haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

2013-2014学年八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 (新版)新人教版

发布时间:2013-10-09 12:29:44  

13.4 课题学习 最短路径问题

如图所示,从A地到B地有三条路 可供选择,你会选走哪条路最近? 你的理由是什么?
C A

①D ②

E B



两点之间,线段最短

F

(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知:如图,A,B在直线L的两 侧,在L上求一点P,使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。
P

思考???
为什么这样做就能得到最短距 离呢?
根据:两点之间线段最短.

引入新知

引言: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

探索新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?

B
A l

探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗?

B
A l

探索新知
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线. · A· l
B

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图). B A
C l

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识,找到上问中符合条 l 件的点B′吗?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是

直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B 作法: · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.
·

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

·

A

·

B

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知, · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.

·

A

·

B

C′ C

l

B′

探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么? B · A 若直线l 上任意一点(与点 · C 不重合)与A,B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC,就说明AC + C BC 最小. B′

探索新知
追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的? B

·

A

·

C′ C

l

B′

1. 如图,A.B两地在 一条河的两岸,现要 在河上建一座桥MN, 桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNB 最短?(假设河的两 岸是平行的直线,桥 要与河垂直)

A· M

N E B

作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。 证 明 : 由 平 移 的 性 质 , 得 BN∥EM 且 BN=EM, M BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE, M C 则AB两地的距离为: AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, N D 在△ACE中,∵AC+CE>AE, E ∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN B 所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。


(Ⅲ)一点在两相交直线内部

已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, C,组成三角形,使三角形周长最小.
分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时,三角形的周长最小
D
B

C

E

(Ⅲ)一点在两相交直线内部

已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, C,组成三角形,使三角形周长最小.
分别作点A关于OM,ON的对称 点A′,A″;连接A′,A″, 分别交OM,ON于点B、点C, 则点B、点C即为所求


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com