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方差(1)

发布时间:2013-10-10 12:00:48  

义务教育课程标准实验教科书
七年级上册

人民教育出版社出版

知识技能 教 学 目 标 过程与方法

理解方差的意义,会用方差公式求样本数据的方差 通过对实际问题的探究,形成方差的概念

情感态度价值 观

以积极情感态度,探索问题,进而体会数学应用的 科学价值

重点 难点

方差概念形成过程 方差概念形成过程

极差可以反映数据的波动范围,除此之外,统计中还常采用考察一组 数据与它的平均数之间的差别的方法,来反映这组数据的波动情况。




在一次女子排球比赛中,甲、乙两队来参赛选手的年龄如下: 甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26

(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少? (2)你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗?

上面两组数据的平均数分别是

x甲 ? 26.9,   =26.9 x乙
即甲、乙两队参赛选手的平均年龄相同

用图表整理这两组 数据,分析你画出 的图表,看看你能 得出哪些结论?

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

数据序号

甲队的平均年龄分布
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

数据序号

乙队的平均年龄分布

比较上面的两幅图可以看出,甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差 巨大,乙队选手的年龄较集中地分布在平均年龄左右,那么我们从 图中看出的结果能否用一个量来刻画呢?
为了刻画一组数据的波动大小,可以采用很多方法,统计中常 采用下面的做法: 设有n 个数据x1,x2,…,xn ,各数据与它们的平均数的差的平方分

别是 x ? x , x ? x ,? ? ?, x ? x ,我们用它们的平均数,即用 1 2 n
2 2 1 s ?   ? x ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x x1 n 2

?

??
2

? ?
2

?

2

??

? ?

?

?

??
2

来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差 (variance),记作s2 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小

两组数据的方差分别是:

2 s甲

?26 ? 26.9?2 ? ?25 ? 26.9?2 ? ? ? ? ? ?29 ? 26.9?2 ?
10

? 2.29 ? 0.89

2 s乙

?28 ? 26.9?2 ? ?27 ? 26.9?2 ? ? ? ? ? ?26 ? 26.9?2 ?
10
2 2 s甲 ? s乙

显然 ,由此可知甲队选手年龄的波动较大,这与我 们从图看到的结果 是一致的。

例1 在一次芭蕾舞的比赛中,甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧(天鹅湖), 参加表演的女演员的身高(单位:cm)分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167

乙团 163 164 164 165 166 167 167 168
哪个芭蕾舞团的女演员的身高更整齐? 解: 甲乙两团演员的身高更分别是:

x甲 ?

?163 ? 166?2 ? ?164 ? 166?2 ? ? ? ? ? ?168 ? 166?2

=2.75 s2=
8 ?163 ? 165?2 ? ?164 ? 165?2 ? ? ? ? ? ?167 ? 165?2 ? 1.36 s2= 甲 8 2 2 由 s <s 乙 可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 甲


163 ? 164 ? 2 ? 165 ? 3 ? 166 ? 167 ? 165 8 163 ? 164 ? 2 ? 165 ? 166 ? 167 ?2? 168 x乙 ? ? 166 8

练习

1、用条型图表示下列各组数据,计算并比较它们的平均数和方差, 体会方差是怎样刻画数据的波动程度的。
(1)6 6
2

6

6

6

6

6

(6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 s ? ?0 7

6? 7 x? ?6 7

8 7 6 5 4 3 2 1 0

(2)5 5 6 6 6 7 7

(5 ? 6) 2 ? (5 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 4 s ? ? 7 7
2

2?5 ? 6?3 ? 7? 2 x? ?6 7

8 7 6 5 4 3 2 1 0

(3)3 3 4 6 8 9 9

(3 ? 6) 2 ? (3 ? 6) 2 ? (4 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (8 ? 6) 2 ? (9 ? 6) 2 ? (9 ? 6) 2 48 s ? ? 7 7
2

x?

3? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 9 ? 2 ?6 7

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

(4)3 3 3 6 9 9 9

(3 ? 6) 2 ? (3 ? 6) 2 ? (3 ? 6) 2 ? (6 ? 6) 2 ? (9 ? 6) 2 ? (9 ? 6) 2 ? (9 ? 6) 2 54 s ? ? 7 7
2

3? 3 ? 6 ? 9 ? 3 x? ?6 7

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2、下面是两名跳远运动员的10次测验成绩(单位:m)

甲 乙

5.85 6.13 6.11

5.93 5.98 6.08

6.07 6.05 5.83

5.91 6.00 5.92

5.99 6.19 5.84

5.81

6.18

6.17

5.85

6.21

在这10次测验中,哪名运动员的成绩更稳定?(可以使用计算器)
5.85 ? 5.93 ? 6.07 ? 5.91 ? 5.99 ? 6.13 ? 5.98 ? 6.05 ? 6.00 ? 6.19 ? 6.01 10 6.11 ? 6.08 ? 5.83 ? 5.92 ? 5.84 ? 5.81 ? 6.18 ? 6.17 ? 5.85 ? 6.81 x乙 ? ? 6.00 10 x甲 ?
2 甲

1 s ? (5.85 ? 6.01) 2 ? (5.93 ? 6.01) 2 ? (6.07 ? 6.01) 2 ? ? ? ? ? (6.19 ? 6.01) 2 ? 0.00954 10
2 s乙 ?

?

?

1 (6.11 ? 6) 2 ? (6.08 ? 6) 2 ? (5.83 ? 6) 2 ? ? ? ? ? (6.21 ? 6) 2 ? 0.02434 10

?

?

1. 本 节 主 要 知 识 内容?
设有n 个数据x1,x2,…,xn ,各数据与它们的平均数的差的平方分

别是 x ? x , x ? x ,? ? ?, x ? x ,我们用它们的平均数,即用 1 2 n
2 2 1 s ?   ? x ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x x1 n 2

?

??
2

? ?
2

?

2

??

? ?

?

?

??
2

来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差 (variance),记作s2

方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小

2013年10月10日星期四

帮助与说明 操作系统:Windows XP 制作平台:PowerPoint2003 公式编辑器3.0 图表


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