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角的平分线(1) - 副本

发布时间:2013-10-08 12:00:44  

课 题:角的平分线(1)

课 型:新授

授课人:滕州市

授课时间:2013年9月12日 星期四 第一节课

教学目标

1.要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理,会用这两个定理解决一些简单问题。

2.理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

3.能够作已知角的角平分线,并会熟练地写出已知、求作和作法,可以说明为什么所作的直线是角平分线。

教法学法

发展学生的推理能力是本节也是本章的重点,为此,我设置了问题串的形式,层层深入让学生对提出的问题主动思考,合作探究,归纳结论,并让学生书写证明过程,来发展学生的推理能力.

重点: 角平分线性质定理及其逆定理。

难点: 掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

课前准备: 没有刻度的直尺、圆规、纸折的角、实物展台等.

教学过程

一、创设情境 引入新课

师:请回忆我们曾用折纸的办法,得到了角平分线上的点有什么性质?

(生拿出准备好的纸折的角,在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次,观察折痕的性质。由折纸的过程,可以观察到折痕和角的边垂直,并且对应的折痕长度相等。) 生: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

师:回答的很好

师:仅仅从折纸得到这一性质是不够的,还必须证明它的正确性,你能给出规范的证明吗?

(师板书课题:1.4角平分线)

1

二、自主学习,合作探究

探究1: 角平分线性质定理的证明

师:你能把这个命题改成“如果…那么…”的形式吗?

生:如果一个点在某个角的角平分线上,那么这个点到这个角两边的距离相等.

师:下面请同学们回顾证明文字证明题的步骤,并分析写出已知、求证、画出图形,并尝试着证明.

(一生黑板演示,其它学生独立完成,师巡视做题情况, 对有困难的学生给以指导,等大部分同学完成后全班交流)

师用多媒体展示规范的证明过程,学生进一步对照自己的证明加以修正.

已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.

求证:PD=PE.

证明:∵∠1=∠2,OP=OP,

∠PDO=∠PEO=90°,

∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

师:我们用公理和已学过的定理证明了我们AOPC

折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理,请结合图形思考怎样用几何语言叙述此定理?

生1:∵OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E

∴PD=PE.

师:回答很正确.

师:我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题.你能写出这个定理的逆命题吗?

探究2: 角平分线判定定理的证明

师:我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.小组内可以讨论交流.

生1:如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线 2

上.

师:请大家思考,他的回答对不对?

生2: 我觉得这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等的点.”

师:说的很好.事实上,从同一点出发的两条射线一般组成两个角,而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部,其余部分为角的外部.如上图所示,到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF,但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线.因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件.

师:请同学们再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。

生:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上. 师:它是真命题吗? 你能证明它吗?

(小组内讨论交流,明确已知,求证后画出图形, 并尝试着证明. 师巡视做题情况, 对有困难的学生给以指导,等大部分学生完成后,用实物投影展示两名学生的做题过程,师生共同纠正学生出现的错误.)

(师用多媒体进一步展示规范的证明过程)

证明如下:

已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,

PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,

求证:点P在么AOB的角平分线上.

证明:PD⊥OA,PE⊥OB,

∴∠PDO=∠ PEO=90°.

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理).

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).

师:逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。

(师板书: 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.) AOEPC

3

师: 谁能用几何语言叙述这个逆定理?

生1:∵点P在∠AOB内部,且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E且∴

PD=PE.

∴点P在∠AOB的角平分线上.

师:说的很好.

探究3:用尺规作角的平分线

师:你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗?请在小组内交流.

生:可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法.

师:学习的是用直尺和圆规平分一个已知角.下面请你写出此作图题的已知﹑求作﹑并思考作法

(学生动手完成整个操作过程,师边启发学生的思路,边进行黑板示范) 已知:∠AOB(如图)

求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.

作法:1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE,使OD=OE.

12.分别以D、E为圆心,以大于 DE的长为半径作弧,两弧在么AoB内2

交于点C.

3.作射线OC

OC就是∠AOB的平分线.

师: 完成做法后,请试着说明OC为什么是∠AOB的平

分线,与同伴交流.

生:从作图的过程中,不难发现OD=OE,CE=CD,OC=OC,

△OCEC≌△OCD(SSS).

∴∠1=∠2,即OC是∠AOB的角平分线.

师:回答很正确

三、巩固练习

如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?

解:∵AD平分∠CAB.

4

1∴又∠1=∠2=2∠CAB

又∵AE平分∠CAF.

∠CAB+∠CAF=180°,

1∴∠3=∠4= 2∠CAF

∵∠CAB+∠CAF=180° E4AF

11∴∠1+∠3= 2(∠CAB+∠CAF)=2 ×180°=90°,即AD⊥AE.

四、课时小结

通过本节课的学习,你都有哪些收获?还存在哪些困惑?(学生积极踊跃发言,师适时进行归纳和总结)

五、课后作业

1.习题1.8第1,2,3题.

2.阅读“读一读”,使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”,开阔他们的视野,体会数学家坚忍不拔的科学探索精神. 达标检测

【基础练习】

一、填空题:

1.如图1-31,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,BE平分∠ABC交AD于E, EF⊥AB , 则AB = ,BF = ;

2.已知:如图1-32,在Rt△ABC中,∠C = 90°, AC = BC, BD平分∠ABC交AC于D, DE⊥AB于E,若BC = 5, 则△DEC的周长为 .

AC FD E ABBDE 图1-31图1-32

二、选择题:

1.如图1-33,△ABC中,∠B = 42°, AD⊥BC于D,E是BD上一点,EF⊥AB于F,若ED = EF, 则∠AEC的度数为( );

A. 60° B. 62° C. 64° D. 66° 2.给出下列命题:

F① 垂直于同一条直线的两直线平行;

B② 角平分线上的点到角两边的距离相等; CED③ 三角形的三条角平分线相交于一点; 图1-33

④ 全等三角形的面积相等;

其中原命题和逆命题都是真命题的共有( ).

5

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

三、解答题:

如图1-34,已知:△ABC中,∠BAC = 90°, AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF. 求证:BF是∠ABC的平分线. A

F

BC DE

图1-34【综合练习】

已知:如图1-35,△ABC中,AB = 2AC, AD平分∠BAC,且AD = BD. 求证:DC⊥AC. A

BC

板书设计:

教学反思: D图1-35 成功之处:本节是在学习了垂直平分线的性质定理及判定定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及其画法.因此课堂学生的思维非常灵活,流畅,对于这两个定理证明的理解和区分很好,这有点出乎我的预料.并且,我对学生进行的及时评价,大大激发了学生学习的热情.

不足之处:对于定理的应用,学生习惯于用找全等三角形的方法去解决问题,而不注重利用刚学过的定理来解决,这实际上是对定理的重复证明,尽管我在教学中加以了强调,学生还是一时无法扭转已经形成的思维定势,这也是我们在教学的过程中需要注意的地方. 还有就是时间的处理,由于我在时时刻刻关注学生的理解程度以及接受水平,故时间显得不充足,今后还需要在备课上下一番苦功夫。

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