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2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质

发布时间:2013-10-09 13:36:03  

2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】

一、 圆的定义及性质:

1、 圆的定义:

⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于 的点的集合

【名师提醒:1、在一个圆中,圆←决定圆的 半径决定圆的

2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥】

2、弦与弧:

弦:连接圆上任意两点的叫做弦

弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为 、、三类

3、圆的对称性:

⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是

【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、 垂径定理及推论:

1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的

2、推论:平分弦()的直径 ,并且平分弦所对的

【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线

3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】

三、圆心角、弧、弦之间的关系:

1、圆心角定义:顶点在 的角叫做圆心角

2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、 圆周角定理及其推论:

1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是

2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、 圆内接四边形:

定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做 性质:圆内接四边形的对角

【名师提醒:圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

考点一:垂径定理 例1 (2012?绍兴)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:

甲:1、作

OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,

2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形

乙:1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.

2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形.

对于甲、乙两人的作法,可判断( )

A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误

C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确

考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

专题:计算题.

分析:由甲的思路画出相应的图形,连接OB,由BC为OD的垂直平分线,得到OE=DE,且BC与OD垂直,可得出OE为OD的一半,即为OB的一半,在直角三角形BOE中,根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°,得到∠OBE为30°,利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°,再由∠BOE为三角形AOB的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形;

由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60°,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出∠OBE为30°,又∠BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确.

解答:解:根据甲的思路,作出图形如下:

连接OB,

∵BC垂直平分OD,

∴E为OD的中点,且OD⊥BC,

对应训练

A. B. C.8 D.12

中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

对应训练

例3 (2012?深圳)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标

?上一点,∠BMO=120°为(0,3),M是第三象限内 OB,则⊙C的半径长为( )

A.6 B.5

C.3 D.

A.115° B.l05° C.100° D.95°

考点:圆内接四边形的性质.

专题:计算题.

分析:根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°,而∠BCD与∠DEC为邻补

角,得到∠DCE=∠BAD=105°.

解答:解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,

∴∠BAD+∠BCD=180°,

而∠BCD+∠DCE=180°,

∴∠DCE=∠BAD,

而∠BAD=105°,

∴∠DCE=105°.

故选B.

点评:本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等.

【聚焦山东中考】

1.(2012?泰安)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是( )

??DB? A.CM=DM B. CB

C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD

考点:垂径定理.

专题:计算题.

?的中点,分析:由直径AB垂直于弦CD,利用垂径定理得到M为CD的中点,B为劣弧CD

可得出A和B选项成立,再由AM为公共边,一对直角相等,CM=DM,利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等,根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立,而OM不一定等于MD,得出选项D不成立.

解答:解:∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,

∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;

?的中点,即CB??DB?,选项B成立; B为CD

在△ACM和△ADM中,

?AM?AM?∵??AMC??AMD?90?,

?CM?DM?

∴△ACM≌△ADM(SAS),

∴∠ACD=∠ADC,选项C成立;

而OM与MD不一定相等,选项D不成立.

故选D

点评:此题考查了垂径定理,以及全等三角形的判定与性质,垂径定理为:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的弧,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

2.(2012?东营)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图1),若不计木条的厚度,其俯视图如图

2所示,已知AD

垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm.

2.30

考点:垂径定理的应用;勾股定理.

分析:当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于△ABC;连接外心与B点,可通过勾股定理即可求出圆的半径.

解答:解:连接OB,如图,

当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大.

∵AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,

∴O点在AD上,BD=24cm;

在Rt△0BD中,设半径为r,则OB=r,OD=48-r,

∴r2=(48-r)2+242,解得r=30.

即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm.

故答案为:30.

点评:此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理,垂径定理的讨论和勾股定理.

AB上一点(不与A,3.(2012?泰安)如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧?

点评:此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理,根据已知构造直角三角形

ABD是解题关键.

4.(2012?青岛)如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60°,则∠ABC的度数是.

4.150°

ADC上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理,即可求得∠ADC的度分析:首先在优弧?

数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得答案.

ADC上取点D,连接AD,CD, 解答:解:在优弧?

∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°

故答案为:150°.

点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题比较简单,注意掌握辅助线的作法.

【备考真题过关】

一、选择题 1.(2012?无锡)如图,以M(-5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,P

是⊙M上异于A、B的一动点,直线PA、PB分别交

y轴于C、D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长(

A.等于 B.等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化

考点:垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.

专题:计算题.

分析:连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=r-x,OC=r+x,证△OBD∽△OCA,推出OC:OB=OA:OD,即(r+x):1=9:(r-x),求出r2-x2=9,根据垂径定理和勾股定理即可求出答案.

解答:解:连接NE,

设圆N半径为r,ON=x,则OD=r-x,OC=r+x,

∵以M(-5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,

∴OA=4+5=9,0B=5-4=1,

∵AB是⊙M的直径,

∴∠APB=90°(直径所对的圆周角是直角),

∵∠BOD=90°,

∴∠PAB+∠PBA=90°,∠ODB+∠OBD=90°,

∵∠PBA=∠OBD,

∴∠PAB=∠ODB,

∵∠APB=∠BOD=90°,

∴△OBD∽△OCA,

2.(2012?陕西)如图,在半径为5的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为( )

A.3 B.4 C. D.

3.(2012?黄冈)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,已知CD=12

,BE=2,则⊙O的直径为( )

A.8 B.10 C.16 D.20

4.(2012?河北)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是( ) ?

C.∠D=1∠AEC AD?BCA.AE>BE B. ?

2D.△ADE∽△CBE

A.45° B.35° C.25° D.20°

6.(2012?云南)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=60°,则∠BCD的度数为( )

A.40° B.50° C.60° D.70°

考点:圆周角定理.

分析:由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠BCD的度数.

?对的圆周角, 解答:解:∵∠BAD与∠BCD是BD

∴∠BCD=∠BAD=60°.

故选C.

点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用.

7.(2012?襄阳)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是( )

A.80° B.160° C.100° D.80°或100°

点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.

8.(2012?泸州)如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为( )

A.50° B

.60° C.70° D.80°

二、填空题 9.(2012?朝阳)如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为 .

9.5

考点:垂径定理;勾股定理.

分析:连接OD,由垂径定理得求出DE,设⊙O的半径是R,由勾股定理得出R2=(R-1)2+32,求出R即可.

解答:解:

连接OD,

∵AB⊥CD,AB是直径,

∴由垂径定理得:DE=CE=3,

设⊙O的半径是R,

在Rt△ODE中,由勾股定理得:OD2=OE2+DE2,即R2=(R-1)2+32,

解得:R=5,

故答案为:5.

点评:本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,用了方程思想,题目比较好,难度适中.

12.90°

考点:圆周角定理.

分析:由在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB的度数.

解答:解:∵在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,

∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°.

故答案为:90°.

点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用,注意数形结合思想的应用.

13.(2012?玉林)如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是 .

13.30° 考点:圆周角定理;含30度角的直角三角形;矩形的性质.

分析:首先连接OB,由矩形的性质可得△BOC是直角三角形,又由OB=ON=2OC,∠BOC的度数,又由圆周角定理求得∠NMB的度数.

解答:

解:连接OB,

14.(2012?义乌市)如图,已知点A(0,2)、B(

作平行于x轴的射线,点

P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB

、BA.若四边形ABPQ为梯形,则:

(1)当AB为梯形的底时,点P

的横坐标是 ;

(2)当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .

14.(12)0或

考点:圆周角定理;等边三角形的性质;梯形;解直角三角形.

专题:几何综合题.

分析:首先根据题意画出符合题意的图形,(1)当AB为梯形的底时,PQ∥AB,可得Q

在CP上,由△APQ是等边三角形,CP∥x轴,即可求得答案;

(2)当AB为梯形的腰时,AQ∥BP,易得四边形ABPC是平行四边形,即可求得CP

的长,继而可求得点P的横坐标.

解答:解:(1)如图1:当AB为梯形的底时,PQ∥AB,

∴Q在CP上,

∵△APQ是等边三角形,CP∥x轴,

∴AC垂直平分PQ,

∵A(0,2),C(0,4),

∴AC=2,

(2)如图2,当AB为梯形的腰时,AQ∥BP,

∴Q在y轴上,

∴BP∥y轴,

∵CP∥x

轴,

∴四边形ABPC是平行四边形,

如图3,当C与P重合时,

∵A(0,2)、B(

∴∠APC=60°,

∵△APQ是等边三角形,

∴∠PAQ=60°,

∴∠ACB=∠PAQ,

∴AQ∥BP,

∴当C与P重合时,四边形ABPQ以AB为要的梯形,

此时点P的横坐标为0;

15.30°

考点:圆周角定理;特殊角的三角函数值.

专题:计算题.

分析:由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°;然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°;最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数.

解答:解:∵AB为⊙O直径,

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角);

三、解答题

19.(2012?长沙)如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)求圆心O到BC的距离OD.

考点:圆周角定理;等边三角形的判定;垂径定理;解直角三角形.

专题:探究型.

分析:(1)先根据圆周角定理得出∠ABC的度数,再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可;

(2)连接OB,由等边三角形的性质可知,∠OBD=30°,根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论.

解答:解:(1)在△ABC中,

∵∠BAC=∠APC=60°,

又∵∠APC=∠ABC,

∴∠ABC=60°,

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°,

∴△ABC是等边三角形;

(2)∵△ABC为等边三角形,⊙O为其外接圆,

∴O为△ABC的外心,

20.(2012?大庆)如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°.

(1)求∠ACB的大小;

(2)求点A到直线BC的距离.

考点:圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

分析:(1)根据垂直平分线的性质得出AB=BC,进而得出∠A=∠C=30°即可;

(2)根据BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,得出CD的长,进而求出AE的长度即可. 解答:解:(1)连接BD,

∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,

∴∠BDC=90°,

∵D是AC中点,

∴BD是AC的垂直平分线,

∴AB=BC,

∴∠A=∠C,

∵∠ABC=120°,

的性质的应用,主要考查学生能否运用性质进行推理,题目综合性比较强,是一道比较好的题目.

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