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第十五章整式乘法与因式分解教案

发布时间:2013-10-10 09:37:19  

第十五章整式乘法与因式分解教案 1

第十五章 整式的乘除与因式分解

15.1.1同底数幂的乘法

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用.

2.过程与方法

经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.

3.情感、态度与价值观

在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.

重、难点与关键

1.重点:同底数幂乘法运算性质的推导和应用.

2.难点:同底数幂的乘法的法则的应用.

预习导航:幂的运算中的同底数幂的乘法教学,要突破这个难点,?必须引导学生,循序渐进,合作交流,获得各种运算的感性认识,进而上各项到理性上来,提醒学生注意-a2与(-a)2的区别.

教学方法

采用“情境导入──探究提升”的方法,让学生从生活实际出发,认识同底数幂的运算法则.

教学过程

一、创设情境,故事引入

【情境导入】

“盘古开天壁地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.

【教师提问】盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?

光的速度为3〓105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5〓102秒,?你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?

【学生活动】开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:

3〓105〓5〓102=15?〓105〓102=15〓?(引入课题)

【教师提问】到底105〓102=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 2

【学生活动】分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.

计算过程:105〓102=(10〓10〓10〓10〓10)〓(10〓10)

=10〓10〓10〓10〓10〓10〓10

=107

【教师活动】下面引例.

1.请同学们计算并探索规律.

(1)23〓24=(2〓2〓2)〓(2〓2〓2〓2)=2( );

(2)53〓54=_____________=5( );

(3)(-3)7〓(-3)6=___________________=(-3)( );

111 (4)()3〓()=___________=()( ); 101010

34( ) (5)a〃a=________________a.

提出问题:①这几道题目有什么共同特点?

②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?

【学生活动】独立完成,并在黑板上演算.

【教师拓展】计算a〃a=?请同学们想一想.

m+n 【学生总结】a〃a=(a?a???a)?(a?a???a)?(a?a?a???a)=a???????????????

m个an个a(m?n)个a

这样就探究出了同底数幂的乘法法则.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)103〓104; (2)a〃a3; (3)a〃a3〃a5; (4)x〃x2+x2〃x

【思路点拨】(1)计算结果可以用幂的形式表示.如(1)103〓104=103+4=107,但是如果计算较简单时也可以计算出得数.(2)注意a是a的一次方,?提醒学生不要漏掉这个指数1,x3+x3得2x3,提醒学生应该用合并同类项.(3)上述例题的探究,?目的是使学生理解法则,运用法则,解题时不要简化计算过程,要让学生反复叙述法则.

【教师活动】投影显示例题,指导学生学习.

【学生活动】参与教师讲例,应用所学知识解决问题.

三、随堂练习,巩固深化

课本第142页练习题.

【探研时空】

据不完全统计,每个人每年最少要用去106立方米的水,1立方米的水中约含有3.34〓1019个水分子,那么,每个人每年要用去多少个水分子?

四、课堂总结,发展潜能

1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,?使用方法:乘积中,幂的底数不变,指数相加.

注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;

二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,

即am〃an=am+n(m、n是正整数).

2.应用时可以拓展,例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘,仍成立,

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第十五章整式乘法与因式分解教案 3

?底数和指数,它既可以取一个或几个具体数,由可取单项式或多项式.

练习(1)(a-b)3〃(a-b)4

3.运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.

五、布置作业,专题突破

1.课本P148习题15.1第1(1),(2),2(1)题.

2.选用目标小练习.

七、教学反思

15.1.2 幂的乘方

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.

2.过程与方法

经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.

重、难点与关键

1.重点:幂的乘方法则.

2.难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.

预习导航:在引导这个推导过程时,步步深入,层层引导,?要求对性质深入地理解.

教学方法

采用“探讨、交流、合作”的教学方法,让学生在互动交流中,认识幂的乘方法则.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【情境导入】

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第十五章整式乘法与因式分解教案 4

大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,?木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,?请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?(球的体积公式为V=4?r3) 3

【学生活动】进行计算,并在黑板上演算.

解:设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为

V木星=4(102)3=?(引入课题). ?〃3

【教师引导】(102)3=?利用幂的意义来推导.

【学生活动】有些同学这时无从下手.

【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?

【学生回答】a3=a〓a〓a,指3个a相乘.(102)3=102〓102〓102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102〓102〓102=102+2+2=106,?因此(102)3=106.

【教师活动】下面有问题:X|k |b| 1 . c|o |m

利用刚才的推导方法推导下面几个题目:

(1)(a2)3;(2)(24)3;(3)(bn)3;(4)-(x2)2.

【学生活动】推导上面的问题,个别同学上讲台演示.

【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a)的结果是多少?

【学生活动】归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:

(am)n=(am?am???am)?a???????

n个amn个m???????m?m?????m= amn.

评析:通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)(103)5;(2)(b3)4;(3)(xn)3;(4)-(x7)7.

【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.

【教师活动】启发学生共同完成例题.

【学生活动】在教师启发下,完成例题的问题:并进一步理解幂的乘方法则:

解:(1)(103)5=103〓5=1015; (3)(xn)3=xn〓3=x3n;

(2)(b3)4=b3〓4=b12; (4)-(x7)7=-x7〓7=-x49.

三、随堂练习,巩固练习

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第十五章整式乘法与因式分解教案 5

课本P143练习.

提高练习:

计算 5(P3)4〃(-P2)3+2[(-P)2]4〃(-P5)2 [(-1)m]2n+1m-1+02002―(―1)1990

若(x2)m=x8,则m=______

若[(x3)m]2=x12,则m=_______

若xm〃x2m=2,求x9m的值。

若a2n=3,求(a3n)4的值。

已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生。

【学生活动】书面练习、板演.

四、课堂总结,发展潜能

1.幂的乘方(a)=a(m,n都是正整数)使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.

2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,可以是字母,?也可以是单项式或多项式.

3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,?一个是“指数相加”.

五、布置作业:

1. 课本P148习题15.1第1、2题.

2.选用目标小练习

3.附加练习

[-(x+y)3]4 (an+1)2〓(a2n+1)3 (-32)3 a3〓a4〓a+(a2)4+2(a4)2

(xm+n)2〓(-xm-n)3+x2m-n〓(-x3)m

计算:-x2〃x2〃(x2)3+x10.

mnmn 七、教学反思:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 6

15.1.3 积的乘方

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

通过探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的乘方的运算性质的过程中,领会这个性质.

2.过程与方法

经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

3.情感、态度与价值观

通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

重、难点与关键

1.重点:积的乘方的运算.

2.难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.

3.关键:要突破这个难点,教师应该在引导这个推导过程时,步步深入,?层层引导,而不该强硬地死记公式,只有在理解的情况下,才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用.

教学方法

采用“探究──交流──合作”的方法,让学生在互动中掌握知识. 教学过程

(一) 回顾旧知识

1. 同底数幂的乘法

2.幂的乘方

(二)创设情境,引入新课

1.问题:已知一个正方体的棱长为2〓103cm,?你能计算出它的体积是多少吗?

2.学生分析(略)

3.提问:

体积应是V=(2〓103)3cm3 ,结果是幂的乘方形式吗?底数是2和103的乘积,虽然103是幂,但总体来看,它是积的乘方。积的乘方如何运算呢?能不能找到一个运算法则??有前两节课的探究经验,请同学们自己探索,发现其中的奥秒.

(三)自主探究,引出结论

1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?

(1)(ab)2=(ab)〃(ab)=(a〃a)〃(b〃b)=a( )b( )

(2)(ab)3=______=_______=a( )b( )

(3)(ab)n=______=______=a( )b( )(n是正整数)

2.分析过程:

(1)(ab)2 =(ab)〃(ab)= (a〃a)〃(b〃b)= a2b2, 【1】

(2)(ab)3=(ab)〃(ab)〃(ab)=(a〃a〃a)〃(b〃b〃b)=a3b3;

nn (ab)?????(ab)=(a?a?????a)〃(b?b?????b)=ab(3)(ab)n=(ab)????????????????????

n个abn个an个b

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第十五章整式乘法与因式分解教案 7

3.得到结论:

积的乘方:(ab)n=an〃bn(n是正整数)

把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.

4.积的乘方法则可以进行逆运算.即:

an〃bn=(ab)n(n为正整数)【2】

an〃bn=(a?a?????a)〃(b?b?????b)──幂的意义 ??????????

n个an个b

=(a?b)?(a?b)?????(a?b)──乘法交换律、结合律 ?????????

n个(a?b)

=(a〃b)n ──乘方的意义

三、随堂练习,巩固深化

课本P144练习.

【探研时空】

计算下列各式:

33 (1)(-)2〃(-)3; (2)(a-b)3〃(a-b)4; 55

(3)(-a5)5; (4)(-2xy)4;

(5)(3a2)n; (6)(xy3n)2-[(2x)2] 3;

(7)(x4)6-(x3)8; (8)-p〃(-p)4;

(9)(tm)2〃t; (10)(a2)3〃(a3)2.

四、课堂总结,发展潜能

本节课注重课堂引入,激发学生兴趣,“良好开端等于成功一半”.

1.积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数,?也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.

3.要注意运算过程,注意每一步依据,还应防止符号上的错误.

4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系.

五、布置作业,专题突破

1.课本P148习题15.1第1、2题.

2.选用目标小练习

3.选做题

12(x3)2〃x3-(3x3)3+(5x)2〃x7 (3xy2)2+(-4xy3) 〃 (-xy) (-2x3)3〃(x2)2 2

2322233pp5 (-xy)+7(x)〃(-x)〃(-y) [(m-n)]〃[(m-n)(m-n)]

1(0.125)7〓88 (0.25)8〓410 2m〓4m〓()m 8

已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值

六、板书设计

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第十五章整式乘法与因式分解教案 8

七、教学反思:

15.1.4 单项式乘以单项式

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神. 重、难点与关键

1.重点:单项式乘法运算法则的推导与应用.

2.难点:单项式乘法运算法则的推导与应用.

3.关键:通过创设一定的问题情境,?推导出单项式与单项式相乘的运算法则,可以采用循序渐进的方法突破难点.

教学方法

采用“情境──探究”的教学方法,让学生在创设的情境之中自然地领悟知识.

教学过程

(一)知识回顾:回忆幂的运算性质:

am〃an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m,n都是正整数)

(二)创设情境,引入新课

【1】问题:光的速度约为3〓105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大

约是5〓102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

【2】.学生分析解决:(3〓105)〓(5〓102)=(3〓5)〓(105〓102)=15〓107

【3】.问题的推广:如果将上式中的数字改为字母,即ac5〃bc2,如何计算?

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第十五章整式乘法与因式分解教案 9

ac5〃bc2

=(a〃c5)〃(b〃c2)

=(a〃b)〃(c5〃c2)

=abc5+2

=abc7

(三)自己动手,得到新知

1.类似地,请你试着计算:(1)2c5〃5c2;(2)(-5a2b3)〃(-4b2c)【4】

2.得出结论:单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

二、范例学习,应用所学

【例1】计算.

(1)3x2y〃(-2xy3) (2)(-5a2b3)〃(-4b2c)

【思路点拨】例1的两个小题,可先利用乘法交换律、?结合律变形成数与数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式,单独一个字母照抄.

【例2】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9〓103米/秒,?则卫星运行3〓102秒所走的路程约是多少?

【教师活动】:引导学生参与到例1,例2的解决之中.

【学生活动】参与到教师的讲例之中,巩固新知.

三、问题讨论,加深理解

【问题牵引】

1.a〃a可以看作是边长为a的正方形的面积,a〃ab又怎样理解呢?

2.想一想,你会说明a〃b,3a〃2a以及3a〃5ab的几何意义吗?

【教师活动】问题牵引,引导学生思考,提问个别学生.

【学生活动】分四人小组,合作学习.

四、随堂练习,巩固深化

课本P145练习第1、2题.

五、课堂总结,发展潜能

本节内容是单项式乘以单项式,重点是放在对运算法则的理解和应用上. 提问:(1)请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则.

(2)在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么?

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第十五章整式乘法与因式分解教案 10

六、布置作业,专题突破

1.课本P149习题15.1第3题.

2.选用目标小练习.

3. 附加练习:

1.小民的步长为a米,他量得家里的卧室长15步,宽14步,这间卧室的面积有多少平方米?

2.2a3bc2?(?2ab2) (?3x3)2?x3

(-10xy3)(2xy4z) (-2xy2)(-3x2y3)(-

3. 3(x-y)2〃[-1xy) 443(y-x)3][ -(x-y)4] 152

4.判断:单项式乘以单项式,结果一定是单项式( )

两个单项式相乘,积的系数是两个单项式系数的积( )

两个单项式相乘,积的次数是两个单项式次数的积( )

两个单项式相乘,每一个因式所含的字母都在结果里出现( )

122335.计算:0.4xy〃(xy)-(-2x)〃xy 2

mn6.已知a=2,a=3,求(a3m+n)2的值

求证:52〃32n+1〃2n-3n〃6n+2能被13整除

八、教学反思:

15.1.5 单项式与多项式相乘

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

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第十五章整式乘法与因式分解教案 11

经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.

3.情感、态度与价值观

培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值. 重、难点与关键

1.重点:单项式与多项式相乘的法则.

2.难点:整式乘法法则的推导与应用.

3.?关键:应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来,注意知识迁移.

教学方法

采用“情境──探究”教学方法,让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则.

教学过程

一、回顾交流,课堂演练

1.口述单项式乘以单项式法则.

2.口述乘法分配律.

3.课堂演练,计算:

12 (1)(-5x)〃(3x)2 (2)(-3x)〃(-x) (3)xy〃xy2 33

111 (4)-5m2〃(-mn) (5)-x4y6-2x2y〃(-x2y5) 352

【教师活动】组织练习,关注中下水平的学生.

【学生活动】先独立完成上述“演练题”,再相互交流,部分学生上台演示.

二、创设情境,引入新课

1 小明作了一幅水彩画,所用纸的大小如图1,她在纸的左右两边各留了a6

米的空白,请同学们列出这幅画的画面面积是多少?

【学生活动】小组合作,讨论.

【教师活动】在学生讨论的基础上,提问个别学生.

【情境问题2】夏天将要来临,有3家超市以相同价格n?(单位:元/台)销售A牌空调,他们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,?请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入.

【学生活动】分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法.

方法一:首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量(单位:台),?再计算出总的收入(单位:元).

即:n(x+y+z).

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第十五章整式乘法与因式分解教案 12

方法二:采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入,?然后再计算出他们的总收入(单位:元).

即:nx+ny+nz. 由此可得:n(x+y+z)=nx+ny+nz.

【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加.

三、范例学习,应用所学

【例1】计算:(-2a2)〃(3ab2-5ab3).

解:原式=(-2a2)(3ab2)-(-2a2)〃(5ab3)

=-6a3b2+10a3b3

1 【例2】化简:-3x2〃(xy-y2)-10x〃(x2y-xy2) 3

322 解:原式=-xy+3xy-10x3y+10x2y2

=-11x3y+13x2y2

【例3】解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3)

40x-8x2=19-8x2+6x

40x-6x=19

34x=19 19 x= 34

四、随堂练习,巩固深化

课本P146练习.

【探研时空】

计算:(1)5x2(2x2-3x3+8) (2)-16x(x2-3y)

(3)-2a2(12412ab+b) (4)(x2y3-16xy)〃xy2 223

【教师活动】巡视,关注中差生.

五、课堂总结,发展潜能

1.单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,?就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.单项式与多项式相乘,应注意(1)“不漏乘”;(2)注意“符号”.

六、布置作业,专题突破

1. 课本P149习题15.1第4、6题.

2.选用目标小练习

3.附加练习

1.若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则m-n的值为______

2.计算:(a3b)2(a2b)3

3. 计算:(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

5244. 计算:(-xy)?(xy2?2xy?y) 233

75.计算:(-3xy)(5x2y)?6x2(xy2?2y2) 2

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第十五章整式乘法与因式分解教案 13

6.已知a?2,b?3,求3ab(a2b?ab2?ab)?ab2(2a2?3ab?2a)的值

7.解不等式:2x(x?1)?(3x?2)x?2x2?x2?1

8.若2x2?3x?m与x2?mx?2的和中不含x项,求m的值,并说明不

论x取何值,它的值总是正数

八、教学反思:

15.1.6 多项式与多项式相乘

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

让学生理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.

2.过程与方法

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会其运算的算理.

3.情感、态度与价值观

通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.

重、难点与关键

1.重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.

2.难点:多项式与多项式的乘法法则的应用.

3.?关键:多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决.

教学方法

采用“情境──探索”教学方法,让学生在设置的情境中,通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 14

教学过程

一、创设情境,操作感知

【动手操作】

首先,在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形,并且分成如下图1?所示的四部分,标上字母.

【学生活动】拿出准备好的硬纸板,画出上图1,并标上字母.

【教师活动】要求学生根据图中的数据,求一下这个矩形的面积.

【学生活动】与同伴交流,计算出它的面积为:(m+b)〓(n+a).

【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开,分成如下图两部分,如图2.剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.

【学生活动】分四人小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a).

【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图3,?然后再求这四块长方形的面积.

【学生活动】分四人小组合作学习,求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,?它们的和为S=mn+nb+am+ab.

【教师提问】依据上面的操作,求得的图形面积,探索(m+b)(n+a)应该等于什么?

【学生活动】分四人小组讨论,并交流自己的看法.

(m+b)〓(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab,因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算,那么,两次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)〓(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.

【师生共识】多项式与多项式相乘,用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的结果相加.

字母呈现:

=ma+mb+na+nb.

二、范例学习,应用所学

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第十五章整式乘法与因式分解教案 15

【例1】计算: (1)(x+2)(x-3) (2)(3x-1)(2x+1)

【例2】计算: (1)(x-3y)(x+7y) (2)(2x+5y)(3x-2y)

【例3】先化简,再求值:

(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6.

【教师活动】例1~例3,启发学生参与到例题所设置的计算问题中去.

【学生活动】参与其中,领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题.

三、随堂练习,巩固新知

课本P148练习第1、2题.

【探究时空】

一块长m米,宽n米的玻璃,长宽各裁掉a?米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少?

四、课堂总结,发展潜能

1.多项式与多项式相乘,?应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果,利用乘法分配律来理解(m+n)与(a+b)相乘的结果,导出多项式乘法的法则.

2.多项式与多项式相乘,第一步要先进行整理,?在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时,要“依次”进行,不重复,不遗漏,且各个多项式中的项不能自乘,多项式是几个单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号.

五、布置作业,专题突破

1.课本P149习题15.1第5、7(2)、9、10题.

2.备用题

?(x?2)(x?3)?x(x?1)?221.?

?(x?1)(x?6)?(x?5)(x?2)

2. 求证:对于任意自然数n,n(n?5)?(n?3)(n?2)的值都能被6整除

3. 计算:(x+2y-1)2

4. 已知x2-2x=2,将下式化简,再求值.

(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

5. 小明找来一张挂历画包数学课本.已知课本长a厘米,宽b厘米,厚c

厘米,小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米.问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?

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第十五章整式乘法与因式分解教案 16

七、教学反思

教学内容:整式的乘法

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:练习

新课指南

1.知识与技能:(1)掌握同底数幂的乘法;(2)幂的乘方;(3)积的乘方;(4)整式的乘法法则及运算规律.

2.过程与方法:经历探索同底数幂的乘法公式的过程,在乘法运算的基础上理解同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算公式,从而熟练地掌握和应用整式的乘法.

3.情感态度与价值观:通过本节的学习,全面体现转化思想的应用,也使学生认识到数学知识来源于实际生活的需求,反过来又服务于实际生产、生活的需求.

4.重点与难点:重点是同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算.难点是整式的乘法.

教材解读 精华要义

数学与生活

著名诺贝尔奖获得者法国科学家居里夫人发明了“镭”,据测算:1千克镭完全蜕变后,放出的热量相当于3.75〓105千克煤放出的热量.估计地壳里含有1〓1010千克镭,试问这些镭蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量?

思考讨论 由题意可知,地壳里1〓1010千克镭完全蜕变后放出的热量相当于(3.75〓105)〓(1〓1010)千克煤放出的热量,所以,如何计算这个算式呢?由乘法的交换律和结合律可进行如下计算:(3.75〓105)〓(1〓1010)=3.75〓105〓1010=(3.75〓1)〓(105〓1010)=3.75〓(105〓1010),那么如何计算105〓1010呢?

知识详解

知识点1 同底数幂的乘法法则

am〃an=am+n(m,n都是正整数).

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

例如:计算.

(1)m3〓m4; (2)ab5〓ab2;

知识点2 幂的乘方

(am)n=amn(m,n都是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 17

【说明】 (1)幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的.

(2)(am)n与的am区别.

其中,(am)n表示n个am相乘,而am表示mn个a相乘,例如:(52)3=52〓3=56,52=58.因此,(am)n≠am,要仔细区别.

知识点3 积的乘方

(ab)n=anbn(n为正整数).

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

探究交流

填空,看看运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律?

2( )( )(1)(ab)=(ab)〃(ab)=( a〃a)(b〃b)= ab

(2)(ab)3= = =a( )b( )

点拨 由积的乘方法则得知:(1)2 2 (2)(ab)〃(ab)〃(ab) ( a〃a〃a)(b〃b〃b) 3 3

【说明】 在运用积的乘方计算时,要注意灵活,如果底数互为倒数时,可

11适当变形.如:()10〃210=(〃2)10=110=1; 22

111111 42〃(-)5=24〃(-)5=[24〃(-)4]〃(-)=[(-)〃2]4〃(-) 222222

11 =1〃(-)=-. 22

知识点4 单项式的乘法法则

单项式乘法是指单项式乘以单项式.

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

为了防止出现系数与指数的混淆,同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误,同学们在初学本节解题时,应该按法则把计算步骤写全,逐步进行计算.如

121xy〃4xy2=(〓4)〃x2+1y1+2=2x3y3. 22

在许多单项式乘法的题目中,都包含有幂的乘方、积的乘方等,解题时要注意综合运用所学的知识.

【注意】 (1)运算顺序是先乘方,后乘法,最后加减.

(2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据,也就是避免知识上的混淆及符号等错误.

知识点5 单项式与多项式相乘的乘法法则

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

例如:a(m+n+p)=am+an+ap.

【说明】 (1)单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的应用.

(2)在应用乘法分配律时,要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流

下列三个计算中,哪个正确?哪个不正确?错在什么地方?

奈曼四中八年级数学备课资料 3nnn

第十五章整式乘法与因式分解教案 18

(1)3a(b-c+a)=3ab-c+a

(2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x

(3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m

点拨 (1)(2)不正确,(3)正确.(1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘.(2)题错在没有将-2x中的负号乘进去.

知识点6 多项式相乘的乘法法则

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

【说明】 多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的,渗透了转化的数学思想.

(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.

计算时是首先把(a+b)看作一个整体,作为单项式,利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.

典例剖析 师生互动

基本概念题

本节有关基本概念的题目包括以下几个方面:(1)同底数幂的乘法;(2)幂的乘方与积的乘方;(3)整式的乘法.

例1 计算.

(1)①103〓104;②a〃a3;③a〃a3〃a5;④(m+n)2〃(m+n)3.

1(2)①(103)5;②(b3)4;③(-4)3〃(-)3. 4

3323(3)①(2b);②(2a);③(-a);④(-3x)4.

(分析) 本题主要考查三个公式:am〃an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,其中,m,n均为正整数.

解:(1)①103〓104=103+4=107. ②a〃a3=a1+3=a4.

③a〃a3〃a5=a1+3+5=a9. ④(m+n)2〃(m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5.

(2)①(103)5=103〓5=1015. ②(b3)4=b3〓4=b12.

11③(-4)3〃(-)3=[(-4)〃(-)]3=13=1. 44

(3)①(2b)3=23b3=8b3. ②(2a3)2=22(a3)2=4a6.

③(-a)3=(-1)3a3=-a3. ④(-3x)4=(-3)4x4=81x4. 在应用这三个公式时要准确,尤其是公式(am)n=amn,不要写成

(am)n=am,这是不正确的.

基本知识应用题

本节的基础知识应用包括:(1)经历探索整式乘法运算法则的过程;(2)会进行简单的整式乘法运算.

例2 计算.

(1)3x2y〃(-2xy3); (2)(-5a2b3)〃(-4b2c).

(分析) 单项式乘法,其实质就是同底数幂乘法与乘法交换律和结合律. 解:(1)3x2y〃(-2xy3)=[3〃(-2)](x2〃x)(y〃y3)=-6x3y4.

(2)(-5a2b3)〃(-4b2c)=[(-5)(-4)]a2〃(b3〃b2)〃c=20a2b5c.

例3 计算.

(1)2a2(3a2-5b); (2)(-2a2)(3ab2-5ab3).

(分析)单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的应用.

奈曼四中八年级数学备课资料 n

第十五章整式乘法与因式分解教案 19

解:(1)2a2(3a2-5b)

=2a2〃3a2-2a2〃5b

=6a4-10a2b.

解法1:(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)=(-2a2)〃3ab2-(-2a2)〃5ab3

=-6a3b2+10a3b3.

解法2:(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)

=-(2a2〃3ab2-2a2〃5ab3)

=-(6a3b2-10a3b3)

=-6a3b2+10a3b3. 单项式与多项式相乘时,要注意两个问题:

(1)要用单项式与多项式的每一项相乘,避免漏乘;

(2)单项式带有负号时,如(2)小题,乘的时候容易弄错符号,为了避免这一错误出现,可以用(2)小题的第二种解法,就能有效地解决.

例4 计算.

(1)(x-3y)(x+7y); (2)(5x+2y)(3x-2y).

(分析)先用多项式乘法法则计算,最后要合并同类项.

解:(1)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy-3xy-21y2=x2+4xy-21y2.

(2)(5x+2y)(3x-2y)=15x2-1Oxy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2.

学生做一做 计算.

(1)(x+2)(x-3); (2)(3x-1)(2x+1).

老师评一评 (1)(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6.

(2)(3x-1)(2x+1)=6x2+3x-2x-1=6x2+x-1.

综合应用题

本节知识的综合应用包括:(1)整式乘法与方程的综合应用;(2)整式乘法与不等式的综合应用;(3)整式乘法与整式加减的综合应用.

例5 化简.

(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b);(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5).

(分析) 整式加减与整式乘法的混合计算,要依照先乘法,后加减的顺序计算.

解:(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)

=(a2-ab-2b2)-(a2+ab-2b2)

=a2-ab-2b2-a2-ab+2b2

=-2ab.

(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)

=(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15)

=5x3+10x2+5x-2x2+7x+15

=5x3+8x2+12x+15.

学生做一做 化简.

(1)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3);

(2)(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+31x2-7x-13.

老师评一评 (1)原式=5y-26.

(2)原式=32x2-20x+53.

例6 解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1).

(分析) 解方程时,有括号的先去括号.

解:(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1),

6x2-13x+6=6x2-x-5,

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第十五章整式乘法与因式分解教案 20

6x2-13x-6x2+x=-5-6,

-12x=-11,

11∴x=. 12

学生做一做 解下列方程.

(1)3x(7-x)=18-x(3x-15); (2)11x(x+2)=1-x(3-x). 22

1老师评一评 (1)x=3;(2)x=. 4

在解存在整式乘法的方程时,依照先乘法,后加减的顺序,其他步骤没有变化.

例7 解不等式(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3).

解:(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3),

9x2-16>9(x2+x-6),

9x2-16>9x2+9x-54,

9x2-9x2-9x>16-54,

38-9x>38,∴x<. 9

学生做一做 解不等式(x+3)(x-7)+8>(x+5)(x-1).

老师评一评 x<-1.

探索与创新题

主要考查灵活解决问题和创新的能力.

例8 已知ma?b〃ma?b=m,求a的值. 12

(分析)由同底数幂乘法法则可把原式变形为m(a?b)?(a?b)=m12,由此得到(a+b)+(a-b)=12,进而求出a的值.

解:∵ma?b〃ma?b=m12,∴m(a?b)?(a?b)=m12.

∴(a+b)+(a-b)=12,

∴2a=12.∴a=6.

学生做一做 (1)若644〓83=2x,则x= ;

(2)若x2n=4,x6n= ,(3x3n)2= ;

(3)已知am=2,an=3,则am+n= .

老师评一评 (1)33 (2)64 576 (3)6 小结 在应用同底数幂乘法、幂的乘方及积的乘方运算解决问题时,贵在灵活,尤其是公式:am〃an=am+n,(am)n=amn,(ab)m= ambm(m,n为正整数),它们的逆应用非常广泛,大家要引起充分的重视.

1例9 计算(-3)2004〃()2005. 3

(分析)按照本题的运算级别,应先乘方后乘法,但是我们看到,要计算出

1(-3)2004〃()2005的具体值是相当困难的,也是不必要的.因此我们不妨仔细观察3

本题的特点,虽然两个乘方运算的指数都很大,但是它们两者却只相差1,而

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第十五章整式乘法与因式分解教案 21

且它们的底数互为负倒数,而且互为负倒数的乘积是-1,因此考虑公式(ab)m=ambm的逆应用,即把指数大的乘方运算中的指数进行变化.

1解:(-3)2004〃()2005 3

1=(-3)2004〃()2004+1 3

11=(-3)2004〃()2004〃 33

11=[(-3)〃]2004〃 33

1=(-1)2004〃 3

11=1〓=. 33

1学生做一做 (1)()5993〓252996= ; 5

21(2)(-)2001〓(2)1000= ; 34

113(3)(1)2001〓(-1)2002〓(-)2003= . 345

159931599315993老师评一评 (1)()〓252996=()〓(52)2996=()〓555

11155992=〃()5992〃55992=. 555

22001110002200191000222000(2)(-)〓(2)=(-)〓()=(-)〃(-)〓343433

32232232[()2]1000=(-)〓(-)2000〓()2000=(-)〓[(-)〓]2000=(-)〓23323323

22(-1)2000=(-)〓1=-. 33

4534535(3)原式=()2001〓(-)2002〓(-)2003=[〓(-)〓(-)]2001〓(-)〓3453454

3599(-)2=12001〓(-)〓=-. 542520

x例10 已知2=3,2y=5,2z=15.求证x+y=z.

(分析)要说明x+y=z,只需说明2x+y=2z即可.

证明:∵2x=3,2y=5,

∴2x+y=2x〃2y=3〓5=15.

又∵2z=15,∴2x+y=2z.∴x+y=z.

例11 比较大小.

(1)1625与290;(2)2100与375.

(分析) 比较两个正数幂的大小,一种是指数相同,比较底数大小,另一种是底数相同,比较指数大小.

解:(1)∵1625=(24)25=2100,290=290,

又∵2>1,∴290<2100,即1625>290.

(2)∵2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725,且16<27,

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第十五章整式乘法与因式分解教案 22

∴1625<2725,即2100<375.

学生做一做 比较355,444,533的大小.

老师评一评 ∵355=(35)11=24311,444=(44)11=25611,533=(53)11=12511,且256>243>125,

∴25611>24311>12511,即444>355>533.

1例12 如果(x+q)(x+)的积中不含x项,那么q= . 5

111(分析) 欲求q的值,则需化简(x+q)(x+)=x2+(+q)x+q, 555

11因为积中不含x项,即x项的系数是0,所以+q=0,所以q=-. 55

小结 欲求多项式中不含某项,即某项的系数为0.

例13 若n为自然数,试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数. 解:∵n(2n+1)-2n(n-1)

=2n2+n-(2n2-2n)

=2n2+n-2n2+2n

=3n,

且n为自然数,

∴n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数.

学生做一做 用你所学的知识,说明523-521能被120整除.

老师评一评 ∵523-521=521+2-521=521〃52-521=521〃(52-1)=24〓521=24〓5〓520=120〓520,∴是120的整数倍,∴523-521能被120整除.

例14 设m2+m-1=0,求m3+2m2+2004的值.

(分析) 欲求代数式的值,从m2+m-1=0中求m的值是比较困难的,也是不必要的,只需利用单项式与多项式的积的逆运算即可.

解:∵m2+m-1=0,∴m2+m=1.

∴m3+2m2+2004

=m(m2+m)+m2+2004

=m〃1+m2+2004

=m2+m+2004

=1+2004

=2005.

∴m3+2m2+2004=2005.

学生做一做 若2x+5y-3=0,则4x〃32y= .

老师评一评 ∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3,

∴4x〃32y=(22)x〃(25)y-22x〃25y=22x+5y=23=8.

中考展望 点击中考

中考命题总结与展望

历年中考多为填空题、选择题或化简求值题,经常与函数、方程等知识综合出题.

中考试题预测

例1 (2004〃河北)化简(-x)3〃(-x)2的结果正确的是( )

A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5

(分析) 本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法,解法有两种:①原式=(-x3)〃x2=-x5;②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项.

例2 (2004〃长沙)下列运算中,正确的是( )

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第十五章整式乘法与因式分解教案 23

A.x2〃x3=x6 B.(ab)3=a3b3

C.3a+2a=5a2 D.(a-1)2=a2-1

(分析) 本题主要考查整式的乘法与合并同类项.其中A项不正确,x2〃x3=x5,主要考查同底数幂的乘法公式;B项正确,主要考查积的乘方;C项不正确,主要考查合并同类项;D项不正确,主要考查多项式相乘,故选择B项.

例3 (2004〃黑龙江)下列运算正确的是( )

A.x2〃x3=x6 B.x2+x2=2x4

C.(-2x)2=-4x2 D.(-2x2)(-3x3)=6x5

(分析) 本题主要考查整式的加减和乘法.

答案:D

例4 (2004〃桂林)计算:4x2〃(-2xy)= .

(分析) 本题旨在检测单项式乘法法则.4x2〃(-2xy)=-8x3y.

1例5 (2004〃临汾)计算:(-x3y)2= . 2

(分析) 本题旨在考查积的乘方与幂的乘111方.(-x3y)2=(-)2(x3)2y2=x6y2. 224

例6 (2004〃哈尔滨)下列各式正确的是( )

A.(-a)2=a2 B.(-a)3=a3 C.?a2=-a2 D.?a3=a3

答案:A

例7 (2004〃青海)化简:a3〃a2b= .

答案:a5b

1例8 (2004〃西宁)计算:9xy〃(-x2y)= . 3

32答案:-3xy

课堂小结 本节归纳

1.本节主要学习了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方公式.整式的乘法,包括单项式乘法、单项式乘以多项式及多项式乘法.

2.必须掌握每种情况的运算法则,计算时一定要正确运用法则和有关知识.

习题选解 课本习题

习题15.1

1.(1)不对,b3〃b3=b6;(2)不对,x4〃x4=x8;(3)不对,(a5)2=a10;

(4)不对,(a3)2〃a4=a10;(5)不对,(ab2)3=a3b6;(6)不对,(-2a)2=4a2.

2.(1)原式=2x4; (2)原式=-p3q3;

(3)原式=-16a8b4; (4)原式=6a8.

3.(1)原式=18x3y; (2)原式=-6a2b3;

(3)原式=-4x5y7; (4)原式=4.94〓108.

4.(1)原式=-8ab+2b3; (2)原式=2x3-x2;

(3)原式=10a2b-5ab2+ab; (4)原式=-18a3+6a2+4a.

115.(1)原式=x2-9x+18; (2)原式=x2+x-; 66

(3)原式=3x2+8x+4; (4)原式=4y2-21y+5.

16.原式=-2x2+x,当x=时,原式=0. 2

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第十五章整式乘法与因式分解教案 24

7.(1)原式=-5x2-12x+15; (2)原式=2x2-8.

9.提示:7.9〓103〓2〓102=1.58〓106(米).

10.提示:图中阴影部分的面积是:

(a+2a+2a+2a+a)〃(1.5a+2.5a)-2a〃2.5a-2a〃2.5a

=8a〃4a-5a2-5a2

=32a2-10a2

=22a2(m2) X k b 1 . c o m

3811.(1)x=1 (2)x> 9

12.(1)m=13 (2)m=-20 (3)m=15 (4)m=-12

(5)提示:由于pq=36,且p,q为正整数,

所以有下列五种情形:

①p=1,q=36,此时m=37;

②p=2,q=18,此时m=20;

③p=3,q=12,此时m=15;

④p=4,q=9,此时m=13;

⑤p=6,q=6,此时m=12.

∴m的值分别为37,20,15,13,12.

自我评价 知识巩固

1.如果xm-3〃xn=x2,那么n等于( )

A.m-1 B.m+5 C.4-m D.5-m

2.下列计算错误的是( )

A.(- a)〃(-a)2=a3 B.(- a)2〃(-a)2=a4

C.(- a)3〃(-a)2=-a5 D.(- a)3〃(-a)3=a6

3.计算(a3)2+a2〃a4的结果为( )

A.2a9 B.2a6 C.a6+a8 D.a12

24.计算()2003〓1.52002〓(-1)2004的结果是( ) 3

2323A. B. C.- D.- 3232

25.方程x(x-3)+2(x-3)=x-8的解为( )

A.x=2 B.x=-2 C.x=4 D.x=-4

6.若3x(xn+5)=3xn+1-7,则x= .

7.若(an〃bm〃b)3=a9b15,则m= ,n= .

18.计算:(-x2y)3〃(-3xy2)2= . 2

9.计算:(4〓106)〓(8〓103)= .

10.当x=2时,代数式ax3+bx-7的值为5,则x=-2时,这个代数式的值为 .

11.计算.

(1)(-x)3(-y)2-(-x3y2);

11(2)890〃()90〃()180; 22

45(3)2〓4〓(-0.125)4;

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第十五章整式乘法与因式分解教案 25

(4)(x-6)(x2+x+1)-x(2x+1)(3x-1);

(5)2(a-4)(a+3)-(2a+1)(a-1);

(6)(2x+1)(x-1)-(x+2)(2x-1).

12.已知2x=a,2y=b,求2x+y+23x+2y的值.

13.要使x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4成立,则a,b的值分别为多少?

14.若(3x2-2x+1)(x+b)中不含x2项,求b的值.

15.若3k(2k-5)+2k(1-3k)=52,求k的值.

1116.解不等式x2+x(3-2x)<2. 24

17.观察下列等式:

13=12

13+23=32

13+23+33=62

333321+2+3+4=10

……

想一想,等式左边各项的底数与等式右边的底数有什么关系?猜一猜,可以得出什么规律?

111118.计算(〓〓〓…〓〓1)10〃(10〓9〓8〓7〓…〓3〓2〓1)10. 98210

15.2.1平方差公式(一)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

2.过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.

3.情感、态度与价值观

通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

重、难点与关键

1.重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.

2.难点:平方差公式的应用.

3.关键:对于平方差公式的推导,我们可以通过教师引导,学生观察、?总结、猜想,然后得出结论来突破;抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式来计算的关键.

教学方法

采用“情境──探究”的教学方法,让学生在观察、猜想中总结出平方差

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第十五章整式乘法与因式分解教案 26

公式.

教学过程

(一) 学生动手,得到公式

1. 计算下列多项式的积.

(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)

2.提出问题:

观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?

2.特点:

等号的一边:两个数的和与差的积,等号的另一边:是这两个数的平方差

3.再试一试: 【学生自己出相似的题目加以验证】

4.得到结论

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

即 (a+b)(a-b)=a2-b2 【1】

(二) 熟悉公式

1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式?【2】

(2a?3b)(2a?3b) (?2a?3b)(2a?3b) (?2a?3b)(?2a?3b) (?2a?3b)(2a?3b) (a?b?c)(a?b?c) (a?b?c)(a?b?c)

3.认清公式:在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a,变号的

是b

(三) 运用公式

1.直接运用

例:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)【3】

2.简便计算

例:(1)102〓98【3】 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

3.练习: P153 练习1,2

(?x?2y)(?2y?x) (2x?5)(5?2x)

(0.5?x)(x?0.5)(x2?0.25) (x?6)2?(x?6)2【4】

100.5〓99.5 99〓101〓10001

四、课堂总结,发展潜能

本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数a,?第二个数b;二是两数和乘以这两数差,这也是判断能否运用平方差公式的方法.

五、布置作业,专题突破

1. 课本P156第1、2题.

2.备用题

1..证明:两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证:(m?5)2?(m?7)2一定是24的倍数

六、板书设计

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第十五章整式乘法与因式分解教案 27

七、教学反思:

15.2.1平方差公式(二)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

探究平方差公式的应用,熟练地应用于多项式乘法之中.

2.过程与方法

经历平方差公式的运用过程,体会平方差公式的内涵.

3.情感、态度与价值观

培养良好的运算能力,以及观察事物的特征的能力,感受到学习数学知识的实际价值.

重、难点与关键

1.重点:运用平方差公式进行整式计算.

2.难点:准确把握运用平方差公式的特征.

3.关键:弄清平方差公式的结构特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)?两个二项式中一项相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方.

教学方法

采用“精讲.精练”分层递推的教学方法,让学生在训练中,熟练掌握平方差的特征.

教学过程

一、回顾交流,课堂演练

1.用平方差公式计算:

(1)(-9x-2y)(-9x+2y) (2)(-0.5y+0.3x)(0.5y+0.3x)

(3)(8a2b-1)(1+8a2b) (4)20082-2009〓2007

2.计算:(a+11b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b) 22

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第十五章整式乘法与因式分解教案 28

【教师活动】请部分学生上讲台“板演”,然后组织学生交流.

【学生活动】先独立完成课堂演练,再与同学交流.

二、范例学习,巩固深化

【例1】计算:

(1)(1133y+2x)(2x-y); 2244

55 (2)(-x-0.7a2b)(x-0.7a2b); 66

(3)(2a-3b)(2a+3b)(4a2+9b2)(16a4+81b4).

5353259 解:(1)原式=(x+y)(x-y)=x2?y2 2424416

5522 (2)原式=(-0.7ab-x)(-0.7ab+x) 66

525 =(-0.7a2b)2-(x)2=0.4 9a4b2-x2 636

2222 (3)原式=(4a-9b)(4a+9b)(16a4+81b4)

=(16a4-81b4)(16a4+81b4)

=256a8-6561b8

31 【例2】运用乘法公式计算:7〓8 44

3111 【思路点拨】因为7可改写为8-,8可改写成8+,这样可用平方4444

差公式计算.

31111115 解:7〓8=(8-)(8+)=82-()2=64-=63. 444441616

【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式.

【学生活动】参与到例1~2的学习中去.

三、课堂演练,拓展思维

【演练题1】想一想:(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征. ?6?8????7?7???13?15????14?14???61?63????62?62???59?61?? ?60?60???

(2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律?

(3)请你用字母表现你所发现的规律,并得出结论.

【演练题2】

1.计算:(1)118〓122 (2)105〓95 (3)1007〓993

2.求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字.

【教师活动】组织学生进行课堂演练,并适时归纳.

【学生活动】先独立完成上面的演练题,再与同伴交流.

四、随堂练习,巩固提升

【探研时空】

1.计算:[2a2-(a+b)(a-b)][(-a-b)(-a+b)+2b2];

2.解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3);

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第十五章整式乘法与因式分解教案 29

3.利用平方差公式计算:1.97〓2.03;

4.化简求值:x4-(1-x)(1+x)(1+x2)其中x=-2.

【教师活动】引导学生通过探究,领会平方差公式的真正意义.

【学生活动】分四人小组合作学习,互相交流.

五、课堂总结,发展潜能

提问式总结:

1.什么叫做平方差公式?它有什么特征?

2.你在应用过程中有什么感想?

3.在应用平方差公式时,应注意什么?举例说明.

六、布置作业,专题突破

教师补充作业.

八、教学反思:

15.2.2 完全平方公式(一)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算,形成推理能力.

2.过程与方法

利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法.

3.情感、态度与价值观

培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性. 重、难点与关键

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第十五章整式乘法与因式分解教案 30

1.重点:完全平方公式的推导和应用.

2.难点:完全平方公式的应用.

3.关键:从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,?利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性.

教具准备

制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板.

教学方法

采用“情境──探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【激趣辅垫】

寓言故事:请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事.

【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事,其他学生补充.

【教师活动】提出:你们从故事中学到了什么道理?(寓德于教)【学生发言】比喻没有真才实学的人,混在行家里充数,或以次货充好货.

【教师引导】对!所以我们在以后的学习和工作中,千万别滥竽充数,一定要有真才实学.好.今天同学们喊得很响亮,我要看看有没有南郭先生,请同学们完成下面的几道题:

(1)(2x-3)2; (2)(x+y)2; (3)(m+2n)2; (4)(2x-4)2.

【学生活动】先独立完成以上练习,再争取上讲台演练,

(1)(2x-3)2=4x2-12x+9; (2)(x+y)2=x2+2xy+y2;

(3)(m+2n)2=m2+4mn+4n2; (4)(2x-4)2=4x2-16x+16.

【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项,观察、猜测它们的共同特点.

【学生活动】分四人小组,讨论.观察,探讨,发现规律如下:(1)?右边第一项是左边第一项的平方,右边最后一项是左边第二项的平方,中间一项是它们两个乘积的2倍.(2)左边如果为“+”号,右边全是“+”号,左边如果为“-”号,它们两个乘积的2?倍就为“-”号,其余都为“+”号.

【教师提问】那我们就利用简单的(a+b)2与(a-b)2进行验证,请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算.

【学生活动】计算出(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,完成后,?一位学生上讲台板演.

【教师活动】利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容──完全平方公式.

归纳:完全平方公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2.

语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们

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第十五章整式乘法与因式分解教案 31

的积的2倍.

为了让学生直观理解公式,可做下面的拼图游戏.

【拼图游戏】

解释:(1)现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张,?请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,?并探究所拼出的正方形的代数意义.

(2)你能根据图2,谈一谈(a-b)2=a2-2ab+b2吗?

【课堂活动】第(1)题由小组合作,在互动中完成拼图游戏,比一比,哪个四人小组快?第(2)题,可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学生联想到

(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2.

二、范例学习,应用所学

【例1】运用完全平方公式计算:

1 (1)(-x-y)2; (2)(2y-)2 3

(1)解法一:(-x-y)2=[(-x)+(-y)] 2

=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2

=x2+2xy+y2;

解法二:(-x-y)2=[-(x+y)] 2=(x+y)2=x2+2xy+y2.

111 (2)解法一:(2y-)2=(2y)2-2〃2y〃+()2 333

=4y2-41y+. 9311 解法二:(2y-)2=[2y+(-)] 2 33

11 =(2y)2+2〃2y〃(-)+(-)2 33

=4y2-41y+. 93 【例2】运用乘法公式计算99992.

解:99992=(104-1)2=108-2〓104+1

=100000000-20000+1

=99980001.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 32

三、随堂练习,巩固新知

【基础训练】

1ab(1)(-)2; (2)(2xy+3)2;(3)(-ab+)2;(4)(7ab+2) 332

【拓展训练】

(1)(-2x-3)2; (2)(2x+3)2;(3)(2x-3)2;(4)(3-2x)2.

【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后,让学生观察一下结果,看看有什么规律.

【学生活动】分四人小组合作交流,寻找规律如下:把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方(把减去一个数看作加上一个负数),如果两个数是相同的符号,则结果中的每一项都是正的,如果两个数具有不同的符号,?则它们乘积的2倍这一项就是负的.

【探研时空】

已知:x+y=-2,xy=3,求x2+y2.

四、课堂总结,发展潜能

本节课学习了(a〒b)2=a2〒2ab+b2,

全平方公式的结构特征.

公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左

边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.

两个乘法公式,在应用时,(1)?要了解公式的结构和特征.让住每一个公

式左右两边的形式特征,记准指数和系数的符号;(2)掌握公式的几何意义;

(3)弄清公式的变化形式;(4)注意公式在应用中的条件;(5)应灵活地应用公式来解题.

五、布置作业,专题突破

课本P156习题15.2第3、4、8、9题.

备用题:计算: 50.012 49.92

2计算: (4x?y)2 (3a2b?4ab2c)2 (5x?)= ?10xy2?y4

11 (3a?b)(?3a?b) (x?)2 (x?)2

xx

七、教学反思:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 33

15.2.2 完全平方公式(二)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

引导学生通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义,会正确地运用这些公式.

2.过程与方法

通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.

3.情感、态度与价值观

培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会到数学算理的重要价值. 重、难点与关键

1.重点:正确应用乘法公式(平方差公式,完全平方公式).

2.难点:对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.

3.关键:对公式的结构特征进行具体的分析,?从中感悟公式的特点并加以概括.

教学方法

采用“精讲.精练”的教学方法,增强教学的有效性.

教学过程

回顾完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(一)提出问题,解决问题

1.在运用公式的时候,有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体,把另外

一个多项式看作另外一个整体。例如:(a?b?c)(a?b?c)和(a?b?c)2,这就需要在式子里添加括号。那么如何加括号呢?它有什么法则呢?它与去括号有何关系呢?【1】

2.解决问题: 在去括号时:a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c

反过来,就得到了添括号法则:

a?b?c?a?(b?c) a?b?c?a?(b?c)

3.理解法则:

如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;?如果括号

前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

也是:遇“加”不变,遇“减”都变.

4.运用法则: 【2】

(1)a+b-c=a+( ) (2)a-b+c=a-( )

(3)a-b-c=a-( ) (4)a+b+c=a-( )

2.判断下列运算是否正确.

cc (1)2a-b-=2a-(b-) (2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) 22

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第十五章整式乘法与因式分解教案 34

(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2) (4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

5.总结:

添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,?所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.

(二)在公式里运用法则【3】

例:计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)

(2)(a+b+c)2

(3)(x+3)2-x2

(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

练习:P156练习1,2

计算:(a?b?2c)2 (a?b?c)2?(a?b?c)2 、

(三)两公式的综合运用

例:如果kx2?36x?81是一个完全平方公式,则k的值是多少?【4】 练习:如果4x2?kx?36是一个完全平方公式,则k的值是多少?

例:如果x2?y2?4,那么(x?y)2(x?y)2的结果是多少?【5】

练习:已知a?b?5 ab?1.5,求a2?b2和 (a?b)2的值

111 已知x??3,求x2?2和(x?)2的值 xxx

已知a?b?-7 ab?12,求a2?b2-ab和 (a?b)2的值

附加:证明(2n?1)2?25能被4整除

四、课堂总结,发展潜能

1.本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法,?注意平方差公式与完全平方公式的区别.

2.在乘法计算中,能用公式简便计算的应该使用公式,?要注意公式的应用条件,记住公式的模样,在此前提下对具体题目进行细致观察,想办法将题目调整或变形,使之能使用公式,当然,有些不能使用公式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了.

3.利用添括号法则可以将整式变形,从而灵活利用乘法公式进行计算,灵活运用公式进行运算

五、布置作业,专题突破

课本P157第5、6、7题.

六、板书设计

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第十五章整式乘法与因式分解教案 35

七、教学反思:

15.3.1 同底数幂的除法

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

了解同底数幂的除法的运算性质,并会用其解决实际问题.

2.过程与方法

经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.

3.情感、态度与价值观

感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.

重、难点与关关键

1.重点:同底数幂的除法法则.

2.难点:同底数幂的除法法则的推导.

3.关键:采用数学类比的方法,引入幂的除法法则.

教学方法

采用“问题解决”教学方法.

教学过程

创设情境,感知新知

1. 问题:一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)

?的移动存储 器能存储多少张这样的数码照片?

2.分析问题:移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致,所以要先

统一单位.移动 存储器的容量为26〓210=216K.所以它能存储这种数码照片

的数量为216〔28.【1】

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第十五章整式乘法与因式分解教案 36

3.问题迁移:由同底数幂相乘可得:28?28?216,所以根据除法的意义216〔28 =28

4.感知新知:这就是我们本节需要研究的内容:同底数幂的除法【2】

(一) 学生动手,得到公式

1.计算:( )〃28=216(2) )〃53=55(3)( )〃105=107(4)( )〃a3=a6 【3】

2.再计算: (1)216〔28=( ) (2)55〔53=( )

(3)107〔105=( ) (4)a6〔a3=( )

3.提问:上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系?【4】

4.分析:同底数幂相除,底数没有改变,商的指数应该等于被除数的指数减去

除数的指数.【5】

5.得到公式:同底数幂相除,?底数不变,指数相减.即:am〔an=am-n.(a?0)

【6】

6.提问:指数m,n之间是否有大小关系?【m,n都是正整数,并且m>n】【7】

(二) 巩固练习

例:(1)x8〔x2 (2)a4〔a (3)(ab)5〔(ab)2

练习:P160 练习1,2,3

(三)提出问题:

1.提问:在公式要求 m,n都是正整数,并且m>n,但如果m=n或m<nn呢?

2.实例研究:计算:32〔32 103〔103 am〔am(a≠0)【1】

3.得到结论:由除法可得:32〔32=1 103〔103=1 am〔am=1(a≠0)

利用am〔an=am-n的方法计算.

32〔32=32-2=30 103〔103=103-3=100 am〔am=am-m=a0(a≠0)

这样可以总结得a0=1(a≠0)【2】

0于是规定:a=1(a≠0) 即:任何不等于0的数的0次幂都等于1.【3】

mnm-n2.最终结论:同底数幂相除:a〔a=a(a≠0,m、n都是正整数,且m≥n).【4】

(四) 加强训练

1.计算:(?c)5?(?c)3 (x?y)m?3?(x?y)2 x10?(?x)2?x3

2.若(2a?3b)0?1成立,则a,b满足什么条件?

3.若10x?7y,10?49,则102x?y等于? 4

4.若(2x?y?5)0无意义,且3x?2y?10,求x,y的值

五)小结:

利用除法的意义及乘、除互逆的运算,揭示了同底数幂的除法的运算规律,并能运用运算法则解决简单的计算问题

六、布置作业,专题突破

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 37

课本P164第1题.

八、教学反思:

5.3.2 单项式除以单项式

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

会进行单项式除以单项式运算,理解整式除法运算的算理,发展有条理的思考及语言表达能力.

2.过程与方法

经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程,掌握整式除法运算.

3.情感、态度与价值观

培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心.

重、难点与关键

1.重点:单项式除以单项式的运算法则.

2.难点:理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算.

3.?关键:运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中.

教学方法

采用“引导──发现”法进行教学.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【激趣引入】

问题提出:林宁今年刚刚3岁,是幼儿园里最聪明的孩子,?李老师教他做算术,告诉他5〓6=30后,他马就知道30〔5=6,你说他是怎样计算的呢?

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第十五章整式乘法与因式分解教案 38

【学生活动】回答上述问题:林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果.

【教师活动】提出话题:我们前几天学习了整式的乘法,现在,不用老师讲解,你们能开始解决整式的除法运算吗?谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则?

【学生活动】思考回答:把它们的系数先相除,然后再把相同字母的幂相除,其他的字母连同它的指数不变,作为商的因式.

【教师活动】引入课题,引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目.

【课堂演练】计算:

(1)(x5y)〔x3; (2)(16m2n2)〔(2m2n);

(3)(x4y2z)〔(3x2y)

【学生活动】开始计算,然后总结归纳,上台演示,引入课题.

【归纳法则】

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)63x7y3〔7x3y2; (2)-25a6b4c〔10a4b.

三、随堂练习,巩固深化

课本P162练习第1、2题.

【探研时空】

已知10m=5,10n=4,求102m-3n的值.

四、课堂总结,发展潜能

单项式除以单项式运算时,要注意:

1.系数相除与同底数的幂相除的区别:后者运算时是将指数相减,?然而前者是有理数的除法.

2.对于单项式除以单项式,仅仅考虑整除的情况.

五、布置作业,专题突破

课本P164习题15.3第2、4、7题.

七、教学反思:

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 39

15.3.3 多项式除以单项式

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

要求学生能够进行多项式除以单项式的运算,并且理解除法运算的算理,发展思维能力和表达能力.

2.过程与方法

利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则,掌握整式除法的运算.

3.情感、态度与价值观

通过分组讨论学习,体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性,培养学生的团结协作精神,使学生获得合作交流的学习方式.

重、难点与关键

1.重点:多项式除以单项式的运算法则的推导,以及法则的正确使用.

2.难点:多项式除以单项式的运算法则的熟练应用.

3.关键:从逆运算入手,?利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则.

教学方法

采用“激趣──导学”的教学法.

教学过程

一、小组合作,激趣导学

【课堂演练】

1.(-4a2b)2〔(2ab2)

2.-16(x3y4)3〔(-1452xy); 2

1 3.(2xy)2〃(-x5y3z2)〔(-2x3y2z)4; 5

2 4.18xy〔(-3xy)-4x2y〔(-2xy).

【教师提问】 “(6xy+8y)〔(2y)”如何计算?

【学生活动】相互讨论,大多数学生没有找到计算思路.

【教师活动】铺垫一道题目:计算(ad+bd)〔d,

计算:

(1)(x3y2+4xy)〔x (2)(xy3-2xy)〔(xy)

【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则:多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除,再利用单项式与单项式相除的法则进行计算.

【师生共识】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.

二、范例学习,应用所学

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第十五章整式乘法与因式分解教案 40

【例】计算:

(1)(18x4-4x2-2x)〔2x

(2)(36x4y3-14x3y2-7x2y2)〔(-7x2y)

(3)[(m-n)2-n(2m+n)-8m]〔2m

三、随堂练习,巩固深化

课本P163练习题.

【探研时空】下列计算是否正确?如不正确,应怎样改正?

(1)-4ab2〔2ab=2b (2)(14a3-2a2+a)〔a=14a2-2a.

四、课堂总结,发展潜能

1.多项式除以单项式时应注意运算中的问题:一是所除的商要写成省略括号的代数和,二是除式与被除式不能交换,还要注意运算顺序,应灵活地运用有关运算公式.

2.应用单项式除法法则应注意:

①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;

②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;

③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;

④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.

⑤多项式除以单项式法则

五、布置作业,专题突破

1.课本P164第3、5、6、8题.

2.化简求值:已知x?2y?2008求?(3x?2y)(3x?2y)?(x?2y)(5x?2y)??8x

的值(2x?y)2?y(y?4x)?8x?2x

??

七、教学反思:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 41

15.4.1 因式分解

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

(一)教学知识点

运用平方差公式分解因式.

(二)能力训练要求

1.能说出平方差公式的特点.

2.能较熟练地应用平方差公式分解因式.

3.初步会用提公因式法与公式法分解因式.?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用.

4.知道因式分解的要求:把多项式的每一个因式都分解到不能再分解.

(三)情感与价值观要求

培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法

教学重点

应用平方差公式分解因式.

教学难点

灵活应用公式和提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求.

教学过程

一、情景导入

问题情景1:

22 看谁算得最快:①98-2

22②已知x+y=4,x-y=2,则x-y=______

问题情景2:

22 你能将多项式x-4与多项式y-25分解因式吗?这两个多项式有什么

共同的特点吗?

这两个多项式都可写成两个数的平方差的形式。

二、回顾与思考

1、什么叫因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫分解因式)。

2、计算:①(x+2)(x-2)=___________

②(y+5)(y-5)=___________

23、 x-4= (x+2)(x-2)叫什么?

三、导入新课

问题4 你能将多项式x2-16和多项式m2-4n2因式分解吗?这两个多项式有着什么共同特点?

学生活动设计

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 42

学生观察上述两个多项式的特点,可以发现上述两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式,而整式乘法公式中的平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2,反过来就是

a2-b2=(a+b)(a-b),

这样的变形就是因式分解,从而可以对上述多项式因式分解.

x2-16=x2-42=(x-4)(x+4),

m 2-4n2=m 2-(2n)2=(m-2n)(m+2n).

教师活动设计

经过学生的自主探索,引导学生进行归纳:

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即

a2-b2=(a+b)(a-b).

四、讲例:例3 分解因式

(1)4x2-9; (2)(x+p)2-(x+q)2.

分析:在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2-32,即可用平方差公式分解因式.

解:(1)4x2-9= (2x)2-32 = (2x+3)(2x-3);

(2)(x+p)-(x+q)

= [(x+p)+(x+q)] [(x+p)-(x+q)]

=(2x+p+q)(p-q).

例4 分解因式 (1)x4-y4; (2)a3b-ab.

分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解.

(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.

解:(1)x4-y4= (x2+y2)(x2-y2)= (x2+y2)(x+y)(x-y);

(2)a3b-ab = ab(a2-1)= ab(a+1)(a-1).

练习

1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?

22222222(1) x+y ; (2) x-y; (3)-x+y; (4)-x-y.

2.分解因式: 1222224a; (2)9a-4b; (3) xy – 4y ; (4) –a +16. 25

五、课堂总结,发展潜能

奈曼四中八年级数学备课资料 22

第十五章整式乘法与因式分解教案 43

由学生自己进行小结,教师提出如下纲目:

1.什么叫因式分解?

2.因式分解与整式运算有何区别?

3..观察下列各式:32-12=8=8〓1;52-32=16=8〓2;72-52=24=8〓3;…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来.

4..对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗?为什么?

六、布置作业,专题突破

教师补充作业.

八、教学反思:

15.4.2 提公因式法

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.

2.过程与方法

使学生经历探索多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解.

3.情感、态度与价值观

培养学生分析、类比以及化归的思想,增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.

重、难点与关键

1.重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式.

2.难点:正确地确定多项式的最大公因式.

3.关键:提公因式法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.?公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 44

教学方法

采用“启发式”教学方法.

教学过程

一、回顾交流,导入新知

【复习交流】

下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么?

1 (1)2x2+4=2(x2+2); (2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t); t

(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2; (4)m(x+y)=mx+my;

(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.

问题:

1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗?

2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?

请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由.

【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb中的公因式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.

概念:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

二、小组合作,探究方法

【教师提问】 多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么?

【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.

三、范例学习,应用所学

【例1】把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.

解:-4x2yz-12xy2z+4xyz

=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)

=-4xyz(x+3y-1)

【例2】分解因式,3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式(y-x)或(x-y),于是有两种变形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种分解方法.

解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2

=-[(y-x)2〃3a2(y-x)+4b2(y-x)2]

=-(y-x)2 [3a2(y-x)+4b2]

=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)

解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

奈曼四中八年级数学备课资料 22

第十五章整式乘法与因式分解教案 45

=(x-y)2〃3a2(x-y)-4b2(x-y)2

=(x-y)2 [3a2(x-y)-4b2]

=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)

【例3】用简便的方法计算:0.84〓12+12〓0.6-0.44〓12.

【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便.

解:0.84〓12+12〓0.6-0.44〓12

=12〓(0.84+0.6-0.44)

=12〓1=12.

【教师活动】在学生完全例3之后,指出例3是因式分解在计算中的应用,提出比较例1,例2,例3的公因式有什么不同?

四、随堂练习,巩固深化

课本P167练习第1、2、3题.

【探研时空】

利用提公因式法计算:

0.582〓8.69+1.236〓8.69+2.478〓8.69+5.704〓8.69

五、课堂总结,发展潜能

1.利用提公因式法因式分解,关键是找准最大公因式.?在找最大公因式时应注意:(1)系数要找最大公约数;(2)字母要找各项都有的;(3)指数要找最低次幂.

2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.

六、布置作业,专题突破

课本P170习题15.4第1、4(1)、6题.

八、教学反思:

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 46

15.4.3 公式法(一)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力.

2.过程与方法

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性.

3.情感、态度与价值观

培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值. 重、难点与关键

1.重点:利用平方差公式分解因式.

2.难点:领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.

3.关键:应用逆向思维的方向,演绎出平方差公式,?对公式的应用首先要注意其特征,其次要做好式的变形,把问题转化成能够应用公式的方面上来. 教学方法

采用“问题解决”的教学方法,让学生在问题的牵引下,推进自己的思维. 教学过程

一、观察探讨,体验新知

【问题牵引】

请同学们计算下列各式.

(1)(a+5)(a-5); (2)(4m+3n)(4m-3n).

【学生活动】动笔计算出上面的两道题,并踊跃上台板演.

(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;

(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.

【教师活动】引导学生完成下面的两道题目,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律.

1.分解因式:a2-25; 2.分解因式16m2-9n.

【学生活动】从逆向思维入手,很快得到下面答案:

(1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).

(2)16m-9n=(4m)-(3n)=(4m+3n)(4m-3n).

【教师活动】引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时,导出课题:用平方差公式因式分解.

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

评析:平方差公式中的字母a、b,教学中还要强调一下,可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式).

二、范例学习,应用所学

【例1】把下列各式分解因式:(投影显示或板书)

(1)x2-9y2; (2)16x4-y4;

奈曼四中八年级数学备课资料 2222

第十五章整式乘法与因式分解教案 47

(3)12a2x2-27b2y2; (4)(x+2y)2-(x-3y)2;

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).

【思路点拨】在观察中发现1~5题均满足平方差公式的特征,可以使用平方差公式因式分解.

【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解,请5位学生上讲台板演.

【学生活动】分四人小组,合作探究.

解:(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);

(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);

(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);

(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)] =5y(2x-y);

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)

=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).

三、随堂练习,巩固深化

课本P168练习第1、2题.

【探研时空】

1.求证:当n是正整数时,n3-n的值一定是6的倍数.

2.试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除.连续偶数的平方差能被一个奇数整除.

四、课堂总结,发展潜能

运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底.

五、布置作业,专题突破

课本P171习题15.4第2、4(2)、11题.

八、教学反思:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 48

15.4.3 公式法(二)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

教学目标

1.知识与技能

领会运用完全平方公式进行因式分解的方法,发展推理能力.

2.过程与方法

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.

3.情感、态度与价值观

培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力.

重、难点与关键

1.重点:理解完全平方公式因式分解,并学会应用.

2.难点:灵活地应用公式法进行因式分解.

3.关键:应用“化归”、“换元”的思想方法,把问题进行形式上的转化,?达到能应用公式法分解因式的目的.

教学方法

采用“自主探究”教学方法,在教师适当指导下完成本节课内容. 教学过程

一、回顾交流,导入新知

【问题牵引】

1.分解因式: 92(1)-9x2+4y2; (2)(x+3y)2-(x-3y)2; (3)x-0.01y2. 49 【知识迁移】

2.计算下列各式:

(1)(m-4n)2; (2)(m+4n)2;

(3)(a+b)2; (4)(a-b)2.

【教师活动】引导学生完成下面两道题,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律.

3.分解因式:

(1)m2-8mn+16n2 (2)m2+8mn+16n2;

(3)a2+2ab+b2; (4)a2-2ab+b2.

【学生活动】从逆向思维的角度入手,很快得到下面答案:

解:(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2; (2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2;

(3)a2+2ab+b2=(a+b)2; (4)a2-2ab+b2=(a-b)2.

【归纳公式】完全平方公式a2〒2ab+b2=(a〒b)2.

二、范例学习,应用所学

【例1】把下列各式分解因式:

奈曼四中八年级数学备课资料

第十五章整式乘法与因式分解教案 49

(1)-4a2b+12ab2-9b3; (2)8a-4a2-4;

m2n22mn3

4 (3)(x+y)-14(x+y)+49; (4)+n. ?932

【例2】如果x2+axy+16y2是完全平方,求a的值.

【思路点拨】根据完全平方式的定义,解此题时应分两种情况,即两数和的平方或者两数差的平方,由此相应求出a的值,即可求出a3.

三、随堂练习,巩固深化

课本P170练习第1、2题.

【探研时空】

1.已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值.

(1)x2+y2; (2)(x-y)2

11 2.已知x+=-3,求x4+4的值. xx

四、课堂总结,发展潜能

由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式因式分解的公式,主要的有以下三个:

a2-b2=(a+b)(a-b);

a2〒ab+b2=(a〒b)2.

在运用公式因式分解时,要注意:

(1)每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、?次数等的总体分析来确定,是否可以用公式分解以及用哪个公式分解,通常是,当多项式是二项式时,考虑用平方差公式分解;当多项式是三项时,应考虑用完全平方公式分解;(2)?在有些情况下,多项式不一定能直接用公式,需要进行适当的组合、变形、代换后,再使用公式法分解;(3)当多项式各项有公因式时,应该首先考虑提公因式,?然后再运用公式分解.

五、布置作业,专题突破

课本P171习题15.4第3、5、7、8题.

七、 教学反思:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 50

15.4.4 因式分解之十字相乘法

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:新授

学习目标

1. 理解十字相乘法的概念和意义;

2. 会用十字相乘法把形如x+px+q的二次三项式分解因式;

3. 培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力,训练学生思维的灵活性和层次

性渗.

学习重点 能熟练用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式

自主学习

一.创设情境

1.口答计算结果:

(1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x-1) (3)(x-2)(x+1)

(4) (x-2)(x-1)(5)(x+2)(x+3) (6) (x+2)(x-3)

(7) (x-2)(x+3) (8) (x-2)(x-3) 2

2.问题:你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?

归纳: .

二.探索尝试

根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式:

x2+(2+3)x+2〓3= ;x2+(-1-2)x+(-1)〓(-2)

= ;

x2+(-1+2)x+(-1)〓2= ;x2+(1-2)x+1〓(-2)

= . 由上面的分析可知形如x2+px+q的

二次三项式,如果常数项q能分解为两个因数a、b的积,并且a+b恰好等于

一次项的系数p,那么它就可以分解因式,即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x

+a)(x+b)

三.例题举例

基础题(1)x2+7x+6 (2)x2-5x-6 (3)x2-5x+6

四.练习:

(1)x2-7x+6 (2)a2-4a-21

(3)t2-2t-8 (4)m2+4m-12

拓展题

(1)x2+xy-12y2 (2)x4+5x2-6

五.练习:

(1)x2-13xy-36y2 (2)a2-ab-12b2 (3)m4-6m2+8

(4)x4+10x2+9

六.课堂小结:对二次三项式x2+px+q进行因式分解,应重点掌握以下三个方

面:

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第十五章整式乘法与因式分解教案 51

1.掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.

2.符号规律: 当q>0时,a、b同号,且a、b的符号与p的符号相同;

当q<0时,a、b异号,且绝对值较大的因数与p的符号相同.

七.课外延伸:把下列多项式分解因式:

(1) x2?4x?3 (2)x2?8x?12 (3)x2?8x?15 (4)x2?6x?7

(5)a2?10a?11 (6)m2?3m?4 (7)x2?x?30 (8)x2?12x?13

(9)(10)(11)(12)m2?4mn?5n2 a2?4ab?3b2 x2?2xy?8y2 x2?8xy?20y2

(13)(14)(15)(16)x2?2x?15 x4?3x?4 x2?14x?24 x2?10x?24

八.思考:

1.请将下列多项式因式分解:

2①3x2?21x?36 ② x4?7x2?12 ③?x2?2x??11?x2?2x??24

2. 先填空,再分解(尽可能多的): x2 ( )x + 60 = ;

九.板书设计:

十.教学反思:

教学内容:因式分解

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:练习

新课指南

1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式,及形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解,培养学生应用因式分解解决问题的能力.

2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.

3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.

4.重点与难点:重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解.

教材解读 精华要义

数学与生活

630能被哪些数整除?说说你是怎么想的.

思考讨论 在小学我们知道,要想解决这个问题,需要把630分解成质数

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第十五章整式乘法与因式分解教案 52

的乘积的形式,即630=2〓32〓5〓7.

类似地,在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢?

知识详解

知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算. 例如:

(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).

探究交流

下列变形是否是因式分解?为什么,

(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);

(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);

(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.

点拨 (1)不是因式分解,提公因式错误,可以用整式乘法检验其真伪.

(2)不是因式分解,不满足因式分解的含义

(3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.

(4)不是因式分解,是整式乘法.

知识点3 公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.

例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

(2)完全平方公式:a2〒2ab+b2=(a〒b)2.

其中,a2〒2ab+b2叫做完全平方式.

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-2〃2x〃3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

下列变形是否正确?为什么?

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);

(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;

(3)x2-2x-1=(x-1)2.

点拨 (1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解.

(2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解.

(3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分解.

知识点4 分组分解法

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第十五章整式乘法与因式分解教案 53

(1)形如:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)(a+b)

(2)形如:x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2

=(x+1)2-y2

=(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组,分组后能够有公因式或运用公式,这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.

例如:将am+an+bm+bn因式分解,方法有两种:

方法1:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法2:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).

(2)分组除具有尝试性外,还要具有目的性,或者分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式.

例如:am+an+bm+bn分组后有公因式;x2-y2+2x+1分组后能运用公式.

分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题的关键,常见的分组方法有:

(1)按字母分组;

(2)按次数分组;

(3)按系数分组.

例如:把下列各式因式分解.

(1) am+bm+an+bn;

(2)x2-y2+x+y;

(3)2ax-5by+2ay-5bx.

知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

事实上:x2+(p+q)x+pq

=x2+px+qx+pq

=(x2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q).

2∴x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

利用这个公式,可以把二次三项式因式分解,当p=q时,这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2,是完全平方式,可以运用公式分解因式.

例如:把x2+3x+2分解因式.

(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1〓2,一次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.

解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)

典例剖析 师生互动

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括:(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式;(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.

例1 用提公因式法将下列各式因式分解.

(1)ax-ay; (2)6xyz-3xz2; (3)-x3z+x4y;

(4)36aby-12abx+6ab; (5)3x(a-b)+2y(b-a);

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).

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第十五章整式乘法与因式分解教案 54

(分析) (1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化成-(a-b)的,(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y),然后再提取公因式.

解:(1)ax-ay=a(x-y)

(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).

(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).

(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).

(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)

=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)

=(m-x)(m-y)(x-m)

=-(m-x)2(m-y). 小结 运用提公团式法分解因式时,要注意下列问题:

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号不能再分解.

如:(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)

=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]

=(x+y)(4m-6n).

=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少,减少统一计算出现误差的机率,这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

例如:分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.

本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便,因为(x-y)2=(y-x)2.

a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2

=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2

=(y-x)2[a+b(y-x)+c]

=(y-x)2(a+by-bx+c).

(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成积的形式.

例如:(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)

=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]

=(a-2b)(8a-16b)

=8(a-2b)(a-2b)

=8(a-2b)2.

学生做一做 把下列各式分解因式.

(1)am+an; (2)(xy+ay-by);

(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b); (4)3x(a-b)-2y(b-a);

(5)4p(1-q)3+2(q-1)2; (6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.

老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b);

(3)原式=2(2a+b)2; (4)原式=(a-b)(3x+2y);

(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2); (6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay). 例2 把下列各式分解因式.

(1)m2+2m+1; (2)9x2-12x+4;

(3)1-10x+25x2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9.

(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

解:(1)m2+2m+1=(m+1)2.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 55

(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.

(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.

(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.

学生做一做 把下列各式分解因式.

(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2)(x+y)2-4(x+y-1).

老师评一评 (1)原式=(x2+3)2; (2)原式=(x+y-2)2.

例3 把下列各式分解因式.

(1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8;

(3)y2-7y+10; (4)x2+7x-18.

(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1,常数项10=2〓5,一次项系数7=2+5,所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子,可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.

解:(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).

2(2)x-2x-8=(x-4)(x+2).

(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).

(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2). 小结 对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解,①pq>0,则p,q同号,若p+q>0,则p>0,q>0;若q+p<0,则p<0,q<0;②若pq<0,则p,q异号,若p+q>0,则绝对值大的为正数,若p+q<0,则绝对值大的为负数.

学生做一做 把下列各式分解因式.

(1)m2-7m+12; (2)x2y2-3xy-10;

(3)(m-n)2-(m-n)-12; (4)x2-xy-2y2.

老师评一评 (1)原式=(m-3)(m-4); (2)原式=(xy-5)(xy+2);

(3)原式=(m-n-4)(m-n+3); (4)原式=(x-2y)(x+y).

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括:(1)用分组分解法分解因式;(2)与方程组的综合应用;(3)与几何知识的综合应用;(4)几种因式分解方法的综合应用.

例4 分解因式.

(1)x3-2x2+x; (2)(a+b)2-4a2; (3)x4-81x2y2;

(4)x2(x-y)+y2(y-x); (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.

(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.

解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.

(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).

(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).

(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)

=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)

=(x+y)(x-y)2.

(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2

=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]

=2a〃(2b+2c)

=4a(b+c).

例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.

(1)a2-b2+a-b; (2)a2+b2-2ab-1;

(3)(ax+by)2+(ay-bx)2; (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.

(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式,其中(1)题分组

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第十五章整式乘法与因式分解教案 56

后存在公因式,(3)题需去括号后重新分组,(2)和(4)题分组后能运用公式.

解:(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)

=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).

(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1

=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).

(3)(ax+by)2+(ay-bx)2

=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2

=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)

=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)

=(a2+b2)(x2+y2).

(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1

=(a2-2ab+b2)-(c2+2c+1)

22=(a-b)-(c+1)

=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)]

=(a-b+c+1)(a-b-c-1). 小结 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式或提取公因式后,通常分下列几种情况考虑:

(1)如果是四项或四项以上,考虑用分组分解法;

(2)如果是二次三项式或完全平方式,则考虑用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式;

(3)如果是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式.

最后,直到每一个因式都不能再分解为止.

?x2?4y2?5,①例6 解方程组?

?x?2y?1.②

(分析)本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.

解:由①得(x+2y)(x-2y)=5,③

把②代入③中得x+2y=5,④

∴原方程组化为

?x?2y?5,④ ?x?2y?1,②?

②+④得2x=6,∴x=3.

②-④得4y=4,∴y=1.

?x?3,∴原方程组的解为? y?1.?

?x?3y?7,学生做一做 解方程组?2 2?x?9y??35.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 57

?x?1,老师评一评 ? y?2.?

例7 若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状.

解:∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.

即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.

由平方的非负性可知,

∴a=b=c.

∴这个三角形是等边三角形.

例8 利用因式分解计算下列各题.

(1)234〓265-234〓65; (2)992+198+1.

(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.

解:(1)234〓265-234〓65=234〓(265-65)

=234〓200=46800.

(2)992+198+1=992+2〓99〓1+1

=(99+1)2=1002

=10000.

学生做一做 利用因式分解计算下列各题.

(1)7.6〓199.9+4.3〓199.9-1.9〓199.9;

(2)20022-4006〓2002+20032;

(3)5652〓11-4352〓11; 31(4)(5)2-(2)2. 44

老师评一评 (1)原式=1999; (2)原式=1;

(3)原式=143000O; (4)原式=28.

例9 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= .

(分析) 完全平方式是形如:a2〒2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).

∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2,

∴〒kxy=2〃3x〃6y=36xy.

∴k=〒36.

学生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k= .

老师评一评 k=3或k=-9.

探索与创新题

12?2232?4252?6220032?20042

?????例10 计算. 1?23?45?62003?2004

(分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即

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第十五章整式乘法与因式分解教案 58

a2?b2(a?b)(a?b)=a-b(a+b≠0). ?a?ba?b

(1?2)(1?2)(3?4)(3?4)(5?6)(5?6)+… ??1?23?45?6

(2003?2004)(2003?2004)+ 2003?2004

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)

=(-1)〓(2004〔2)

=-1002.

例11 若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.6个

(分析) 若把x2+kx+20在整数范围内因式分解,由式子x2+(p+q)x+qq考虑把20分解因数,20可分解为:20〓1,(-20)〓(-1),10〓2,(-10)〓(-2),5〓4,(-5)〓(-4),所以k可能取的值有:20+1,(-20)+(-1),10+2,(-10)+(-2),5+4,(-5)+(-4),故k可能取的值有6个,所以正确答案为D项.

例12 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.

(分析)把x4+x2作为一个整体,用一个新字母代替,从而简化式子的结构. 解:令x4+x2=m,则原式可化为

(m-4)(m+3)+10

=m2-m-12+10

=m2-m-2

=(m-2)(m+1)

=(x4+x2-2)(x4+x2+1)

=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)

=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).

学生做一做 求证:四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数.

老师评一评 设这四个连续自然数依次为n,n+1,n+2,n+3,则

n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

=(n2+3n+1)2

∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.

例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积,试确定m的值.

(分析)用待定系数法,令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.

解:设2222x+7xy+my-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x+(a+c)xy+acy+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.

对比多项式的系数得 解:原式=

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第十五章整式乘法与因式分解教案 59

xkb1.com

由③,⑤两式可得b=-8,d=3,或b=3,d=-8.

(1)当b=-8,d=3时,得a=9,c=-2,⑥

(2)当b=3,d=-8时,得a=-2,c=9.⑦

∴m=-18.

学生做一做 已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.

老师评一评 由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+

(a+2b)x+b.

对比多项式系数可得

中考展望 点击中考

中考命题总结与展望

本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现,直接以分解因式单独命题的并不多,但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的,应在学习中引起充分的重视.

中考试题预测

例1 (1)(2004〃福州)分解因式:a2-25= ;

(2)(2004〃长沙)分解因式:xy2-x2y= ;

(3)(2004〃贵阳)分解因式:x2-1= ;

(4)(2004〃南京)分解因式:3x2-3= ;

(5)(2004〃湖北)分解因式:x2+2xy+y2-4= ;

(6)(2004〃陕西)分解因式:x3y2-4x= ;

(7)(2004〃广州)分解因式:2x2-2= ;

(8)(2004〃桂林)分解因式:a3+2a2+a= ;

(9)(2004〃青海)分解因式:x3y-4xy+4y= ;

(10)(2004〃哈尔滨)分解因式:a2-2ab+b2-c2= .

(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法,x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4

=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式,再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=

x(xy+2)(xy-2).

答案:(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1)

(5)(x+y+2)(x+y-2)

(6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2

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第十五章整式乘法与因式分解教案 60

(10)(a-b+c)(a-b-c)

例2 (2004〃安徽)下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )

A.x2-y B.x2+2y C.x2+y2 D.x2-xy+y2

答案:B

例3 (2004〃青海)将多项式a2-ab+ac-bc分解因式,分组的方法共有 种.

(分析) 一种是:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc);

另一种是:a2-ab-ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc),

∴分组方法共有2种.

例4 (2004〃湖北)x2-y2-x-y分解因式的结果是 .

答案:(x+y)(x-y-1)

例5 (2004〃呼和浩特)将下列式子因式分解:x-x2-y+y2= .

答案:(x-y)(1-x-y)

?x2?xy?2y2?0,①例6 (2004〃临汾)解方程组? x?y?2.②?

(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.

解:由①得(x-2y)(x+y)=0,③

把②代入③中,得x-2y=0,④

?x?y?2,②原方程组化为? x?2y?0,④?

2. 3

24把y=代入④中,得x=. 33②-④得3y=2,∴y=

4?x?,??3∴原方程组的解为? 2?y?.?3?

例7 (2004〃甘肃)为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式,则b可能取的值为 .(任写一个)

(分析) 这是一个开放性试题,答案不惟一,依据的是式子x2+(p+q)x+pq. 答案:-8

例8 (2004〃宁夏)把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是( )

A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y)

C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)

(分析)解决本题采用分组分解法.

1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2)

=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y).

故此,正确答案为B项.

课堂小结 本节归纳

1.本节主要学习了:用提公因式法分解因式;用公式法分解因式;用分组分解法分解因式;形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式的因式分解.

2.会运用因式分解解决计算问题.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 61

习题选解 课本习题

课本第200~201页

习题15.5

1.(1)原式=5a2(3a+2); (2)原式=3bc(4a-c);

(3)原式=2(p+q)(3p-2q); (4)原式=(a-3)(m-2).

2.(1)原式=(1+6b)(1-6b); (2)原式=3(2x+y)(2x-y);

(3)原式=(0.7p+12)(0.7p-12); (4)原式=3(x+y)(x-y).

3.(1)原式=(1+5t)2; (2)原式=(m-7)2;

1(3)原式=(y+)2; (4)原式=(3m+n)2; 2

(5)原式=(5a-8)2; (6)原式=(a+b+c)2.

4.(1)原式=314; (2)原式=508000.

5.(1)原式=(a+b)2; (2)原式=(p+2)(p-2);

2(3)原式=-y(2x-y); (4)原式=3a(x+y)(x-y).

6.解:当V=IR1+IR2+IR3,R1=19.7,R2=32.4,R3=35.9,I=2.5时,

V=19.7〓2.5+32.4〓2.5+35.9〓2.5

=2.5(19.7+32.4+35.9)

=2.5〓88

=220.

7.解:当R=7.8cm,r=1.1cm,π=3.14时,

πR2-4πr2

=3.14〓7.82-4〓3.14〓1.12

=3.14〓(7.82-4〓1.12)

=3.14〓(7.8+2〓1.1)(7.8-2〓1.1)

=3.14〓10〓5.6

=175.84(cm2).

∴阴影部分的面积为175.84cm2.

8.提示:方法有两种,一种是用两条路面积和减去交叉路口正方形的面积;另一种是用一条路的面积再加上被分成两段路的面积和.

如图15-19所示.设横向甬道左边部分长m米,右边部分为(x-m-2)米,则甬道面积为

2x+m〃2+2(x-m-2)

=2x+2m+2x-4-2m

=(4x-4)(米2

).

9.提示:∵4y2+my+9是完全平方式,

∴my是2〓2y〓3=12y.

∴m=〒12.

10.解:结论是n(n+2)+1=(n+1)2.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 62

证明过程如下:

∵n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2.

∴n(n+2)+1=(n+1)2.

自我评价 知识巩固

1.若x+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )

A.3 B.-5 C.7. D.7或-1

2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

3.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是( )

A.(3a-b)2 B.(3b+a)2 C.(3b-a)2 D.(3a+b)2

4.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )

A.2(5x-2y)2 B.-2(5x-2y)2

22C.29(x+y) D.以上都不对

5.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y),则p,q的值依次为( )

A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-9

6.分解因式:4x2-9y2= .

100007.利用因式分解计算:= . 22252?248

8.若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2= .

9.把多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是 .

10.计算:12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .

11.分解因式.

(1)(x+y)2-9y2;

(2)a2-b2+a+b;

(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2;

(4)(ab+b)2-(a+1)2;

(5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2;

(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.

12.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.

13.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值.

14.利用因式分解计算19992+1999-20002.

15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.

16.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说明△ABC是等边三角形.

17.当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值?并求出这个最小值. 2

第十五章整式 (复习)

喀拉布拉乡中学:权成龙、孙美荣

课型:复习

本章视点

一、课标要求与内容分析

1.本章的课标要求是:(1)了解整式的概念,会进行简单的整式运算;(2)会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘);(3)会推导来法

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第十五章整式乘法与因式分解教案 63

公式:(a+b)(a-b)= a2-b2,(a+b)2= a2+2ab+b2,了解公式的几何背景,并能进行简单计算;(4)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).

2.经历探索事物之间的数量关系,建立初步的符号感,发展抽象思维,在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系并用代数式表示,理解代数式的含义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会现实世界与数学的联系,理解整式的含义,掌握整式的加减运算的实质,即去括号、合并同类项,并会求代数式的值,掌握整式的乘法运算及其逆运算——因式分解;掌握整式的除法运算(单项式除法和多项式除以单项式).

3.本章的重点是代数式和整式的加、减、乘、除运算,以及因式分解.难点是规律的探求及根据代数式推断代数式反映的规律.

二、学法指导

学习本章要注意从具体情境中探索数量关系和变化规律,培养和发展自己的符号感.要注重对运算法则的探索过程的理解.另外,不仅要注意观察和实验,还要注意归纳、类比、转化等思想方法的运用,因为整式的运算是解方程、解不等式的重要基础,这一知识在初中数学体系中起着承上启下的作用,所以,本章学习整式的运算等内容,会给我们研究数量及其关系带来极大的方便,应引起充分的重视.

章末总结

知识网络图示

基本知识提炼整理

一、基本概念

1.代数式

用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.单项式

数字与字母的积,这样的代数式叫做单项式.

(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.

(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

(3)一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

3.多项式

几个单项式的和叫做多项式.

(1)在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项.

(2)一般地,多项式里次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.

4.整式

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第十五章整式乘法与因式分解教案 64

单项式和多项式统称整式.

5.同类项

所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项.

6.合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.

7.整式乘法的平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

8.整式乘法的完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.

二、基本运算法则

1.整式加减法法则

几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.

2.合并同类项法则

合并同类项时,把系数相加,字母和字母指数不变.

3.同底数幂的乘法法则

am〃an=am+n(m,n是正整数).

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

4.幂的乘方法则

(am)n=amn(m,n是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

5.积的乘方的法则

(ab)m=ambm(m是正整数).

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

6.多项式来法法则

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

7.单项式与多项式相来的乘法法则

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

8.添括号法则

添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

9.同底数幂的除法法则

am〔an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

10.单项式除法法则

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

11.多项式除以单项式的除法法则

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 65

三、因式分解常见的方法

1.提公因式法.

2.公式法.

3.分组分解法.

4.式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

专题总结及应用

一、整式的加减

在整式的加减中,基本可以分为以下几种类型题.

1.不含括号的直接合并同类项

例1 (1)合并同类项3x2-4xy+4y2-5x2+2xy-2y2;

99111(2)化简5xy-x3y2-xy+x3y2-xy-x3y-5. 2424

32解:(1)原式=(3-5)x+(-4+2)xy+(4-2)y

=-2x2-2xy+2y2.

91191(2)原式=(5-?)xy+(-?)x3y2-x3y-5 4422

323 =-4xy-xy-5.

2.有括号的情况

有括号的先去括号,然后再合并同类项,根据多重括号的去括号法则,可由里向外,也可由外向里逐层推进,在计算过程中要注意符号的变化.

例2 化简.

(1)3x-[5x+(3x-2)];

(2)1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)].

解:(1)原式=3x-(5x+3x-2)

=3x-8x+2

=2-5x.

(2)原式=1-6ab-3a+(1-4a+6ab)

=1-6ab-3a+1-4a+6ab

=2-7a.

3.先代入后化简

例3 已知A=x2+xy+y2,B=-3xy-x2,求2A-3B.

解:2A-3B

=2(x2+xy+y2)-3(-3xy-x2)

=2x2+2xy+2y2+9xy+3x2

=5x2+11xy+2y2.

二、求代数式的值

1.直接求值法

先把整式化简,然后代入求值.

例4 先化简,再求值.

3-2xy+2yx2+6xy-4x2y,其中x=-1,y=-2.

解:3-2xy+2yx2+6xy-4x2y=3+4xy-2x2y.

当x=-1,y=-2时,

原式=3+4〓(-1)〓(-2)-2〓(-1)2〃(-2)

=3+8+4

=15.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 66

2.隐含条件求值法

先通过隐含条件将字母取值求出,然后化简求值.

例5 若单项式-3a2-mb与bn+1a2是同类项,求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值. (分析)先通过-3a2-mb与bn+2a2是同类项这一条件,将m,n的值求出,然后再化简求值.

解:∵-3a2-mb与bn+1a2是同类项,

?2?m?2,?m?0,∴? ∴? n?0.1?n?1,??

m2-(-3mn+3n2)+2n2

=m2+3mn-3n2+2n2

=m2+3mn-n2,

当m=0,n=0时,原式=02+3〓0〓0-02=0

例6 已知a?2+(b+1)2=0,求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]的值.

(分析)利用a?2+(b+1)2=0,求出a,b的值,因为绝对值和平方都具有非负性,如果两个非负数之和等于0,那么它们每一个都是0. 解:∵a?2+(b+1)2=0,且a?2≥0,(b+1)2≥0,

?a?2?0,?a?2,∴?∴? b?1?0,b??1.??

5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]

=5ab2-(2a2b-4ab2+2a2b)

=5ab2-2a2b+4ab2-2a2b

=9ab2-4a2b

当a=2,b=-1时,

原式=9〓2〓(-1)2-4〓22〓(-1)=18+16=34.

3.整体代入法

不求字母的值,将所求代数式变形成与已知条件有关的式于,如倍差关系、和差关系等等.

111例7 已知a=x+19,b=x+18,c=x+17,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值. 202020

111解:∵a=x+19,b=x+18,c=x+17, 202020

∴a-b=1,b-c=1, a-c=2.

而a2+b2+c2-ab-ac-bc 1=(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc) 2

1=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+( a2-2ac+c2)] 2

1=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]. 2

当a-b=1,b-c=1, a-c=2时,

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第十五章整式乘法与因式分解教案 67

12221(1+1+2)=〓6=3. 22

例8 已知x2+4x-1=0,求2x4+8x3-4x2-8x+1的值.

(分析)由x2+4x-1=0就目前知识水平求x的值是不可能的,但是,我们可以把x2+4x化成一个整体,再逐层代入原式即可.

解:∵x2+4x-1=O,∴x2+4x=1.

∴2x4+8x3-4x2-8x+1

=2x2(x2+4x)-4(x2+4x)+8x+1

=2x2〃1-4〓1+8x+1

=2x2+8x-3

=2(x2+4x)-3

=2〓1-3

=-1.

1例9 已知x2-x-1=0,求x2+2的值. x

解:∵x2-x-1=0,∴x≠0.

1∴x-=1, x

111∴x2+2=(x-)2+2〃x〃=12+2=3. xxx4.换元法

出现分式或某些整式的幂的形式时,常常需要换元. 原式=

例10 已知2a?b2(2a?b)3(a?b)=6,求代数式+的值. (2a?b)a?ba?b

(分析) 给定的代数式中含a,b两个字母,一般地,只有求出a,b的值,才能求出代数式的值,本题显然此方法行不通. 2a?ba?b2a?b由于题中与互为倒数,故将看成一个整体. a?b2a?ba?b

解:设a?b12a?b=q,则?, 2a?bqa?b

3. q∴原式=2q+

31又∵q=6,∴原式=2〓6+=12. 62

三、探索规律

1.探索自然数间的某种规律

设n表示自然数,用关于n的等式表示出来.

例11

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第十五章整式乘法与因式分解教案 68

(1)s与(2)计算2+4+6+8+…+2004.

(分析) 观察上表,当n=1时,s=1〓2,即第一个数字是1,第二个数字是2;当n=2时,s=2+4=2〓3,第一个数字是2,第二个数字是3,依此类推,发现第一个数字是n,第二个数字比n大1.

解:(1)s与n的关系式为s=n(n+1).

2004(2)当n==1002时, 2

s=1002〓(1002+1)=1005006.

即2+4+6+8+…+2004=1005006.

小结 观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,才能发现其中的规律.

2.探索图形拼接的规律

12 一张正方形的桌子可坐4人,按照如图15-20所示的方式将桌子拼在一起,试回答下列问题.

(1)两张桌子拼在一起可以坐几人?三张桌子拼在一起可以坐几人?n张桌子拼在一起可以坐几人?

(2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子,按上图方式每4张拼成一个大桌子,则60张桌子可以拼成15张大桌子,共可坐多少人?

(3)在(2)中若每4张桌子拼成一个大的正方形,共可坐多少人?

(4)对于这家酒楼,哪种拼桌子的方式可以坐的人更多?

解:(1)两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6(人);

三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8(人);

n张桌子拼在一起可坐2?2???2???2=2(n+1)=2n+2(人). ?????

(n?1)个

(2)按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子,那么一张大桌子可坐2〓4+2=10(人).

所以,15张大桌子可坐10〓15=150(人).

(3)在(2)中,若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子,则一张大正方形桌子可坐8人,15张大正方形桌子可坐8〓15=120(人).

(4)由(2)(3)比较可知,该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.

寻找和探索规律是人类认识世界的重要环节,找到规律并利用规律不仅在数学上,而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义.

3.探索数据所反映的规律

收集数据,观察数据所反映的规律,并作出推测.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 69

4的值接近什么数? x2

解:(1)表格里从左到右依次填-39999,-399,-3,0.96,0.9996,0.999996.随着x值变大,代数式的值变得越来越大.

4(2)当x非常大时,2的值接近于零. x

四、因式分解

1.直接因式分解

例14 把下列各式分解因式.

(1)x2y2-9; (2)4x2-12xy+9y2;

(3)x2-5x-6; (4)m2-m-20.

解:(1)x2y2-9=(xy+3)(xy-3).

(2)4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2.

2(3)x-5x-6=(x-6)(x+1).

(4)m2-m-20=(m-5)(m+4).

2.先提公因式.然后再利用公式法分解因式

例15 把下列各式分解因式.

(1)x3-4x2y+4xy2; (2)x3-x;

(3)m3-3m2-4m.

解:(1)x3-4x2y+4xy2=x(x2-4xy+4y2)=x(x-2y)2.

(2)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).

(3)m3-3m2-4m=m(m2-3m-4)=m(m-4)(m+1).

3.分组分解法分解因式

实质上,分组分解法分解因式是对因式分解方法的一种综合运用. 例16 把下列各式分解因式.

(1)x2-4(x-1); (2)(am+bn)2+(an-bm)2;

(3)a2-2ab+b2-c2; (4)x2-2xy+y2-x+y-2.

解:(1)x2-4(x-1)=x2-4x+4=(x-2)2.

(2)(am+bn)2+(an-bm)2

=a2m2+2abmn+b2n2+a2n2-2abmn+b2m2

=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2

=(a2m2+a2n2)+(b2n2+b2m2)

=a2(m2+n2)+b2(m2+n2)

=(a2+b2)(m2+n2).

(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2

=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).

(4)x2-2xy+y2-x+y-2=(x2-2xy+y2)-(x-y)-2

=(x-y)2-(x-y)-2=(x-y-2)(x-y+1).

4.用换元法分解因式

例17 把多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120分解因式.

解:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

设x2+5x=y,则

原式=(y+4)(y+6)-120

=y2+10y+24-120 (2)当x非常大时,

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第十五章整式乘法与因式分解教案 70

=y2+10y-96

=(y+16)(y-6)

=(x2+5x+16)(x+6)(x-1).

【说明】 (1)在分解这个多项式时,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)化简时注意两两相乘时合理组合,创设出以(x2+5x)为主的多项式,进而整理.

(2)采用把x2+5x作为一个整体(即换元法)的方法进一步因式分解.

22(3)要注意到x+5x+16不能再分解,而(x+5x-6)则可以继续分解.

本章综合评价

(一)

一、训练平台

11.若3a2bn-1与-am+1b2是同类项,则( ) 2

3A.m=3,n=2 B.m=2,n=3 C.m=3,n=- D.m=1,n=3 2

2.a,b,c都是有理数,那么a-b+c的相反数是( )

A.b-a-c B.b+a-c C.-b-a+c D.b-a+c

3.下列去括号正确的是( )

A.2y2-(3x-y+3z)=2y2-3x-y+3z B.9x2-[y-(5z+4)]=9x2-y+5z+4

C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1 D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-4

4.若am=3,an=2,则am+n等于( )

A.5 B.6 C.8 D.9

5.一个两位数,十位上的数字是a,个位上的数字是b,用代数式表示这个两位数是 .

6.图15-21中阴影部分的面积为

.

7.计算:(-0.5)2003〃22004= .

8.计算:(-ab)3〃(ab2)2= .

9.计算:(m+2n)(m-2n)= ,(7x-3y)( )=9y2-49x2,(x-2)(x+4)= ,(3x+2y)2

=(3x-2y)2+ .

10.化简.

(1)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n);

(2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).

11.分解因式.

(1)m2n(m-n)2-4mn(n-m);

(2)(x+y)2+64-16(x+y).

12.已知a,b是有理数,试说明a2+b2-2a-4b+8的值是正数.

二、探究平台

1.从左到右的变形,是因式分解的为( )

A.ma+mb-c=m(a+b)-c

B.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

C.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)

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第十五章整式乘法与因式分解教案 71

D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)

2.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )

A.-a2+b2 B.-a2-b2 C.a2+b2 D.a3-b3 3.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q,那么p,q的值是( ) A.p=-5,q=6 B.p=1,q=-6 C.p=1,q=6 D.p=5,q=-6

4.(-a+b+c)(a+b-c)=[b-( )][b+( )]. 5.若x-y=2,x2-y2=10,则x+y= . 6.若x+y=10,xy=24,则(x-y)2= .

7.若m2+2(k-1)m+9是完全平方式,则k= .

8.已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的展开式中不含x2项和x项,则m= ,n= .

9.若(x-2)0=1,则x应满足的条件是 . 10.化简.

(1)20002-1999〓2001;

(2)(2x+7)(3x-4)+(3x+5)(3-2x). 11.分解因式.

(1)(a-2b)2-16a2; (2)x3-x2-4x+4.

12.若3x3-x=1,则9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于多少? 三、交流平台 1.(1)计算.

①(a-1)(a+1); ②(a-1)(a2+a+1);

③(a-1)(a3+a2+a+1); ④(a-1)( a4+a3+a2+a+1). (2)根据(1)中的计算,你发现了什么规律?用字母表示出来; (3)根据(2)中的结论,直接写出下题的结果. ①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)= ; ②若(a-1)〃M=a15-1,求M;

③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)= ; ④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)= .

2.如图15-22所示,有一个形如四边形的点阵,第1层每边有两个点,第2层每边有三个点,第3层每边有四个点,依此类推

.

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第十五章整式乘法与因式分解教案 72

(3)写出n层的四边形点阵的总点数;

(4)如果某一层共有96个点,你知道它是第几层吗?

(5)有没有一层点数为100?

(二)

一、训练平台

1.下列各式中,计算正确的是( )

A.27〓27=28 B.25〓22=210 C.26+26=27 D.26+26=212

32.当x=时,3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( ) 2

3939A.- B.-18 C.18 D. 22

1253.已知x-y=3,x-z=,则(y-z)2+5(y-z)+的值等于( ) 24

5525A. B. C.- D.0 224

4.设n为正整数,若a2n=5,则2a6n-4的值为( )

A.26 B.246 C.242 D.不能确定

5.(a+b)(a-2b)= .

6.(2a+0.5b)2= .

7.(a+4b)(m+n)= .

8.计算.

(1)(2a-b2)(b2+2a); (2)(5a-b)(-5a+b).

9.分解因式.

(1)1-4m+4m2; (2)7x3-7x.

10.先化简,再求值.

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]〔2x,其中x=3,y=-1.5.

二、探究平台

1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为( )

A.(a-b)(a2+b2) B.(a-b)2(a+b) C.(a-b)3 D.-(a-b)3

2.下列计算正确的是( )

A.a8〔a2=a4(a≠0) B.a3〔a4=a(a≠0)

C.a9〔a6=a3(a≠0) D.(a2b)3=a6b

3.下列各题是在有理数范围内分解因式,结果正确的是( )

A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1) B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)

11C.2xn+x3n=xn(2+x3) D.-x2=(1+2x)(1-2x) 44

4.分解因式:-a2+4ab-4b2= .

5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式,那么m的值是 .

6.(3x3+3x)〔(x2+1)= .

7.1.22222〓9-1.33332〓4= .

8.计算. 1234567890(1); 12345678912?1234567890?1234567892

20023?2?20022?2000(2). 20023?20022?2003

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第十五章整式乘法与因式分解教案 73

9.分解因式.

(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m);

(2)x4-81x2y2. x2?1110.+x(1+),其中x=2-1. x?1x

三、交流平台

1.一条水渠其横断面为梯形,如图15-23所示,根据图中的长度求出横断面面积的代数式,并计算当a=2,b=0.8时的面积

.

2.已知多项式x+kx+6有一个因式x+3,当k为何值时,能分解成三个一次因式的积?并将它分解.

3.如果x+y=0,试求x3+x2y+xy2+y3的值.

224.试说明无论m,n为任何有理数,多项式4m+12m+25+9n-24n的值为非负数. 3

参考答案

一、1.D 2.A 3.B 4.B 5.10a+b 6.1ab 7.-2 8.-a5b7 2

9.m2-4n2 -3y-7x x2+2x-8 24xy

10.(1)原式=26n+12m; (2)原式=13-24x2.

11.解:(1)原式=m2n(m-n)2+4mn(m-n)=mn(m-n)[m(m-n)+4]

=mn(m-n)(m2-mn+4).

(2)原式=(x+y-8)2.

12解:a2+b2-2a-4b+8

=(a2-2a+1)+(b2-4b+4)+3

=(a-1)2+(b-2)2+3.

∵(a-1)2≥0,(b-2)2≥0,

∴(a-1)2+(b-2)2+3>0,

∴原式>0,

即a2+b2-2a-4b+8的正数.

二、1.D 2.A 3.A 4.a-c a-c 5.5 6.4 7.4或-2 8.

9.x≠2

10.(1)原式=1;(2)原式=12x-13.

11.解:(1)原式=(a-2b+4a)(a-2b-4a)=(5a-2b)(-3a-2b)

=-(5a-2b)(3a+2b).

(2)原式=(x3-x2)-(4x-4)=x2(x-1)-4(x-1)

=(x-1)(x2-4)=(x-1)(x+2)(x-2).

12解:∵3x3-x=1,

奈曼四中八年级数学备课资料 64 77

第十五章整式乘法与因式分解教案 74

∴9x4+12x3-3x2-7x+2004

=3x(3x3-x)+4(3x3-x)-3x+2004

=3x〓1+4〓1-3x+2004

=2008.

∴9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于2008.

三、1.(1)①原式=a2-1;②原式=a3-1;③原式=a4-1;④原式=a5-1.

(2)(a-1)(an+an-1+an-2+…+a3+a2+a+1)=an+1-1.

(3)①a10-1 ②M=a14+a13+a12+a11+…+a3+a2+a+1 ③a6-b6 ④32x5-1

2.(1)4,8,12,16,20,24;4,12,24,40,60,84 (2)4n (3)2n(n+1)

(4)第24层 (5)有,第25层

(二)

一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.a2-ab-2b2 6.4a2+2ab+0.25b2

7.am+an+4bm+4bn

242228.(1)4a-b. (2)-25a+10ab-b. 9.(1)(1-2m). (2)7x(x+1)(x-1).

10.解:原式=(x-y)[(x-y)+(x+y)]〔2x=(x-y)〃2x〔2x=x-y.

当x=3,y=-15时,原式=3-(-1.5)=4.5.

二、1.A 2.C 3.D 4.-(a-2b)2 5.8或-2 6.3x 7.6.3332

12345678908.(1)解: 21234567891?1234567890?1234567892

=1234567890 12345678912?(1234567891?1)(1234567891?1)

1234567890 221234567891?(1234567891?1)=

=1234567980 221234567891?1234567891?1

=1234567890.

20023?2?20022?2000(2)解: 20023?20022?2003

20022(2002?2)?2000= 22002(2002?1)?2003

20022?2000?2000= 22002?2003?2003

2000(20022?1)= 22003(2002?1)

2000. 2003

9.(1)(x-m)2(y-m). (2)x2(x+9y)(x-9y)

(x?1)(x?1)x?110.原式=+x〃 x?1x

=x+1+x+1=2x+2. =

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第十五章整式乘法与因式分解教案 75

当x=2-1时,原式=2(2-1)+2=22.

三、1.提示:S=a2-b2,当a=2,b=0.8时,S=3.36

2.解:令x3+kx+6=(x+3)(x2+ax+b),

x3+kx+6=x3+(3+a)x2+(3a+b)x+3b,

则有3+a=0,3a+b=k,3b=6,

所以a=-3,b=2,k=-7,

所以x3-7x+6=(x+3)(x2-3x+2)=(x+3)(x-1)(x-2).

3.解:x3+x2y+xy2+y3

=x2(x+y)+y2(x+y)

=(x+y)(x2+y2)=0.

4.解:4m2+12m+25+9n2-24n=4m2+12m+9+16+9n2-24n=(2m+3)2+(3n-4)2. 因为(2m+3)2≥0,(3n-4)2≥0,

22所以(2m+3)+(3n-4)≥0,

即无论m,n为何有理数,多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值恒为非负数.

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