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八年级数学上册《第十四章 一次函数》一次函数与方案设计问题试题精选及解析 新人教版

发布时间:2013-10-10 12:00:45  

《第十四章 一次函数》一次函数与方案设计问题试题精选及解析 一次函数是最基本的函数,它与一次方程、一次不等式有着密切联系,在实际生活、生产中有广泛的应用,尤其是利用一次函数的增减性及其有关的知识可以为某些经济活动中的方案设计和选择做出最佳的决策.下面以近几年来全国各地的中考题为例说明一次函数在方案设

计中的重大作用.

一、 生产方案的设计

例1 (镇江市)在举国上下众志成城,共同抗击非典的非常时期,某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务.要求在8天之内(含8天)生产A型和B型两种型号的口罩共5万只,其中A型口罩不得少于1.8万只,该厂的生产能力是:若生产A型口罩每天能生产0.6万只,若生产B型口罩每天能生产0.8万只,已知生产一只A型口罩可获利0.5元,生产一只B型口罩可获利0.3元.

设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只.问:(1)该厂生产A型口罩可获利润_____万元,生产B型口罩可获利润_____万元;

(2)设该厂这次生产口罩的总利润是y万元,试写出y关于x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

(3)如果你是该厂厂长:

①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大?最大利润是多少?

②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数?最短时间是多少?

分析:(1)0.5x,0.3(5-x);

(2)y=0.5x+0.3(5-x)=0.2x+1.5,

首先,1.8≤x≤5,但由于生产能力的限制,不可能在8天之内全部生产A型口罩,假设最多用t天生产A型,则(8-t)天生产B型,依题意,得0.6t+0.8(8-t)=5,解得t=7,故x最大值只能是0.6×7=4.2,所以x的取值范围是1.8(万只)≤x≤4.2(万只);

(3)○1要使y取得最大值,由于y=0.2x+1.5是一次函数,且y随x增大而增大,故当x取最大值4.2时,y取最大值0.2×4.2+1.5=2.32(万元),即按排生产A型4.2万只,B型0.8万只,获得的总利润最大,为2.32万元;

2若要在最短时间完成任务,全部生产B型所用时间最短,但要求生产A型1.8万只,○

因此,除了生产A型1.8万只外,其余的3.2万只应全部改为生产B型.所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7(天).

二、营销方案的设计

例2(湖北) 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算),有20天每天可卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同.若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x,每月所获得的利润为函数y.

(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;

(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?

分析:(1)由已知,得x应满足60≤x≤100,因此,报亭每月向报社订购报纸30x份, 1

销售(20x+60×10)份,可得利润0.3(20x+60×10)=6x+180(元);退回报社10(x-60)份,亏本0.5×10(x-60)=5x-300(元),故所获利润为y=(6x+180)-(5x-300)=x+480,即y=x+480.

自变量x的取值范围是60≤x≤100,且x为整数.

(2)因为y是x的一次函数,且y随x增大而增大,故当x取最大值100时,y最大值为100+480=580(元).

三、优惠方案的设计

解答下列问题:

(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A,B两市的距离(精确到个位);

(2)如果A,B两市的距离为s千米,且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家运输公司?

分析:(1)设A,B两市的距离为x千米,则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是:甲公司为(6x+1500)元,乙公司为(8x+1000)元,丙公司为(10x+700)元,依题意,得

(8x+1000)+(10x+700)=2×(6x+1500),

解得x=2162≈217(千米); 3

(2)设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为y1,y2,y3(单位:元),则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为:甲(

+3)小时.从而 sss+4)小时;乙(+2)小时;丙(6010050

y1=6s+1500+(s+4)×300=11s+2700, 60

sy2=8s+1000+(+2)×300=14s+1600, 50

sy3=10s+700+(+3)×300=13s+1600, 100

现在要选择费用最少的公司,关键是比较y1,y2,y3的大小.

∵s>0,∴y2>y3总是成立的,也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司;在 2

甲和丙两家中,究竟应选哪一家,关键在于比较y1和y3的大小,而y1与y3的大小与A,B两市的距离s的大小有关,要一一进行比较.

当y1>y3时,11s+2700>13s+1600,解得s<550,此时表明:当两市距离小于550千米时,选择丙公司较好;

当y1=y3时,s=550,此时表明:当两市距离等于550千米时,选择甲或丙公司都一样;

当y1<y3时,s>550,此时表明:当两市的距离大于550千米时,选择甲公司较好.

四.调运方案的设计

例4 A城有化肥200吨,B城有化肥300吨,现要把化肥运往C,D两农村,如果从A城运往C,D两地运费分别是20元/吨与25元/吨,从B城运往C,D两地运费分别是15元/吨与22元/吨,现已知C地需要220吨,D地需要280吨,如果个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,怎样调运花钱最小?

分析:根据需求,库存在A,B两城的化肥需全部运出,运输的方案决定于从某城运往某地的吨数.也就是说.如果设从A城运往C地x吨,则余下的运输方案便就随之确定,此时所需的运费y(元)也只与x(吨)的值有关.因此问题求解的关键在于建立y与x之间的函数关系.

解:设从A城运往x吨到C地,所需总运费为y元,则A城余下的(200-x)吨应运往D地,其次,C地尚欠的(220-x)吨应从B城运往,即从B城运往C地(220-x)吨,B城余下的300-(220-x)=15(220-x)+22(80+x),

即y=2x+10060,

因为y随x增大而增大,故当x取最小值时,y的值最小.而0≤x≤200,

故当x=0时,y最小值=10060(元).

因此,运费最小的调运方案是将A城的200吨全部运往D地,B城220吨运往C地,余下的80吨运往D地.

练习题:

1.(河北)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A,B两种产品,共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元.

(1)要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;

(2)生产A,B两种产品获总利润是y (元),其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

2. 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台,北京厂可支援外地10台,上海厂可支援外地4台,现在决定给重庆8台,汉口6台.如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台,从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台.求:

(1)若总运费为8400元,上海运往汉口应是多少台?

(2)若要求总运费不超过8200元,共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案,最低总运费是多少元?

3. 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全 3

商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元.由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等,根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润情况如表2.

表1 表2

商场将计划日营业额分配给三个经营部,设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x (万元)、y (万元)、z (万元)( x,y,z都是整数).

(1) 请用含x的代数式分别表示y和z; (2) 若商场预计每日的总利润为C(万元),且C满足19≤C≤19.7,问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?

4. 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游.甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优待.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.

(1)设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费(建立表达式);

(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样; (3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.

5.某童装厂现有甲种布料38米,乙种布料26米,现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套,已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米,乙种布料1米,可获利45元;做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米,乙种布料0.2米,可获利润30元.设生产L型号的童装套数为x,用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y (元

).

(1)写出y (元)关于x (套)的函数解析式;并求出自变量x的取值范围; (2)该厂在生产这批童装中,当L型号的童装为多少套时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?

6.下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润.某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只装一种蔬菜)

(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售,问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?

(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车),如何安排装运,可使公司获得最大利润?最大利润是多少?

4.有批货物,若年初出售可获利2000元,然后将本利一起存入银行.银行利息为10%,若年末出售,可获利2620元,但要支付120元仓库保管费,问这批货物是年初还是年末出售为好?

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