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1.2 直角三角形(1)

发布时间:2013-10-10 08:03:11  

九年级数学(上)第一章 证明(二)

2.直角三角形(1) 勾股定理与它的逆定理的证明

开启

智慧

勾股定理

?如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c, 那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理(pythagoras theorem).

a
b

c





驶向胜利 的彼岸



我能行

1
?方法一:

勾股定理的证明

拼图计算 ?方法二:割补法 ?方法三:赵爽的弦图 ?方法四:总统证法 ?方法五:青朱出入图 ?方法六:折纸法 ?方法七:拼图计算
这些证法你还能记得多少? 你最喜欢哪种证法?

驶向胜利 的彼岸

回顾反思 1

总统证法

?这个证明方法出自一位总统, 1881年,伽菲尔德(J.A.



Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积 公式。 ?图中三个三角形面积的和是 ?2×ab/2+c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; c b c a ?比较可得:c2 = a2+b2 。 a b 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, 后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法 称为“总统”证法。 . 勾股定理不只是数学家爱好,魅力真大!
驶向胜利 的彼岸

我能行

2

勾股定理的逆定理

?如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这

个三角形是直角三角形.
?已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. ?求证:△ABC是直角三角形.

B a C c A

b (1)

驶向胜利 的彼岸

我能行

2

逆定理的证明
B c A

?已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. ?求证:△ABC是直角三角形. ?证明:作Rt

△A′B′C′使∠C′ a =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则 C ?A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). ∵AC2+BC2=AB2(已知), B′ A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB2=A′B′2(等式性质). a ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠A=∠A′= 900(全等三角形

b (1) c

C′

的对应边). ∴ △ABC是直角三角形(直角三 角形意义).

b (2)
驶向胜利 的彼岸

A′

回顾反思 1

几何的三种语言
B a C

?勾股定理的逆定理
?如果三角形两边的平方和等于

第三边平方, 那么这个三角形是 直角三角形.

c
A



?在△ABC中 ?∵AC2+BC2=AB2(已知),

b (1)

?∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和

等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).

这是判定直角三角形的根据之一.
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智慧

命题与逆命题

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的 关系?与同伴交流. 再观察下面两组命题: 如如果两个角是对顶角,那么它们相等,

?如如果两个角相等,那么它们是对顶角如; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; ?上面每组中两个命题的条件和结论 之间也有类似的关系吗?与同伴进行 驶向胜利 交流. 的彼岸

开启

智慧

命题与逆命题

?在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题. ?你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的 平方相等”的逆命题吗? ?它们都是真命题吗?

?想一想:一个命题是真命题,
它逆命题是真命题还是假命题?
驶向胜利 的彼岸

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智慧

定理与逆定理

?一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. ?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.

?我们已经学习了一些互逆的定理,如: ?勾股定理及其逆定理, ?两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. ?你还能举出一些例子吗?

?想一想:

?互逆命题与互逆定理有何关系?

驶向胜利 的彼岸

读一读

1

学无止境

P18《读一读》:
?勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──

勾股定理的证明.



有四百多种说明! ?古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法, 不但有数学家,还有物理学家,甚至画家、政 治家。如赵爽(中)、梅文鼎(中)、欧几里 德(希腊)、辛卜松(英)、加菲尔德(美第 二十届总统)等等。其证明方法达数百种之多, 这在数学史上是十分罕见的.
驶向胜利 的彼岸

读一读

1

学无止境

P18《读一读》:

勾股定理的证明.


历时几千年的两个定理,牵动着世界上不知 多少代亿万人们的心,前人以坚韧的毅力,开 拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光 辉篇章,还有许多宝藏等待后人开采。自然无 限,创造永恒。同学们要努力学习,提高自身 素质,不辜负时代重托,将来为人类作出更大 贡献。
?
驶向胜利 的彼岸

读一读

1

学无止境

P18《读一读》:

勾股定理的证明.
?学习永远是件快乐而有趣的事!



?勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界!

驶向胜利 的彼岸

试一试P14 2

梦想成真

1.如图(单位:英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘 蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则 在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多 少?


A12

B


12 30

小结

拓展

回味无穷

? 勾股定理: ? 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么 a2+b2=c2.即直角三角形两直角

边的平方和等于斜边的 平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 (pythagoras theorem). ? 勾股定理的逆定理: ? 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三 角形是直角三角形. ? 命题与逆命题 ? 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其 中一个命题称为另一个命题的逆命题. ? 定理与逆定理 ? 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一 个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一 个定理的逆定理.

独立 作业

知识的升华

P9习题1.4 1,2,3题.

祝你成功!

独立作业

1

习题1.4 A

?1.如图,在△ABC中,已知 AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线 AD=12cm. ?求证:AB=AC. 证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知), B C ∴ BD=5cm(等式性质). D ∴ 在△ABD中, ∵ AD2+BD2=122+52=144+25=169, AB2=132=169, ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方 和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52=144+25=169, 驶向胜利 ∴AC2=AB2. 的彼岸 ∴AB=AC(等式性质).

独立作业

2

习题1.4

B1 ?2.房梁的一部分如图所示,其中 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多 少?B1C1呢? 300 A 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知), C1 C ∴ BC=AB/2=10÷2=5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等
于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),

B

又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余), ∴CB1=BC/2=5÷2=2.5(在直角三角形中, 如果有一个锐
角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质). ∴B1C1=AB1/2=7.5÷2=3.75(在直角三角形中, 如果有 一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

老师提示:对于含300角的直角三角形边 之间,角之间的关系要作为常识去认可.

驶向胜利 的彼岸

独立作业

3

?3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧 棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底 面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物, 那么它需要爬行的最短路径是多少? 解:如下图,将四棱柱的侧面展开, D1 连结AC1, A1 ∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
? AC1 ? ? 164 ? 2 41?勾股定理?. AC 2 ? CC1 ? 102 ? 82
2

习题1.4 A

D1 B1

C1

1

D
A B C1

C

B1

D B C

A 答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 2 41 cm.

老师提示:对于空间图形需要动手 操作,将其转化为平面图形来解决.

驶向胜利 的彼岸

下课了!

结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.


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