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相似三角形难题

发布时间:2013-09-18 08:28:14  

类型一:相似三角形中辅助线的做法:

一、作平行线(遇燕尾,作平行,构造

字一般行。)

例1. 如图,?ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC

BFBD

延长线相交于F,求证: ?

CFCE

B

A C

例2. 如图,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。

F

二、作垂线

E、F,

1

三、作延长线(遇梯形,延长腰,构成A字瞧一瞧。)

例5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积。

例6. 如图,Rt?ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG?AB于G,求证:FG2=CF?

BF

练习:

1、BD:DC=2:1,E为AD中点,求①BE:EF ②AF:FC

F

CB D

2、平行四边形ABCD中,E为AB中点,AF:FD=1:2,求AG:GC

C

AB 3、. 如图,?ABC中,AB?AC,BD?AC,那么BC?2CA?CD吗?试说明理由?(用三种解法) 2

图(1) 图(2) 图 (3)

2

类型二:相似三角形与动点

例1(2008福建福州)如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:

(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;

(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;

(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?

类型三:相似三角形与四边形

朝阳24.在Rt△ABC中,∠A=90°,D、E分别为AB、AC上的点.

(1)如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF∥EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,

EB连接BF,请你直接写出的值; DC

(2)如图2,CE=kAB,BD=kAE,EB?1,求k的值. DC2

BB图1

图2

东城二模24. 在矩形ABCD中,AB?4,BC?3,E是AB边上一点,EF?CE交AD于

点F,过点E作?AEH??BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.

(1)如图1,当点H与点F重合时,求BE的长;

(2)如图2,当点H在线段FD上时,设BE?x,DN?y,求y与x之间的函数关系

式,并写出自变量x的取值范围;

(3)连结AC,当以点E,F,H为顶点的三角形与△AEC相似时,求线段DN的长. 3

类型四:相似三角形与抛物线

例1. 如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y?mx?2mx?n上.

(1)求m、n;

(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.

2

例2 直线y??x?1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.

(1) 写出点A、B、C、D的坐标;

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;

(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD

相似? 4 13

若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

例3如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式;

⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;

⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。

例4 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以

A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标. ,

5

类型五. 相似与圆

(2012大兴)21.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D,过点D作DE⊥AC,

垂足为E,延长AB、ED交于点F,AD平分∠BAC. (1)求证:EF是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径 为2,AE=3,求BF的长.

(2012东城)21. 如图,△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,CA是⊙O的切线, AE平分∠BAC交BC于点E,交CD于点F. (1)求证:CE=CF; (2)若sinB=

(2012丰台)20.如图,四边形ABCD内接于?O,BD是?O的直径,AE?CD于点E,DA平分

3

,求DF∶CF的值. 5

?BDE.

(1)求证:AE是?O的切线;

(2)如果AB=4,AE=2,求?O的半径.

(2012平谷)20.已知,如图,AB是⊙O的直径,点E是AD的中点,连结BE交AC于点G,BG的垂直平分线CF交BG于 H交AB于F点.

(1) 求证:BC是⊙O的切线; (2) 若AB=8,

BC=6,求BE的长.

6

(2012西城)21.如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,

点E为弧CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且

AD?BE,垂足为点H.

(1)求证:AB是半圆O的切线;

(2)若AB?3,BC?4,求BE的长.

A

A A (2012燕山)21. 已知:如图,Rt△ABC中,点D

以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连结DE

并延长,与AC的延长线交于点F.

(1)求证:AD=AF;

(2)若AC=3,BD=1,求CF的长.

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