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列二元一次方程组解应用题应注意的几个问题

发布时间:2013-10-10 11:32:26  

列二元一次方程组解应用题应注意的几个问题

众所周知,列二元一次方程组解应用题是既是学习方程的一个重点,又是学习方程的一个难点,它是分析问题和解决问题的能力的具体体现,更是中考中的常见题型.因此,同学们在学习时应注意以下几个问题:

一、注意熟练掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤

列二元一次方程组解应用题和列一元一次方程解应用题一样,也有其一般步骤.简单地可分为:设、找、列、解、答等五个步骤. 具体地说:

(1)设 弄清题意和题目中的数量关系,用字母(如x)表示题目中的一个未知数;

(2)找 找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系;

(3)列 根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出一元一次方程;

(4)解 解这个所列的一元一次方程,求出未知数的值;

(5)答 写出答案(包括单位名称).

这五个步骤关键是“列”,难点是“找”.

例1 夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度?

分析 本题有两个等量关系:温度调高1℃,甲种空调每天节电-乙种空调每天节电=27度;甲种空调每天共节电+乙种空调每天共节电=405度.有了这两个等量关系式我们就可以列方程组求解.

解 设只将温度调高1℃后,甲种空调每天节电x度,乙种空调每天节电y

?x?207,?x?y?27,度.则根据题意,得? 解得? y?180.x?1.1y?405.??

答:只将温度调高1℃后,甲种空调每天节电207度,乙种空调每天节电180度.

说明 本题也可以列一元一次方程来求解,即设只将温度调高1℃后,乙种

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空调每天节电x度,则甲种空调每天节电(x+27)度分,依题意,得,1.1x+x+27=405,即x=180,所以x+27=207.就是说,只将温度调高1℃后,甲种空调每天节电207度,乙种空调每天节电180度.

二、熟练掌握一些常见的数量关系

列二元一次方程组解应用题除了要掌握以上步骤外,还要弄清楚常见的数量关系,如:

(1)和、差、倍、分问题,即两数和=较大的数+较小的数,较大的数=较小的数×倍数±增(或减)数.

(2)行程类问题,即路程=速度×时间.

(3)工程类问题,即工作量=工作效率×工作时间.

(4)浓度类问题,即溶质质量=溶液质量×浓度.

(5)分配类问题,即调配前后总量不变,调配后双方有新的倍比关系.

(6)等积类问题,即变形前后的质量(或体积)不变.

(7)数字类问题,即有若个位上数字为a,十位上的数字为b,百位上的数字为c,则这三位数可表示为100c+10b+a,等等.

(8)经济类问题,即利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数;税后利息=本金×利率×期数×(1-利息税率);商品的利润=商品的售价-商品的进价;商品的利润率=商品的利润×100%. 商品进价

(9)增长(或降低)率问题,即实际生产数=计划数×[1+增长率(或-减少率)],增长率=增长数×100%. 计划数

(10)图形类问题,即根据图形的特征,结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等.

例2某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台.改进生产技术后,计划第二季度生产这两种机器共554 台,其中甲种机器产量要比第一季度增产10%,乙种机器产量要比第一季度增产20% .该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?

分析 利用增长率问题,我们可以找到两个等式:第一季度生产甲、乙两种

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机器共有台数;改进生产技术后,两种机器共有的台数.

解 设该厂第一季度生产甲种机器x 台,乙种机器y台. ??x?220,?x?y?480,则根据题意,得?解得 ?1?10x?1?20y?554.y?260.???????答:该厂第一季度生产甲种机器220台,乙种机器260台.

说明 本题可以在设该厂第一季度生产甲种机器x 台,乙种机器y台后列?x?y?480,出这样的方程组:? y?554?480.10x?20? 三、注意及时避免一些常见的错误

二元一次方程组是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一,即能够将实际问题转化为数学模型,列出二元一次方程组,最终求得符合实际的解.而事实上,要具体求解时,不少同学由于审题不清等问题,总会出现这样那样的错误,这就要求我们认真地审题,及时地找出题目中的等量关系.

例3 一列快车长168米,一列慢车长184米,如果两车相向而行,从相遇到离开需4秒,如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16秒钟,求两车的速度.

分析 两车相向而行,其相对速度为两车的速度之和,两车同向而行,其相对速度为两车的速度之差,这样设快车时速为x公里/小时,慢车时速为y公里/小时,即可利用方程组求解.

解 设快车时速为x公里/小时,慢车时速为y公里/小时.

??x?y?88,?x?55,?4?x?y??168?184,则根据题意,得?即?解得? x?y?22.y?33.???16?x?y??168?184.?

答:快车每小时行驶55公里,慢车每小时行驶33公里.

说明 如果两车相向而行,则其相对速度为速度之和,如果两车同向而行,则其相对速度为速度之差,这一点很多同学是不会理解错的,问题是在相对移动的过程中,移动的距离应为两列火车的长度之和,不少同学会容易忽略这一点而造成了错解.

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