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正弦定理3课时

发布时间:2013-10-08 13:41:14  

7.在△ABC中,AC=
大小是 45° ,AB=

,BC=2,B=60°,则A的 6

. 3 ?1 2 6 2 由正弦定理 ? ,? sin A ? . 解析 sin A sin 60? 2

? BC ? 2 ? AC ? 6,? A为锐角.? A ? 45 ?. AB 2 ? C ? 75 ?.? ? ,? AB ? 3 ? 1. sin 75 ? sin 45 ?

8、在△ABC中,已知b=12,A=300,B=1200,
则a=

4 3。
,B=600,c=1, D. 不确定

9、在△ABC中,b= 3

则此三角形有( A ) A. 一解 B. 两解 C. 无解

一、复习
1.正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 C

a b c ? ? 即: sin A sin B sinC

a

b

B
2.可以用正弦定理解决的三角问题:

c

A

题型一:知两角及一边,求其它的边和角

题型二:知两边及其中一边对角,求其他边和角

二、新课讲解

a b c ? ? =2R 正弦定理的推论: sin A sin B sin C
(R为△ABC外接圆半径) a 证明:如图,⊙O为△ABC的外接圆, B 连接BO并延长BO交圆于点D . 连接CD, 则∠A=∠D O c a a BD b ? ? ? ? 2R sin A sin D sin 90? A b c 同理, ? 2 R, ? 2 R; sin B sin C C

D

a b c =2R(R为△ABC外接圆半径) ? ? ∴ sin A sin B sin C

二、新课讲解 正弦定理的推论: a b c

=2R (R为△ABC外接圆半径) 边角 sin A sin B sin C 互化 a ? 2 R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
a b c sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

?

?

sin A : sin B : sin C ? a : b : c
> 1、在?ABC中,必有sin A ? sin B __ sin C.

3.在三角形ABC中,已知A=60 ,a= 3, 则 a?b?c 等于多少? sin A ? sin B ? sin C
4. △ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形



5、在?ABC中,若b= 2a sin B, 则A ? __
45o 或135o

6.

7.

8.在?ABC中,若acosA=bcosB,则此三角形的 形状是_________________
等腰三角形或直角三角形

9.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c, 则下列关系一定成立的是 ( D ) A.a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D.a≥bsinA

a b c ? ? 10.在 ?ABC 中,若 cos A cos B cos C
则 ?ABC是(



D

)

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三角形

正弦定理

11..在 ?ABC中,若

a cos A 2

?

b cos B 2

?

c cos

,则 ?ABC是( D ) C
2

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

12:已知?ABC中, b sin B ? c sin C 且 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C,试判断三角形的形状。
a b c ? ? 2R 得: 解法二:由正弦定理   ? sin A sin B sin C
a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

b c a2 b2 c2 所以 b ?  ? c ? , ? 2? 2 2 2R 2R 4R 4R 4R
即 2

b ? c ,a ? b ?c
2 2 2

2,则

b ? c, a ? b ? c ,
2 2 2

角 化 为 边

因此三角形为等腰直角三角形。

引申:

正弦定理变形公式应用

1.在任一 ?ABC 中,求证: a(sin

B ? sin C ) ? b(sinC ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0 证明:由于正弦定理:令 a ? k sin A, B ? k sin B, c ? k sin C 代入左边得: 左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B) ? 0 =右边 ∴ 等式成立

a b c (1)正弦定理:   A ? sin B ? sin C ? 2R sin
(2)正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;唯一解 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他 的边和角。注意解的个数

(3)正弦定理的变形:


a b c , sin B ? , sin C ? ② sin A ? 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin A : sin B : sin C
(4).三角 形的面 积公式

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

边角 互化

S? ABC ? 1 ab sin C ? 1 ac sin B ? 1 bc sin A 2 2 2 ? abc =2R 2 sin A sin B sin C 4R

正弦定理综合应用
典例1:

典例3:


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