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圆周角

发布时间:2013-09-18 08:47:20  

一、复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O

.

2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的

B

C

一个结论,这个结论是什么? 在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦有 一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都

分别相等。

二、概念
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角.
?

A



O

B

C

如图: ∠ABC 为⊙O的一个圆 周角。

辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C C
E D D E C E D C E

D

顶点在圆上 两边都和圆相交 圆周角:__________,并且的角______________。 圆心角: 顶点在圆心 的角. ___________

说一说

下图中有哪些圆周角?并说出这些圆周 角是哪些弧所对的? D
A C

O

·
B

E

二、 探究
AB 分别量一下图中 ? 所对的两个 圆周角的度数,比较一下,再变 动点C在圆周上的位置,圆周角 的度数有没有变化?你能发现什 么规律吗?

圆周角.gsp
C

D O

? 再分别量出图中 AB所对的圆周

·
B

角和圆心角的度数,比较一下, 你什么发现?

A

同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现,如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC,由于点A的位置的取法可能不同,这时圆心O可能 会:
(1)在圆周角的一条边上;

∵OA=OC, ∴∠A=∠C.
A

又∠BOC=∠A+∠C
O

·
C

B

∴∠BOC=2∠A 即 ?A ? 1 ?BOC 2

(2)在圆周角的内部. 圆心O在∠BAC的内部,作直径AD,利用(1)的 结果,有
1 ?BAD ? ?BOD 2

1 ?DAC ? ?DOC 2
1 ??BAD ? ?DAC ? (?BOD ? ?DOC ) 2
A

1 ??BAC ? ?BOC 2

O

·
C

B D

(3)在圆周角的外部.
圆心O在∠BAC的外部,作直径AD,利用(1)的结果,有

1 ?BAD ? ?BOD 2 1 ?DAC ? ?DOC 2 1 ??DAC ? ?DAB ? (?DOC ? ?DOB) 2

A

1 ??BAC ? ?BOC 2
D

O

·
C B

圆周角定理:
定 理

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
C2 C1 C3

A

O

·

B

练习1

1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D

∠2=∠7 ∠1=∠4

A

1

8 7
6
C

2 3
B

∠3=∠6

4

5

∠5=∠8

C

1、已知∠AOB=75°,

O A B

求:∠ACB=


O

C

2、已知∠AOB=120°, 求: ∠ACB =

B

A

3、已知∠ACD=30°,
C O D A

求:∠AOB =
B

六、

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对弧一定相等吗?为什么?

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它 们所对的弧一定相等.


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