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24.1.2垂直于弦的直径

发布时间:2013-10-10 13:33:01  

赵州桥原名安济桥,俗称大石桥,建 于隋炀帝大业年间(595-605年),至今已有 1400年的历史,是今天世界上最古老的石拱 桥。上面修成平坦的桥面,以行车走人.赵州 桥的特点是“敞肩式”,是石拱桥结构中最 先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它 的桥身弧线优美,远眺犹如苍龙飞驾,又似 长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。 充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品, 称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991年 被列为世界文化遗产.

7.2m 37.4m 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出 赵洲桥主桥拱的半径吗?

A

1.我们所学的圆是不是 轴对称图形呢?
圆是轴对称图形,经过圆心的 每一条直线都是它们的对称轴

r · O

2.我们所学的圆是 不是中心对称图形呢?
圆是中心对称图形, 圆心是对称中心

把一个圆沿着它的任意一 条直径对折,重复几次,你发现了什么? 由此你能得到什么结论?
圆是轴对称图形, 任何一条直径所在的直线都是对称轴

如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD, 使 CD⊥AB,垂足为E.
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么? C

(1)是轴对称图形.直径CD 所在的直线是它的对称轴 (2) 线段: AE=BE

? ? 弧: AC = BC
? ? AD = BD
A

·
E D

O

叠 合 法
B

如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 并且平分弦所对的两条弧. (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么? C

使 CD⊥AB,垂足为E. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,

垂径定理的几何语言 CD⊥AB ∵ CD是直径, CD⊥AB ∴AE=BE, AE=BE ? ? ? ? AC = BC, AD = BD 结论 ? ? AC = BC
? ? AD = BD

条件

CD为直径

·
A E D

O

三 种 语 言
B

C

垂径定理
·
A O E D B

AE=BE

CD是直径,AB是弦, CD⊥AB

? ? AC = BC ? ? AD = BD

①过圆心 ②垂直于弦 题设

③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 结论

垂径定理的几个基本图形:
C A

E

·
D

O

D

·
C

O
B

D

B

O · C

A

B

A

A

·
C

O B A

O · D C B

下列图形是否具备垂径定理的条件?
C

c

A
O A D E B

D O

B

C

C

O

O A E B
A

E D

B

在下列图形中,你能否利用垂径 定理找到相等的线段或相等的圆弧.
D
B
O

E

A
A

O

C

E

O

A

E C
A

B
B

C
D

O E C B

O

D

A

E D

B

A

E C

B

C
7.2m A D 37.4m B

你能利用垂径定理解决 求赵州桥拱半径的问题吗? O


关于弦的问题,常常需要过 圆心作弦的垂线段,这是一条 非常重要的辅助线。 ?圆心到弦的距离、半

径、弦 构成直角三角形,便将问题转 化为直角三角形的问题。
?

如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。 解:过点O作OE⊥AB于E,连接OA

1 ∴ AE = AB = 4cm 2 OE = 3cm
∴ OA = AE + OE
2 2

A

E O ·

B

= 42 + 32 = 5cm
注意:解决有关弦的问题时,经常连接半径;过圆心作一条与 弦垂直的线段等辅助线,为应用垂径定理创造条件。 弦心距:圆心到弦的(垂直)距离叫做弦心距。

垂径定理三角形
C

有哪些等量关系?

d+h=r
O

r
A E

·
d
h B D

a 2 r ? d ?( ) 2
2 2

a

在a,d,r,h 中,已知其中任意 两个量,可以求出 其它两个量.

一条排水管的截面如图所示。已知排水管的 半径OB=10,截面圆心O到水面的距离OC=6, 则水面宽AB为_____________

C

如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB于点E, 如果AB=10,CD=8,那么AE的长为________
A C E D O

·
B

如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E, 求证四边形ADOE是正方形.
C

E

·
O

A

D

B

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C

·
A E D

O

B

C

·
A E D

O

垂径定理
B

垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
AE=BE 这五条进行 排列组合,会出 ? ? AC = BC 现多少个命题?

CD是直径,AB是弦, CD⊥AB

? ? AD = BD

①直径过圆心 ②垂直于弦 题设

③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 结论

垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦
C

② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧

已知:CD是直径,AB是弦,CD平分AB

·
A E D

O

求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC
B









(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.

注意

为什么强调这里的弦不是直径?

一个圆的任意两 条直径总是互相平分, 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径,结论不一 定成立.

·

垂径定理的推论
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C

③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒

·
A E D

O

已知:CD是直径,AB是弦,并且AC=BC 求证:CD平分AB,CD ⊥AB,AD=BD
B ⌒ ⌒

(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

垂径定理的推论
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C

① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧

·
A E D

O

已知:AB是弦,CD平分AB,CD ⊥AB,
求证:CD是直径,AD=BD,AC=BC
B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

(3)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分 弦所对的两条弧.

垂径定理的推论
条件 结论 命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径

,垂直平分弦,并且平分弦所 对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦, 并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤

②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③

注意要点
根据垂径定理与推论可知:对于一个圆和一条直 线来说,如果具备:
① 经过圆心


③ ④ ⑤

垂直于弦
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

那么,由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。

知二推三

如图,已知直径AB被弦CD分成PA=1,PB=5, ∠DPB=300,M为CD中点,则OM=_____. D M
A C B P O

⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16, 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 两条弦在圆心的同侧
A B
C

两条弦在圆心的两侧
A B D

O
C D

O

如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8, 点P是⊙O上的动点(P与A、B不重合), 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F, 那 么EF的长与点P的位置有关吗?如果有关,说明理由; 如果无关,求出EF的长

O

A

E

F

B

P

如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的 一个动点,那么OP长的取值范围是 。

O

A

P

B

如图,AB为⊙O的一条直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,从上半圆上一点 C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P,当点C在半 圆上(不包括A、B两点)移动时,点P的位置会发生怎 样的变化?试说明理由?
C

A

E

O

B

D P

课堂小结
A 1. 圆
动态定义

静态定义:

r · O

2. 圆心、半径

3. 弦、直径
4. 圆弧(弧)

解决有关弦的问题

解决有关弦的问题时,经常连接半径;过圆心作一 条与弦垂直的线段等辅助线,为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。

C
? 已知:AB ? 求作: 的中点 AB

E

A
作法: 1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 平分线 CD,交 ⌒ AB于点E.

B

⌒ 点E就是所求AB的中点.
D

⌒ 已知:AB. ⌒ 求作:AB的四等分点.
作法: 1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 ⌒ 平分线 ,交AB 于点E. 3. 连结AC. 4. 作AC的垂直 ⌒ 平分线 ,交AC 于点F. 5. 点G同理.

C D E B

A

⌒ 点D、C、E就是AB的四等分点.

作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线 A

×

C
B

等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线.

⌒ 你能确定AB的圆心吗?
C 作法: 1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 A ⌒ 平分线 ,交AB 于点C. 3. 作AC、BC的 垂直平分线. 4. 三条垂直平分 线交于一点O.

B

⌒ 点O就

是AB的圆心.

O

你 能 破 镜 重

m

n
A

C


吗?

B O

作法: 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n, 交于O点;以O为圆心,OA为半径作圆. 依据: 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧.

如图,点P是半径为5cm的⊙O内一点, 且OP=3cm, 则过P点的弦中, (1)最长的弦= cm (2)最短的弦= cm C

A

5 3 OO 4 P P D

B

一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且

OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.

A

C
O


D

B

某地有一座圆弧形拱桥圆心为O,桥下水面宽度为 7.2 m ,过O 作OC ⊥ AB 于D, 交圆弧于C,CD=2.4m, 现有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出水面(AB)2m的 货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?
C M H A D E O F N

B

1、两条辅助线:
半径、圆心到弦的垂线段
A

O · C B

2、一个Rt△: 半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理:

垂径定理、勾股定理


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