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15.4因式分解(全)

发布时间:2013-10-09 08:02:44  

第1 课时 第2 3 课时 第4 课时

复习回顾

口答:

x?x ? 1? ? ________ x ?x
2

?x ? 1??x ? 1? ? ________ x ?1
2

2 x?3x ? 7? ? ________ 6 x ? 14 x
2

新课引入

问题:630可以被哪些整数整除?
解决这个问题,需要对630进 行分解质因数 630 = 2×32×5×7
类似地,在式的变形中, 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题

试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积)

回忆前面整式的乘法

x? x ? 1? x ? x ? __________
2

?x ? 1??x ? 1? x ? 1 ? __________
2

x ? 1 ? ?x ? 1??x ? 1?
2

上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式,像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分解,也叫做把这个多项 式 分解因式。

x ?1
2

因式分解 整式乘法

?x ? 1??x ? 1?

因式分解与整式乘法是逆变形

依照定义,判断下列变形是不是 因式分解 (把多项式化成几个整式的积)

?x ? 2??x ? 2? ? x 2 ? 4 ①
②6 x y ? 2 x y ? 3xy 9 3 ?? 3 ? ? 2 ③x ? 4 ? ? x ? 2 ?? x ? 2 ? 4x 2 x ?? 2x ? ? 2 2 2 ④5 x y ? 3x y ? 2 x y
4 3 3 2

创设情景

学校打算把操场重新规划一下, 分为绿化带、运动场、主席台三个部 分,如下图,计算操场总面积。

a m

b

c

方法一:S = m ( a + b + c ) 方法二:S = ma + mb + mc

a m m

b

c m

方法一:S = m ( a + b + c ) 方法二:S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解?

m ( a + b + c ) = ma + mb + mc
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在式子ma + mb + mc中,m是这个多项 式中每一个项都含有的因式,叫做 公因式 。

在下面这个式子的因式分解过程中, 先找到这个多项式的公因式,再将原式除 以公因式,得到一个新多项式,将这个多 项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )

提公因式法一般步骤:
1、找到该多项式的公因式, 2、将原式除以公因式,得到一个新多项式,

3、把它与公因式相乘。

如何准确地找到多项 式的公因式呢?
1、系数
所有项的系数的最大公因数

2、字母
应提取每一项都有的字母, 且字母的指数取最低的

3、系数与字母相乘

例题精讲

用提取公因式法因式分解: ①9a b ? 15ab c = 3 ab (3a–5bc)
2 2

② ? 12 s t ? 8st ? 4st = – 4 s t2 (3s2–2t+1) 5 2 7 2 1 ③ pq ? p q ? pq 9 9 3 1 = pq (5q+7p+3) 9
3 2 3 2

最大公因数为3 a的最低指数为1 b的最低指数为1

做一做

按照提公因 式法因式分解。

①3a b ? 6abc
2 3 2

⑤36 x 2 y 3 ? 45 x 3 y 2
3 2 4 4 3 4 2

② ? 5 x y ? 10 xy ? 20 xy ⑥74 a b c ? 111a b c 1 3 5 2 ③ m n ? mn ? mn 3 6 2 2 ④0.49 p q ? 0.21 pq
2 3 2

x y 2x y x y ⑦ ? ? 2 3

6 2 2 ⑧49 ? 4mn ? 98 ? 5n m

提 高 训 练 一

因式分解: ①6 x?m ? n ? ? 7 y ?m ? n ? ③ 2 x? x ? y ? ? 2 y ? y ? x ? ④3? p ? q ? ? 9?q ? p ?
4 3

②4ab?10 a ? 4bc? ? 6ac?5a ? 2bc?

( )

提高训练(二)

1、已知 m ? n ? 5,mn ? 4,求 ? m n ? mn 的值。
2 2

2、因式分解 : 1 ? x ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? ? ? x?1 ? x ?
2 3 2011

1 2010 2011 2012 3、计算 ? ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? 3

?

?

第2 课时

第3 课时

复习回顾

还记得学过的两个最基本的乘法公式吗? 平方差公式: ?a ? b ??a ? b ? ? a 2 ? b 2 2 ?a ? b ?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 完全平方公式: a ? b ?2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ?a ? b ? ? a 2 ? 2ab ? b 2 ?
2
2

计 算 :

?x ? 2??x ? 2? ? ________ x ?4 2 ?? 5 ? a ? ? __________ a ? 10a ? 25 ?m ? 7??? m ? 7? ? __________ __ ? m ? 14m ? 49
2

新课引入

此处运用了什么公式? 逆用 平方差公式

试计算:9992 – 1 2 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000 2 52 因式分解:(1)x2 – 42 ;(2)y2 – 25 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)
这些计算过程中都逆用了平方差公式

a 即:

2

? b ? ?a ? b ??a ? b ?
2

a ? b ? ?a ? b ??a ? b ?
2 2

此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为: 两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解): (a+3)(a–3) ① a2 – 9 = ___________________ (7+n)(7–n) ② 49 – n2 = __________________ 5(s+2t)(s–2t) ③ 5s2 – 20t2 = ________________ (10x+3y)(10x–3y) ④ 100x2 – 9y2 =_______________

① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1

④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2

⑥ (x+p)2 – (x–q)2

② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)

③ x4 – 1
2 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1) (x+1)(x–1)

因式分解一定要分解彻底 !

④ x2 – x6 = x2 – (x3)2

④ x2 – x6 = x2 (1–x4)

= (x+x3)(x–x3)

= x2 (1+x2)(1–x2)

= x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x) = x2(1+x2)(1+x)(1–x)
在我们现学过的因式分解方法中, 先考虑提取公因式,再考虑用公式法。

⑤ 6x3 – 54xy2 = 6x (x2–9y2) = 6x (x+3y)(x–3y)

⑥ (x+p)2 – (x–q)2 X Y
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ] X Y X Y

= (2x+p–q)(p+q)

巩固 下列多项式能否用平方差公式分解 因式?

x ?y
2

2

x ?y
2

2

?x ? y
2

2

?x ?y
2

2

a2和b2的符号相反

巩固 3.分解因式:

(1) ? 9 ? 4 x
2 2

2

1 2 (2) x y ? z 4

范例 例2. 分解因式:

(1)16( x ? y) ? 9( x ? y)
2

2

4 2 (2) ? (2m ? n) 25
把括号看作一个整体

巩固 4.把下列各式分解因式:

(1)( a ? b) ? c
2 2

2 2

(2)( x ? p) ? ( x ? q)
2

(3)( x

? y ) ? ( z ? m)

2

范例 例3.简便计算:

565 ? 435
2

2

1 2 1 2 (65 ) ? (34 ) 2 2
利用因式分解计算

探究 根据数的开方知识填空:

4?(
结论:

)

2

3?(

)

2

a ? ( a ) (a ? 0)
2

范例 例4.在实数范围内分解因式:

(1) x ? 3
2

(2) ? 5 ? 4a

2

做一做

利用平方差 公式因式分解。
2 2

①169 a ? 196 b

⑤9m n ? 16t
2 2 2 2

2

1 2 1 2 x y ②? x ? y ⑥ ? 9 4 4 16 2 4 2 4 ③ 25 x ? 16 y ⑦? p ? q ? ? q ④9 xy ? 36 x y
2 3 2

⑧?2a ? b ? ? 4?a ? b ?
2

2

因式分解:
提 高 训 练 一

①3m?m ? n ? ? 6 m ? n
2

?

2

?

②16 ? a

4 2

③ x ? x ? ?x ? 1?
3

?

?

( )

④ 设m、n为自然数且满足
关系式12+92+92+22+m2=n2, 则m = ____,n = ____。

提高训练(二)
1、 48 ? 1 能被 60到70 之间的两个整数整除, 2 这两个整数是 ____和 ____。

?

?

12 ? 2 2 32 ? 4 2 52 ? 6 2 2011 2 ? 2012 2 2、计算: ? ? ??? 。 2?4 6 ? 8 10 ? 12 4022 ? 4024

3、n是自然数,代入n3 – n中计算时,四个同学算出 如下四个结果,其中正确的只可能是( )。

A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158

作业 分解因式:

16 2 2 2 (1) ? 36b ? 1 (2) x y ? b 25 2 2 (3)0.49 p ? 144 (4)m ? 7
2

(5)( 2 x ? y ) ? ( x ? 2 y )
2

2

2.已知 a ? b ? 3, a ? b ? 12 ,
2 2

求 a ? b 的值。

复习回顾

还记得前面学的完全平方公式吗?

?a ? b ? ? a 2 ? 2ab ? b 2 2 2 2 ?a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2

?a ? b ?
2

2

? a 2 ? 2ab ? b 2

计 算 :

?x ? 4??4 ? x? ? __________ x ? 8x ? 16 2 ?? 7 ? b? ? __________ b ? 14b ? 49 ?m ? 9??9 ? m? ? __________ __ ? m ? 18m ? 81
2

2

新课引入

此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式

试计算:9992 + 2×999×1 + 1 1998
= (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样,完全平方 公式也可以逆用,从而进行一些简便 计算与因式分解。

即:a ? 2ab ? b ? ?a ? b ?
2 2

2

a ? 2ab ? b ? ?a ? b ?
2 2

2

这个公式可以用文字表述为: 两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的两倍,等于这两个 数的和(或差)的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解): (a+3)2 ① a2+6a+9 = _________________ (n–5)2 ② n2–10n+25 = _______________ 4(t–1)2 ③ 4t2–8t+4 = _________________ (2x–3y)2 ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________

① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 形如 a2±2ab+b2的式子 叫做完全平方式。

④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4

⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36

完全平方式一 定可以利用完全平 方公式因式分解

a ? 2ab ? b
2

2

完全平方式的特点:
1、必须是三项式(或可以看成三项的)
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项(等于平

方项底数的±2倍)

简记口诀:
首平方,尾平方,首尾两倍在中央。

① 16x2 + 24x + 9 = (4x+3)2

② – 4x2 + 4xy – y2
= – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2

④ 4x2 – 8xy + 4y2
= 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2

⑤ 1 – 2a2 + a4

= (a2–1)2 = [(a+1) (a–1)]2
= (a+1)2 (a–1)2 X X ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 = (p+q–6)2 X

做一做

用完全平方公 式进行因式分解。

①a ? 18a ? 81 ④m n ? 2m n ? 1
2
4 2 2

2 1 2 2 2 ⑤a b c ? 4abc ? 4 ②x ? x ? 3 9 2 2 ③ ? s ? t ? 2 st ⑥ 25 x 2 ? 20 x ? 4
2

做一做

用恰当的方 法进行因式分解。
2

① 2a ? a ? 1 1 2 ②m ? mn ? n 4
2

备选方法:
提公因式法 平方差公式 完全平方公式
2

? ④?x

③x ?y
2 2

2 2

?

? 4x y
2

? 6x ? 9 x ? 9
2

??

?

因式分解:
提 高 训 练 一

①?2a ? b ? ? 8ab
2

②?x ? y ? ? 4?x ? y ? 1?
2

③?x ? y ? ? 4 x ? y ? 4?x ? y ?
2 2 2

?

?

2

( )

④ 给4x2+1加上一个单项式,
使它成为一个完全平方式,这 个单项式可以是 ________。

提高训练(二)

1、已知 a ? b ? 4,ab ? c 2 ? 4 ? 0,则a ? b ? c ? ___。
1? 1? ? ? 2、若 0 ? x ? 1,化简 ? x ? ? ? 4 ? ? x ? ? ? 4。 x? x? ? ?
2 2

3、已知 a、b、c是△ABC的三边, 且满足 a ? 2b ? c ? 2b?a ? c ? ? 0,
2 2 2

判断△ ABC的形状并说明理由。

提高训练(三)

1、求多项式 P ? a 2 ? 2b 2 ? 2a ? 4b ? 2008的最小值。
2、已知 x ? y ? a,z ? y ? 10, 则代数式 x ? y ? z ? xy ? xz ? yz的最小值为 ___。
2 2 2

1 3、已知 a ? b ? 1 ? c ? 2 ? ?a ? b ? c ?, 2 则a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? ___。

知识结构

提公因式法 公式法

十字相乘法

因式分解 常用方法

分组分解法

拆项添项法
配方法

待定系数法
求根法

……

一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式, 然后用原多项式除以公因式,把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习:
1)15(m–n)+13(n–m)
2)4(x+y)+4(x–3y)

二、公式法

只需发现多项式的特点,再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解,有时需和别的方 法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公 式,可以逆用进行因式分解。

常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2 (平方差公式) 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 (完全平方公式) 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) (立方和、差公式) 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (完全立方和公式) 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导

这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆
x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? x

z ? yz 1 2 2 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 2 xy ? 2 xz ? 2 yz 2 1 2 2 2 2 2 2 ? x ? 2 xy ? y ? x ? 2 xz ? z ? y ? 2 yz ? z 2 1 2 2 2 ? ?x ? y ? ? ?x ? z ? ? ? y ? z ? 2

?

?

??

? ?

? ?

??

?

?

二、公式法 只需发现多项式的特点,再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解,有时需和别的方 法结合或多种公式结合。 公式法随堂练习:
1)(a2–10a+25)(a2–25)
2)x3+3x2+3x+1

三、十字相乘法①
前面出现了一个公式: (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们可以用它进行因式分解(适用于二次三项式)

例1:因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)

这个公式简单的说,

就是把常数项拆成两个数的乘积,
而这两个数的和刚好等于一次项系数

例2:因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)

十字相乘法①随堂练习:
1)a2–6a+5 2)a2–5a+6
3)x2–(2m+1)x+m2+m–2

三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法(适用于二次三项式)。 既然是二次式,就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以,需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积,而这四个数中,两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数,那么因式 分解就成功了。

6 x2 + 7 x + 2
2
3

1
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)

4 +3=7

3 x2 + 11 x + 10
1
3

∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)

2 5
5 2

5 6 2 + 15==11 17

试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。

简记口诀: 首尾分解, 交叉相乘, 求和凑中。

5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
5

–2
4

十字相乘法②随堂练习:
1)4a2–9a+2

4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)

2)7a2–19a–6
3)2(x2+y2)+5xy

四、分组分解法

要发现式中隐含的条件,通 过交换项的位置,添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。
例1:因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解:原式 = (ab – ac) + (bd – cd) 还有别 的解法 吗? = a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)

四、分组分解法

要发现式中隐含的条件,通 过交换项的位置,添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。
例1:因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解:原式 = (ab + bd) – (ac + cd) = b (a + d) – c (a + d) = (a + d) (b – c)

例2:因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。

解:原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)

= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
分组分解法随堂练习:
1)xy–xz–y2+2yz–z2
2)a2–b2–c2–2bc–2a+1

立方和公式

五*、拆项添项法

回顾例题:因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解:原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)

= (x+1)(x4+x2+1)
因为它还 怎么结果 可以

继续 与刚才不 因式分解 一样呢? = (x+1)(x4+2x2+1–x2)

= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)

五*、拆项添项法 拆项添项法对数学能力有着更 高的要求,需要观察到多项式中应 拆哪一项使得接下来可以继续因式 分解,要对结果有一定的预见性, 尝试较多,做题较繁琐。

最好能根据现有多项式内的项 猜测可能需要使用的公式,有时要 根据形式猜测可能的系数。

因式分解 x4 + 4
解:原式 = x4 + 4x2 + 4

都是平方项 猜测使用完全平方公式 – 4x2

= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+2x+2)(x2–2x+2) 拆项添项法随堂练习:
1)x4–23x2y2+y4
2)(m2–1)(n2–1)+4mn

完全平方公式
平方差公式

配方法
配方法是一种特殊的拆项添项 法,将多项式配成完全平方式,再 用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。 解:原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
配方法 (拆项添项法) 分组分解法

= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)

完全平方公式 平方差公式

六*、待定系数法 试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)

设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
? a ? 2b ? 14 通过比较两式同类项的系数可得: ? ?3a ? 3b ? ?3 ?a ? 4 解得: ,∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5) ? ?b ? 5

双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式 的因式分解,而待定系数法则没有这 个限制。 因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。 2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20

2
1

4 5

–3
3
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)

126––15==14 10 + 43 –3 3

七*、求根法 设原多项式等于零,解出方程 的解 x1、x2……,则原式就可以分 解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……

更多的方法需要同学们自己去寻找 ! 多练才能拥有自己的解题智慧 !

因式分解: ①? x ? 2 ?? x ? 4 ? ? x ? 4
2

综 合 训 练 一

② 2 x ? 12 x ? 54 x
3 2

③x ? ?2k ? 2 ?x ? 2k ? 1
2

④3a b ? 3ab
4

4

⑤ 2 x?2 x ? 1? ? y ? y ? 1? ⑥x 4 ? 2 x 2 ? 9 ⑦a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ⑧ 4 x 3 ? 31x ? 15

( )

综合训练(二)
1、 24 ? 1 能被 40到50 之间的两个整数整除, 7 这两个整数是 ____和 ____。

?

?

2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解 后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) C. (y+z)(x–y)(x+z) B. (y–z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)

3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。

综合训练(三)
1、已知多项式 2 x 4 ? 3x 3 ? ax2 ? 7 x ? b能被

?x ? 2??x ? 1?整除,则 a ? ___,b ? ___。
5 2、已知 x、y满足 x ? y ? ? 2 x ? y, 4 2011 则? x ? 2 y ? ? ___。
2 2

3、已知 a ? b ? 4,则 a 3 ? 12 ab ? b3 ? ___。

总结训练(一)
1、设 a是方程 2 x ? 3 x ? 1 ? 0的一个根,
2

2a 5 ? 3a 4 ? 3a 3 ? 9a 2 ? 5a ? 1 试求代数式

的值。 3a ? 1

2、已知正实数 a、b、c满足方程组 ?a ? b 2 ? 2ac ? 29 ? b ? c 2 ? 2ab ? 18,求 a ? b ? c ? ___。 ? ?c ? a 2 ? 2bc ? 25 ?

总结训练(二)
3、已知 ? x ? y ? 4 ?是 x 2 ? y 2 ? mx ? 3 y ? 4 的一个因式,求 m的值。

?

?

4、求方程 xy ? x ? y ? 2的所有正整数解。

5、因式分解 x 4 ? 1987 x 2 ? 1986 x ? 1987。


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