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2013中考数学十大解题思路之构造法

发布时间:2013-10-09 09:36:41  

构造法在初中数学中的应用

所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质,构造满足条件或结论的数学对象,并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题,关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,进行构造,往往能促使问题转化,使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来,从而恰当地构造数学模型,进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法:

一、构造方程

构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析,根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系,挖掘潜在已知和未知之间的因素,从而构造出方程,使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点,构造一个"一元一次方程" 求解,从而获得问题解决。

例1:如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解,那么a、b的值分别是多少?

解:原方程整理得(a-4)x=15-b

∵此方程有无数多解,∴a-4=0且15-b=0

分别解得a=4,b=15

2、有些问题,直接求解比较困难,但如果根据问题的特征,通过转化,构造"一元二次方程",再用根与系数的关系求解,使问题得到解决。此方法简明、功能独特,应用比较广泛,特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征,构造出方程组,从而可找到解题途径。 例3:已知3,5,2x,3y的平均数是4。 20,18,5x

,-6y的平均数是1。求

的值。

分析:这道题考查了平均数概念,根据题目的特征构造二元一次方程组,从而解出x、y的值,再求出的值。

二、构造几何图形

1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题,要善于发掘题设条件中的几何意义,可以通过构造适当的图形把其两者联系起来,从而构造出几何图形,把代数问题转化为几何问题来解决.增强问题的直观性,使问题的解答事半功倍。

例4:已知,则x 的取值范围是()

A 1≤x≤5 B x≤1 C1<x<5 D x≥5

分析:根据绝对值的几何意义可知:表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3

,只要表示数 的点落在1和5之间(包括1和5),那么它到1与5的距离之和都等于4,所以1≤ x≤5,故选A。

2、在解几何题时,借助有关性质,巧妙构造,可迅速找到解题途径,不仅能使问题化难为易,迎忍而解,而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。

例5:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线交BC于点D。求证:AB+BD=AC

分析:若遇到三角形的角平分线时,常构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够找到解题途径。因此,延长CB到点F,使BF=AB,连接AF,则△BAF为等腰三角形,且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质,得出∠ABD=∠1+∠F , 即

∠ABD=2∠1=2∠F,而∠ABD=2∠C,所以∠C=∠1=∠F , △AFC为等腰三角形,即AF=AC,又可得△FAD为等腰三角形,因此 ,AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB+BD=AC。

三、构造函数模型,解数学实际问题

在解答数学实际问题时,引进数学符号,根据已知和未知之间的关系,将文字语言转化为数学符号语言,建立适当的函数关系式(考虑自变量的取值范围)。再利用有关数学知识,解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习,也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。

例6:(八年下课本习题变式)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料

9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。

(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;

(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),生产A种产品

x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

解;(1)设需生产A种产品x件,那么需生产B种产品(50-x)件,由题意得:

解得:30≤x≤32

∵ x是正整数

∴ x=30或31或32

∴有三种生产方案:①生产A种产品30件,生产B种产品20件;②生产A种产品31件,生产B种产品19件;③生产A种产品32件,生产B种产品18件。

(2)由题意得;y=700x+1200(50-x)=-500x+60000

∵ y随x的增大而减小

∴当x=30时,y有最大值,最大值为:=45000(元)

答:y与x之间的函数关系式为:y=-500x+60000,(1)中方案①获利最大,最大利润为45000元。

四、构造矛盾法

构造矛盾法即构造反例。所谓反例就是符合命题条件而又不符合命题结论的例子。这种例子推倒出命题的矛盾,有力地否定了命题成立的可能性。

例7:设a,b,c都是实数,考虑如下命题:

(1)若a2+ab+c>0,且c>1,则0<b<2;

(2)若c>1,且0<b<2,则a2+ab+c>0;

(3)若0<b<2,且a2+ab+c>0,则c>1;

试判断哪些命题正确,哪些命题不正确。对你认为正确的命题给出证明;认为不正确的命题,用反例予以否定。

分析:命题(1)不正确,构造反例如下:

令b=4,c=5,此时a2+ab+c=a2+4a+5=(a+2)2 +1>0且c>1,满足条件,但结论0<b<2不成立。

命题(2)成立。证明:a2+ab+c=a2+2(0.5b)a+(0.5b)2-(0.5b)2+ c=(a+0.5b)2 +(c-0.25b)

因为0<b<2,所以 0<0.25b<0.5且c>1,c-0.25b>0,因此a2+ab+c=(a+0.5b)2 +(c-0.25b)>0. 即命题成立。

命题(3)不成立。令b=1,c=0.5,此时0<b<2,且a2+ab+c=a2+a+0.5=(a+0.5)2 +0.25>0,满足条件,但结论c>1不成立。

综上所述,构造法在数学问题的解决中,不仅显得灵活、简便,,而且也往往是发现问题,找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中,学生在掌握基础知识之余,应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变,从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。

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