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第二十二章 一元二次方程 复习学案

发布时间:2013-10-10 11:32:29  

第二十二章 一元二次方程 复习学案

一、学习目标;

1、理解一元二次方程的意义。

2、能熟练掌握一元二次方程的四种解法,会选择适当的方法解方程,进一步体会相互之间的关系及其“转化”的思想。

3、能熟练分析数量之间的关系,列出一元二次方程来解应用题。

二、中考热点:本章的应用性较强,本章内容一直是命题的热点,填空题、选择题有,解答题也有,单独出现或和其它内容结合出现.

三、本章知识框架图:

四、知识点与方法:

(一)定义:方程两边都是 ,只含有 个未知数,且未知数的最高

次是

一般形式: 。

温馨提示:对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的四个条件,

【练习】 1、若方程(a-1)xa?1+5x-3=0是关于x的一元二次方程,则a= 。

2、下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )

A.3?x?1?2?2?x?1? B.11??2?0 2xx2

C.ax2?bx?c?0 D. x2?2x?x2?1

- 1 -

x?1x2-33、把方程=化为一般形式 。 32

4、把方程(1-3x)(x +3)= 2x2 + 1化成一般形式是 ,它的二次项是 ,一次项是 , 常数项是 。

(二)一元二次方程的判别式:

(1)当 时

(2)当 △=0 时

(3)当 时不相等的实数根; ?方程有两个.....?方程 ; 有实数根。 ?方程没.....

温馨提示:一元二次方程ax2?bx?c?0(a≠0)的根的判别式正反都成立.其作用

有:(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;

(3)解与根有关的证明题.

【练习】 5、方程x2?kx?k?2?0的根的情况是( )

(A)方程有两个不相等的实数根 (B)方程有两个相等的实数根

(C)方程没有实数根 (D)无法确定

6、若一元二次方程 2x(kx-4)-x2+6=0 无实数根,则k的最小整数值是

( ) A、-1 B、2 C、3 D、4

7、下列方程中,有两个不相等实数根的是 ( )

A.x2?4?0 B.4x2?4x?1?0 C.x2?x?3?0 D.x2?2x?1?0

8、a、b、c分别是三角形的三边,则方程?a?b?x2?2cx?a?b?0的根的情况是

A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

2ax?2?a?2??a?0有实数解,求实数a的取9、(2012·德州)若关于x的方程

值范围。

- 2 -

10、(2012·东营)方程(k?1)x2??kx??0有两个实数根,则k的取值范围是( ) A k≥1 B k≤1 C k>1 D k<1

(三)一元二次方程的解法

(1)直接开平方法:使用于两类方程,分别是 和 。

(2)配方法:1、写出两个完全平方式: 和 。

2、一般步骤: 。

3、配方即 。

(3)公式法:1、求根公式: 。

2、一般步骤: 。

3、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

①当 ﹥0时,方程有实根x1 = ,x2 =

②当 =0时,方程有实根x1 = x2 = .

③当 <0时,方程无实数根。

(4)因式分解法: 1、如果a·b=0,则 。

2、一般步骤: 。 温馨提示:解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能【练习】 11、若b(b≠0)是方程x2?cx?b?0的根,则b+c的值为( )

A 1 B -1 C 2 D -2

12、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为1,-2,则2a+c= 。

13、若(x2?y2?1)2?4,则x2?y2?

14、方程(3x?4)2?3x?4的根是

15、已知x2?8x?k2是完全平方式,则k的值为

- 3 - 14

16、若代数式x2?2(m?1)x?25是完全平方式,则m的值为。

17、(2012·泰州)某种药品的原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为

25元/盒,则平均每次降价的百分率为 。

18、要组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都有比赛一场。根据场地和时

间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,应邀请 队参赛。

19、一个学习小组有若干人,新年互送贺年卡一张,已知全组共送贺年卡72张,

设这个小组有x人,列方程得 ,解得小组有 人。

20、用给定的方法解下列方程:

(1)2x2?3x?4?0(公式法) (2)x2?6x?5?0(配方法)

(3)3x2?12x??12(因式分解法)

21、用适当的方法解下列方程:

12(1)x?5?3x (2) (x?2)2?1 4

(3)x(x?6)?7 (4)x(x?1)?2(x?1)?7

- 4 -

22(5)4(x?3)?25?0 (6)2x?5x?2?0

(7)x?2x?99?0 (8)(2x?1)(x?3)?4

22、关于x的方程(6m2?12m?7)x2?2mx?1?0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程,上述判断是否正确?请给予说明。

(四)一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理):ax2+bx+c=0(a?0)当?≥0时,设方程两根为x1,x2则x1+x2= ,x1?x2 = 。

以x1,x2为根的一元二次方程为: 。

温馨提示:一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程。

【练习】23、不解方程,求下列方程两根的和与积:

2(1)x?3x?15

22(2)5x?1?4x?x 2

- 5 -

22x??m?1?x?m?0 (3)

2x24、如果方程?px?q?0的两根为x1、x2,那么x1?x2? ,x1x2? 。

25、请写出以2,-3为根的一元二次方程 。

226、方程x?2x?m?0的一个根为-3,则另一根为 ,m为 。

227、已知方程x?4x?2m?0的一个根α比另一根β小4,那么α= ,β= ,m= 。

228、已知x1,x2是方程x?4x?2?0的两根,求:

11?(1)x1x2的值;

2(x1?x2)(2)的值.

29、(2011·荆州)关于x的方程ax2?(3a?1)x?2(a?1)?0,有两个不相等的实数根x1、x2,且有x1?x1x2?x2?1?a,则a的值是( )

A 1 B -1 C 1或-1 D 2

30、关于x的方程x2?(2k?3)x?k2?0有两个不相等的实数根α、β。

(1)求k的取值范围。

(2)???????6,求(???)2?3???5的值。

- 6 -

(五)一元二次方程的应用:列方程解应用题的一般步骤: 。

列方程的关键是: 。

温馨提示:列方程解应用题的一般步骤及注意的问题

(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;

(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;

(3)找出相等关系,并用它列出方程;

(4)解方程求出题中未知数的值;

(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答。

【练习】 31、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所

得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。

32、如图,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑

同样宽的三条道路,把耕地分成大小不等的六块作实

验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少?

33、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册?

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34、某校2003年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2005年共捐款4.75万元,问该校捐款的平均年增长率是多少?

35、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售2件,如果商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

36、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现采取提高售价,减少进货量的方法,增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少元时可赚利润720元?

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