

6×6

记作62,读作6的平方(或二次方).

6×6×6 记作63,读作6的立方(或三次方). a· a a· a a·
记作a2,读作a的平方(或二次方). 记作a3,读作a的立方(或三次方).

2×2×… ×2×2 记作210,读作2的10次方.
10个

知识要点
一般地,n个相同因数a相乘,即:

a×a

… ×a ×

×a

n个
记作:an,读作a的n次方.

知识要点
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.
n= a×a 即:a

×… ×a ×a
n个

知识要点
底数
(任意有理数)

n a

指数 幂

an也读作a的n次幂 .

运算名称 加法 减法

运算结果 和 差

乘法 除法 乘方

积 商 幂

a的平方 2 a? a 记作 a 读作 a的二次方 a的2次幂 a的立方 3 a ? a ? a 记作 a 读作 a的三次方 a的3次幂 a的四次方 4 a ? a ? a ? a 记作 a 读作 a的4次幂 a的n次方 a ? a ? ? ? a 记作 a n 读作 a的n次幂 n个

练一练
(1) 3 读做__________,其中底数是 3的4次幂 ___,指数是___,表示为___________,结果 3 3×3×3×3 4 81 为_____.
? 数是_____,指数是_____,表示为 3 4
? 3? ? 3? ? 3? ? ? ? ×? ? ? ×? ? ? ? 4? ? 4? ? 4?

4

3 ? 3 ? 读做____________,其中底 ? 的三次方 (2)? ? ? 4 ? 4? 3

3

27 ? _________________,结果为______. 64

练习二
1.把下列乘法式子写成乘方的形式: (1)1×1×1×1×1×1×1= 17 ;
35 ; (2)3×3×3×3×3=

(3)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)= ?? 3?4 4 (4) 5 5 5 5 = ? 5 ?;
6 ? 6 ? 6 ? 6
? ? ?6?



2.把下列乘方写成乘法的形式:

(1) ?? 0.9?3= ?? 0.9?? ?? 0.9?? ?? 0.9? ;
?9? 9?9?9?9 (2)? ?= 7 7 7 7 ; ?7?
4

(3)?a ? b?2 =

?a ? b??a ? b?



a的底数,指数各是多少?
a的底数是a,指数是1.

一个数可以看作 这个数本身的一次方.

口算下列各题:
-1 (1)(-1) =_________, 8 1 (2)(-1) =_________,
5

(3)1 (4)0

2000 2005

1 = ____________,

=_____________, 0 4 10 000 (5)(-10) =_________, -125 (6)(-5) =__________.
3

0的任何次幂等于零; 1的任何次幂等于1.

-1的偶数次幂等于1.
-1的奇数次幂等于-1

计算 :
(1)(-5) ; -125 (2)(-1) ; 1
1 ? 1? (3)? ? ? ; 4 ? 2?
2

3

4

(4)(-3) ; 243 (6)3 .
4

5

(5)4 ; 64

3

81

观察各题的结果,你能发现什么规律? 正数的任何次幂是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶 次幂是正数.

乘方的符号法则:
正数的任何次幂都是正数;负数的 偶次幂是正数,负

数的奇次幂是负 0的正整数次幂都等于0. 数。

观察下面两个式子有什么不同? 2 2 3 ?3? 2 2 ? ? 与 (-4) 与-4 5 ?5? (-4) 表示-4的平方, -42表示4的平方的相反数.
3 ?3? ? ? 表示 的平方 5 ?5? 32 2 再除以5. 表示 3 5 2
2

当底数是负数或 分数时,底数一定要 加上括号.

?

思考:说说下列各数的意义,它们一样吗? 4 4

(?2) 和 ? 2 ; 
4

(? 2) 的意义是 ? 2的4次方; 即4个 ? 2相乘;
?2 的意义是2的4次方的相反数。
4

?

思考:说说下列各数的意义,它们一样吗?

2 2 2 ( ) 和 3 3
2

2

2 ?2? ? ? 的意义是 的平方; 3 ?3? 2 即2个 相乘; 3

22 的意义是“2的平方再除以3”。 3

例1:计算:

(1) ? ?5 ?

3 4

(2) ? ?6 ?
解:
3

(1) ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ?125; (2) ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? 256.
4

例1计算:1)?? 4? ; (2)?? 2? . (
3 4

解: ??? 4?3 ? ?? 4?? ?? 4?? ?? 4? ? ? 64 ?1

?2??? 2?

4

? ?? 2?? ?? 2?? ?? 2?? ?? 2? ? 16

例1计算:1)?? 4? ; (2)?? 2? . (
3 4

解: ??? 4?3 ? ?? 4?? ?? 4?? ?? 4? ? ? 64 ?1

?2??? 2?

4

? ?? 2?? ?? 2?? ?? 2?? ?? 2? ? 16

思考:例1的两个幂,底数都是负数,为什
么这两个幂一个是正数而另一个是负数呢? 是由什么数来确定它们的正负呢? 如果幂的底数是正数,那么这个幂有可能是 负数吗? 如果幂的底数是零,又是怎样的结果呢?

练习四 计算:

? 1、?1?

10

= 1 ;

?? 1?9= 2、
2
3

-1



? (? 3、? 3? = -27 ; 4、 5) = 25 ; 1 ?1? ?? 0.1?3 = -0.001 ; 6、? 2 ? = 8 ; 5、 ? ? 2n ??1? = 1 ; 8、??1?2n?1 = -1 . 7、
3

练习五
计算:
2

6 ;(4)-( 3 )3. 4 7 3;(6)(- 1 )2; (5)-(-3) 3
(1)23;(2)-54;(3)-

4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 1024;
5

?1? ?1? 4 与5 哪一个大?那么? ? 与? ? 呢? ?4? ?3?
5 4

6

3

5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 625;
4

4 >5 .

5

4

1 ?1? 1 1 1 1 1 1 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4096 ?4? ?1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . ? 3 ? 3 3 3 27
3

6

?1? ?1? ? ? <? ? . ?4? ?3?

6

3

一个大于1的正数作底数,指 数越大,乘方的结果越大; 而一个小于1的正数作底数, 指数越大,乘方的结果就越小 .

2、即时训练 巩固新知
1)、计 算
(?2) 4

(1) (?4)3 (2)
解:(1) (2)
3

(3)

? 2? ?? ? ? 3?

3

(?4) ? (?4) ? (?4) ? (?4) ? ?64
(?2) ? (?2) ? (?2) ? (?2) ? (?2) ? 16
4
3

(3) ? ? 2

? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?

8 ? 27

2、即时训练 巩固新知
2) 在94中,底数是 4) 在
?3? ? ? ?4?

,指数是

,读作

,或读作



3) 在(-2)3中,底数是 4
中,底数是 5) 在 5 中,底数是

,指数是
,指数是 ,指数是

,读作
,读作 ;

,或读作




6) 02 =
7)23 = 8)(-3)2 =

,03 =
,24 = ,(-3)3 =




04 =
25 =


; , (-3)5 = ;

,(-3)4 =

设计意图:通过课堂练习,巩固有理数乘方的意义和运算, 让每一位学生 体验学习数学的乐趣,找到自信.体会分类的数学思想,同时为后面探索乘 方的符号法则留下伏笔.达成本节课的知识目标,突出了重点。演示文 稿.ppt

形成性测试
1.(-3)4表示( A.-3×4 2. -24表示( A.4个-2相乘 ) B.4个(-3)相加 C. B.4个(-3)相乘 D.3个(-4)相乘 ) B.4个2相乘的相反数 C. 2个-4相乘 D.2个4的相反数

3. 下列各组数中,相等的一组是(
A.(-3)3与-33 B.(-3)2与-32



C.43与34 D.-32和(-3)+(-3) )

4.一个数的平方等于它的倒数,这个数一定是( A.0 B.1 C.-1 D.1或-1


5.若两个有理数的平方相等,则(

A、这两个有理数相等

B、这两个有理数互为相反数
D、都不对

C、这两个有理数相等或互为相反数

形成性测试
6.n为正整数,(-1)2n+(-1)2n+1的值为( )

A、0 B、-1 C、1 D、-2
7.一个数的偶次幂是正数,这个数是( )

A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、任何有理数
8、根据乘方的定义可得42=4×4,43=4×4×4,则42×43=(4×4)× (4×4×4)=4×4×4×4×4=45,试计算am?an(m,n是整数). 9.计算:(1)23;(2)-54;(3)(4)-(-3)3;(5)(6 2 ;(4)-( 1 )3. 3 7

3 2 ); 4

达标检测
6 一、填空题 4 1.在 中,底数是

,指数

, ;

2. ?? 4? 读做
7

3. ?? 2?15 的结果是 4、计算:?? 2?3= 5、计算: 附加题:计算
? 1= ? ? ? ?2?
4

数(填“正”或“负”); ; ;

(?1) ? ??1?
2n

2n?1



?

3+5 ×(-7)这个式子中,存在哪 几种计算?这道题按什么顺序计算? 存在+、×和乘方的运算.根据前面学 过的有理数的加减乘除混合运算法则,我们 应该“先乘除,后加减”来计算这个式 子.那么乘方的运算顺序我们又是怎么规定 的呢?

2

知识要点
有理数的混合运算应注意的运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按

小括号、中括号、大括号依次进行.

?? 2? ? ?? 3?? ??? 4?
3

例3:计算:

2

? 2 ? ?? 3? ? ?? 2?
2

?

解:原式 ? ?8 ? ? ?3 ? ? ?16 ? 2 ? ? 9 ? ? ?2

? ? ?8 ? ? ?3 ? ? 18 ? ? ?4.5 ? ? ?8 ? 54 ? 4.5 ? ?57.5

例3 计算:
? 4? ? 3? ?1? (1) ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; ? 5? ? 4? ?2? (2) ? ?3 ?
3 3

2 ?? 5 ? 24 ? ? 11? ? ? ?4 ? ? ? ? . ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ?3?

3

3 ? 4? ? 3? ?1? 解 :  ) ? 4 ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? (1 ? 5? ? 4? ?2? ? 4? ? 4? 1 ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? 3? 8 4 4 1 ? ?4 ? ? ? 5 3 8 4 1 ? ?4 ? 15 8 47 ? ?4 . 120

解: 2) ? ?3 ? (

3

2 ?? 5 ? 24 ? ? 11? ? ? ?4 ? ? ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ?3?

3

? 1? 8 ? ?27 ? ? ?5 ? ? ?? 5 ? 16 ? ? 11? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 1 ? ? 1? 8 ? ? ?27 ? ? ?5 ? ? ?? ?11? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? 4 ? 27 ? ? 1? 8 ? ?27 ? ? ?5 ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 ? 5? 8 ? ?27 ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 5 8 ? ?27 ? ? 4 27 59 ? ?28 . 108

例4:观察下面三行数:
-3,9,-27,81,-243,729,…;① 0,12,-24,84,-240,733,…;② 10,-17,55,-181,487,-1557,…;③

(1)第①行数按什么规律排列? (2)第② ③行数与第①行数分别有什 么关系? (3)取每行数的第9个数,计算这三个 数的和.

解:(1)第①行数是-3,(-3)2 ,(-3)3,
(-3) ,·. · · (2)对比①②两行中位置对应的数,将会发 现第②行数是第①行相应的数加3,即
4

-3+3,(-3) +3 ,(-3) +3,(-3) +3,·. · · 对比①③两行中位置对应的数,将会发 现第③行数是第①行对应的数的2倍再加1, 即 -3×2+1,(-3)2×2+1 ,(-3)3×2+1, (-3)4×2+1,·. · ·
2 3 4

(3)每行数中的第20个数的和是:
(-3)9+[(-3)9+3] + [(-3)9×2+1]

=-19 683+(-19683+3) +(-19683) ×2+ 1

=-19 683-19 680-39 366+1 =-78 728.

课堂小结
指数

a

n

负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数. 正 幂 数的任何次幂都是正数,0 的任何次幂都是0.

底数

有理数的混合运算应注意的运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行;

(3)如有括号,先做括号内的运算,按
小括号、中括号、大括号依次进行.

随堂练习
(1) ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? , ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ( 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ( 3) a ? a ? ? ? a (1000). 4
5 ? 1? (1) ? ?2.5 ? ; ) ? ? ? ; ) a1000 . (2

(3 ? 3?

1.把下列各式写成乘方运算的形式,并 指出底数,指数各是多少?

(2)底数分别为: 2.5,- 1,a. 2 (3)指数分别为:5,4,1000.

2.如果一个数的偶次幂是正数,那么这 个数是( D ) A.正数 C.有理数 B.负数 D.非0数

3.如果有理数a满足a2<a,则a为( D ) A.绝对值小于1的数 B.大于1的数 C.小于-1的数 D.0和1之间的数

1 1 1 1 ? ? ?· · · . 4.计算: 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 999 ? 1000

1 1 1 1 解: ? ? ?· · · 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 999 ? 1000 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ·+ · · ? 1 2 2 3 3 4 999 1000 1 ? 1? 1000 999 ? . 1000

5.已知m=b1+b2+b3+b4+·+b1000, · · 当b=-1时,求m5的值.
解:当b=-1时,
m=b1+b2+b3+b4+·+b1000 · · =(-1) 1+ (-1) 2+ (-1) 3 + (-1)4 + ·+ (-1)1000 · ·

=-1+1-1+1 - ·-1+1 · · =0. 所以m5=05=0.


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